北师大版高中数学选修2-2第一章《推理与证明》数学归纳法.pptVIP

北师大版高中数学选修2-2第 一章推理与证明 4 数学归纳法 数学归纳法(1) 法门高中姚连省制作 1 数学归纳法(1) 2 一、教学目标：1、使学生了解归纳法, 理解数学归纳的原理 与实质。2、掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用“数学归 纳法”证明简单的与自然数有关的命题。3、培养学生观察, 分析, 论证的能力, 进一步发展学生的抽象思维能力和创新能 力，让学生经历知识的构建过程, 体会类比的数学思想。4、 努力创设课堂愉悦情境，使学生处于积极思考、大胆质疑氛 围，提高学生学习的兴趣和课堂效率。5、通过对例题的探 究，体会研究数学问题的一种方法(先猜想后证明), 激发学生 的学习热情，使学生初步形成做数学的意识和科学精神。 二、教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。 教学难点：明确数学归纳法的两个步骤的必要性并正确使用 。 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程 3 问题 1:大球中有5个小球，如何证明它们都是 绿色的？ 问题 2: 完全归纳 法 不完全归 纳法 问题3：某人看到树上乌鸦是黑的，深 有感触地说全世界的乌鸦都是黑的。 问题情境一 4 费马(Fermat) 曾经提出一个猜想： 形如Fn22 n+1(n=0,1,2)的数都是质数 100年后 问题情境二 5 ：由一系列有限的特殊事例得出 一般结论的推理方法 结论一定可靠结论不一定可靠 考察全体对象, 得到一般结论 的推理方法 考察部分对象,得 到一般结论的推 理方法 归纳法分为完全归纳法 和 不完全归纳法 归纳法 6 多米诺骨牌课件演示 （2）验证前一问题与后一问题有递推关系； （相当于前牌推倒后牌） 如何解决不完全归纳法存在的问题呢 ？ 如何保证骨牌一一倒下？需要几个步骤才 能做到？ （1）处理第一个问题；（相当于推倒第一块 骨牌） 问题情境三 7 思考:问题2中证明数列的通项公式 这个猜想 与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗?你能类比多米诺骨 牌游戏解决这个问题吗? 由条件知,n=1时猜想成立. 如果n=k时猜想成立,即 ,那么当n=k+1时猜 想也成立,即 事实上, 即n=k+1时猜想也成立 . 8 对于由不完全归纳法得到的某些与自然数有关自 然数的数学命题我们常采用下面的方法来证明它们 的正确性： （1）证明当n取第一个值n0(例如n0=1) 时命题 成立; （2）假设当n=k(kN* ,k n0)时命题成立 证明当n=k+1时命题也成立. 这种证明方法叫做 数学归纳法 数学归纳法 【归纳递推】 【归纳奠基】 9 框图表示 10 例1.用数学归纳法证明 11 1.用数学归纳法证明等式 1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时， 当n1时，左边所得项是 ； 当n2时，左边所得项是 ； 1+2+3 1+2+3+4+5 A、1B、1+aC、1+a+a2D、1+a+a2+a3 C 课堂练习： 12 例2.用数学归纳法证明：如果an是一个等差数列 ，则an=a1+(n-1)d对于一切nN*都成立。 证明: (1)当n=1时,左边=a1,右边=a1 +（1-1）d=a1, 当n=1时，结论成立 (2)假设当n=k时结论成立， 即 ak=a1+(k-1)d 则当n=k+1时 a k+1 = ak+d = a1+(k-1)d+d = a1+(k+1)-1d 当n=k+1时，结论也成立。 由(1)和(2)知,等式对于任何nN*都成立。 凑假设 结论 从n=k到 n=k+1有什么 变化 13 注意 1. 用数学归纳法进行证明时,要分两个 步骤,两个步骤缺一不可. 2 (1)(归纳奠基)是递推的基础. 找准n0 (2)(归纳递推)是递推的依据 nk时 命题成立作为必用的条件运用，而nk+1 时情况则有待利用假设及已知的定义、公式 、定理等加以证明 14 例3 用数学归纳法证明 【分析】(1) 第一步应做什么?本题的n0应取多少? n0=1, （2）在证传递性时，假设什么？求证什么? 假设1+3+5+（2k-1）=k2 求证1+3+5十.十(2k-1)十(2k+1)=(k+1) 2 （3）怎样将假设1+3+5+（2k-1）=k 2 推理变形为1+3+5十.十(2k-1)十(2k+1)=(k+1) 2 15 证明：当n=1时，左边=1，右边=1，等式成立。 假设n=k(kN ,k1)时等式成立,即： 1+3+5+(2k-1)=k2， 当n=k+1时： 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1=k2+2k+1=(k+1)2， 所以当n=k+1时等式也成立。 由和可知，对nN ，原等式都成立。 例3、用数学归纳法证明1+3+5+(2n-1)=n2 （nN ） . 请问： 第步中“当n=k+1时”的证明可否改换为： 1+3+5+(2k-1)+2(k+1)-1= 1+3+5+(2k-1)+(2k+1) = = (k+1)2 ?为什么？ 16 1、用数学归纳法证明：1+2+3+n=n(n+1)/2 (nN)； 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是 1+2+3+k =k(k+1)/2 那么， 1+2+3+k+(k+1)= k(k+1)/2+ (k+1) =(k+1)(k+1)+1/2 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何nN都成立。 练习： 17 2、用数学归纳法证明：1+2+22+2n-1=2n-1 (nN*) 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,等式是成立的。 (2)假设当n=k时等式成立，就是 1+2+22+2k-1 =2k-1 那么， 1+2+22+2k-1 +2k=2k-1 + 2k =22k-1 =2k+1-1 这就是说，当n=k+1时，等式也成立。 因此,根据(1)和(2)可断定,等式对于任何nN* 都成立。 练习： 18 分析:找到“递推关系”就等于把握住解决问题的“灵魂”。 有几项？ 是什么,它比多出了多少，是首要问题。 例4对于nN*用数学归纳法证明： 事实上f(k+1)不但比f（k）多一项，而且前k项 中每一项分别比f（k）中多了1,2,3,4k f(k+1)=f(k)+1+2+3+k 19 证明：设f(n)= (1)当n1时，左边1，右边1，等式成立 (2)设当nk,时等式成立，即 则n=k+1时， f(k+1)=1(k+1)+2(k+1)-1+3(k+1)-2+ +(k+1)-23+(k+1)-12+(k+1) =f(k)+1+2+3+k+(k+1) 由（1）（2）可知 当nN*时等式都成立 。 20 1.数学归纳法是一种证明与正整数有关的数 学命题的重要方法.主要有两个步骤一个结论: 【归纳奠基】 （1）证明当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时 结论正确 （2）假设n=k时结论正确，证明n=k+1时结论 也正确 （3）由（1）、（2）得出结论 【归纳递推】 找准起点 奠基要稳 用上假设 递推才真 写明结论 才算完整 归纳小结 21 作业:课本习题1-4：3 补充题：求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n 1 3 (2n-1) 证明： n=1时：左边=1+1=2，右边=211=2，左边=右边，等 式成立。 假设当n=k(kN ）时有： (k+1)(k+2)(k+k)=2k 1 3 (2n-1), 当