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文档简介

5.5 二次型及其标准型 一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形 图1 （1） （2） （3） x y x y 一、二次型及其标准形的概念 称为二次型 只含有平方项的二次型 称为二次型的标准形（或法式或规范型） 例如 都为二次型； 为二次型的标准形. 1用和号表示对二次型 二、二次型的表示方法 2用矩阵表示 任给一个二次型, 就惟一地确定一个对称阵; 反之, 任给一个对称阵, 也可惟一地确定一个二次型, 这样, 二次型与对称阵之间存在一一对应的关系 . 解 例1 三、二次型的矩阵及秩 因此 , 我们把对称阵 A 叫做二次型 f 的矩阵 , 也把f 叫做 对称阵的二次型 , 对称阵 A 的秩就叫做二次型 f 的秩 . 设 四、化二次型为标准形 对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求 可逆的线性变换，将二次型化为标准形 证明 即 为对称矩阵. 定义3 说明 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤 解 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值 例2 从而得特征值 2求特征向量 3.（1）将特征向量正交化 得正交向量组 3.(2)将正交向量组单位化得正交阵 4.所求正 交变换为 五、小结 1. 实二次型的化简问题，通过在二次型和对 称矩阵之间建立一一对应的关系，将二次型的化简 转化为将对称矩阵化为对角矩阵，而这是5.4节已 经解决的问题，请注意这种研究问题的思想方法 2. 实二次型的化简，并不局限于使用正交 矩阵，根据二次型本身的特点，可以找到某种运 算更快的可逆变换下一节，将介绍另一种方法 拉格朗日配方法 本章补充例题： 例1：设设3阶阶方阵阵特征值为值为 对应对应 的特征 向量依次为为 求 解 根据特征向量的性质质知可逆,且: 可得 得 例2：设设3阶对阶对 称矩阵阵 与特征值值6对应对应 的特征向量为为,求 解 设设由 知 的特征值值6，3，3， 3是 二重特征值值,根据实对实对 称矩阵阵的
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