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第八节 连续函数的运算 及初等函数的连续性 一、四则运算的连续性 二、反函数与复合函数的连续性 三、初等函数的连续性 四、小结 思考题 一、四则运算的连续性 定理1 例如, 二、反函数与复合函数的连续性 定理2 严格单调的连续函数必有严格单调的连 续反函数. 例如, 反三角函数在其定义域内皆连续. 定理3 证 将上两步合起来: 意义1.极限符号可以与函数符号互换; 例1 解 例2 解 同理可得 定理4 注意 定理4是定理3的特殊情况. 例如, 三、初等函数的连续性 三角函数及反三角函数在它们的定义域内是 连续的. 定理5 基本初等函数在定义域内是连续的. (均在其定义域内连续 ) 定理6 一切初等函数在其定义区间内都是连 续的. 定义区间是指包含在定义域内的区间. 1. 初等函数仅在其定义区间内连续, 在 其定义域内不一定连续; 例如, 这些孤立点的邻域内没有定义. 在0点的邻域内没有定义. 注意 例3 例4 解 解 注意 2. 初等函数求极限的方法：代入法. 称形如y=f (x)g(x)的函数为幂指函数, 其中f (x)0. 根据对数恒等式 y=elny, y 0, 有f (x)gx = eg(x) lnf (x), 即, 当f (x), g(x)均连续时, f (x)g (x)也连续. 则 补充： 例 若 limf (x) = A 0. limg(x) = B, 存在. 例.= 21 = 2 四、小结 思考题 连续函数的和差积商的连续性. 复合函数的连续性. 初等函数的连续性. 定义区间与定义域的区别; 求极限的又一种方法. 两个定理; 两点意义. 反函数
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