空间向量坐标表示和运算(第三课时).ppt

3.1.4 空间向量的正交 分解及其坐标表示 共线向量定理: 复习： 共面向量定理: 平面向量基本定理： 平面向量的正交分解及坐标表示 x y o 回回 顾顾 平面内的任意一个向量平面内的任意一个向量p p都可以用两个不共线的都可以用两个不共线的 向量向量a a，b b来表示（平面向量基本定理），那么，对来表示（平面向量基本定理），那么，对 于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？ o o i i j j k k P P QQ P P = =x xi i+ +y yj j+ +z zk k 探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的 结论吗？ 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。 空间向量基本定理： 如果三个向量 不共面，那么对空间任一 向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使 都叫做基向量 空间向量基本定理 如果三个向量a、b、c不共面， 那么对空间任一向量p， 存在一个唯一的有序实数组x，y，z， 使p=xa +yb+zc 定理 其中a，b，c叫做空间的一个基底. （不共面且非零） （1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底 。 特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面， 还应明确： （2） 由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任 意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着 它们都不是 。 （3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基 底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。 推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一 点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使 当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。 （1）如何在剧院中寻找自己的座位？ (2) 如何确定住户在小区中的位置？ 一、空间直角坐标系 一般地： 在空间取定一点O 从O出发引三条两两垂直的射线 选定某个长度作为单位长度 (原点) (坐标轴) O x y z 1 1 1 右手系 X Y Z 坐标轴 原点 由坐标轴确定的平面叫作坐标平面。 x，y轴确定的平面记作xOy平面 y，z轴确定的平面记作yOz平面 x，z轴确定的平面记作xOz平面 在空间直角坐标系中，xOy平面把空间分为三个部分： xOy平面、z轴的正半轴所在部分，z轴的负半轴所在部分. 同样，xOz平面、yOz平面也把空间分别分为三个部分 面 面 面 O 空间直角坐标系共有八个卦限 2、空间直角坐标系的划分 P1 P2 P3 y x z 1 1 P 1 3、空间中点的坐标 对于空间任意一点P，要求它的坐标 方法一：过P点分别做三个平面垂直于 x,y,z轴，平面与三个坐标轴的交点分别为 P1、P2、P3，在其相应轴上的坐标依次为 x,y,z，那么(x,y,z)就叫做点P的空间直角 坐标，简称为坐标，记作P(x,y,z)，三个 数值叫做P点的x坐标,y坐标,z坐标。 P点坐标为 (x,y,z) 1 1 1 P P 0 x y z 方法二：过P点作xy面的垂线，垂足为P0点。 点P0在坐标系xOy中的坐标x、y依次是P点的x坐 标、y坐标。再过P点作z轴的垂线，垂足P1在z轴 上的坐标z就是P点的z坐标。 P点坐标为 (x,y,z) P1 注意注意：在建立了空间直角坐标系后，空间 中任何一点P就与有序实数组(x,y,z)建立了 一一对应关系，(x,y,z)就叫做P的空间直角坐 标，简称为坐标，记作P(x,y,z)。三个数值x、y、 z分别叫做P点的x坐标、y坐标、z坐标。 小提示：坐标轴 上的点至少有两个坐 标等于0；坐标面上 的点至少有一个坐标 等于0。 点P的位置 原点OX轴上AY轴上BZ轴上C 坐标形式 点P的位置 X Y面内DY Z面内EZ X面内F 坐标形式 O x y z 1 1 1 A D C B E F (0,0,0)(x,0,0)(0,y,0)(0,0,z) (x,y,0)(0,y,z)(x,0,z) 4、特殊位置的点的坐标 点P所在卦 限 坐标符号 点P所在卦 限 坐标符号 (+,+,+) 5、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号 (-,+,+)(-,-,+)(+,-,+) (+,+,-)(-,+,-)(-,-,-)(+,-,-) 卦限图卦限图 平面直角坐标 y x O z 1 1 1 A B C D E F 1、在空间直角坐标系中描出下列各点，并说 明这些点的位置 A（0,1,1） B（0,0,2） C（0,2,0） D（1,0,3） E（2,2,0） F（1,0,0） A1(1,4,0) A(1,4,1) (2,-2,0) B1 B (2,-2,-1) x O y z 1 1 1 (-1,-3,0) C1 (-1,-3,3) C 2、在空间直角坐标系中作出下列各点 (1)、A（1,4,1）； (2)、B（2,-2,-1）； (3)、C（-1,-3,3）； C D BA C O AB z y x 例1：如图 例2：在空间直角坐标系中标出下列各点： A（0，2，4）B（1，0，5） C（0，2，0）D（1，3，4） 结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食 盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为1/2 的小正方体堆积成的正方体），其中红 色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如 图：建立空间直角 坐标系 后， 试写出全部钠原子 所在位置的坐标。 例3： y z x 练习1： 点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足 下列条件的点的坐标 (1)与点M关于x轴对称的点 (2)与点M关于y轴对称的点 (3)与点M关于z轴对称的点 (4)与点M关于原点对称的点 (5)与点M关于xOy平面对称的点 (6)与点M关于xOz平面对称的点 (7)与点M关于yOz平面对称的点 (x,-y,-z) (-x,y,-z) (-x,-y,z) (-x,-y,-z) (x,y,-z) (x,-y,z) (-x,y,z) 关于谁对称谁不变，其余都相反 练习2 正四棱锥P-ABCD的底面边长为4,侧棱长为10，建立恰当的空间 直角坐标系 (1)写出正四棱锥P-ABCD各顶点坐标 (2)写出棱PB的中点M的坐标 O A B C D P x y z 在空间直角坐标系中描出下列各点， 并指出各点所在的位置： A（0,3,1）, B（0,0,5）, C（0,3,0） 在空间直角坐标系中作出下列各点： (1)、（ -1,-4,1 ）； (2)、 （ -3,3,4 ）； 空间直角坐标系 1、空间直角坐标系的建立(三步) 2、空间直角坐标系的划分(八个卦限) 3、空间中点的坐标(一一对应) 4、特殊位置的点的坐标(表格) 5、点P在各卦限中x、y、z坐标的符号(表格) 空间向量运算 的坐标表示 , 则设 一、向量的直角坐标运算 若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2), 则 AB = OB-OA=(x2,y2,z2)-(x1,y1,z1) =(x2-x1 , y2-y1 , z2-z1) 空间一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个 向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 二、距离与夹角的坐标表示 1.距离公式 （1）向量的长度（模）公式 注意：此公式的几何意义是表示长方体的对 角线的长度。 在空间直角坐标系中，已知 、 ，则 （2）空间两点间的距离公式 2.两个向量夹角公式 注意： （1）当 时， 同向； （2）当 时， 反向； （3）当 时， 。 解：设正方体的棱长为1，如图建 立空间直角坐标系 ，则 例1 如图,