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典型的整数线性规划问题 一、背包问题 有一徒步旅行者要带一背包，设对背包的总重量 限制为b千克，今有n种物品可供选择，已知第j种 物品每件重量为aj千克，使用价值为cj，问旅行者 应如何选取这些物品，使得总价值最大？ 整数线性规划及01规划 令xj表示第j种物品的装入件数 模型建立 整数 线性 规划 模型 (IP) 典型的整数线性规划问题 二、投资问题 今有一笔资金，设金额为b个单位，可以投资的发 展项目有n个，要求对每个发展项目的的投资单位 数必须是非负整数，且只考虑两种决策：要么投 资，要么不投资，若对第j个发展项目投资，所花 资金为aj。已知对第j个发展项目每投资一单位可 获利cj个单位，问如何投资才能使总利润最大？ 令xj表示对第j个发展项目的投资数量 模型建立 整数 线性 规划 01 模型 (IP) 如果生产某一类型汽车，则至少要生产80辆， 那么最优的生产计划应作何改变？ 例1 汽车厂生产计划 汽车厂生产三种类型的汽车，已知各类型每辆车对钢 材、劳动时间的需求，利润及工厂每月的现有量。 小型 中型 大型 现有量 钢材（吨） 1.5 3 5 600 劳动时间（小时） 280 250 400 60000 利润（万元） 2 3 4 制订月生产计划，使工厂的利润最大。 整数线性规划及01规划 设每月生产小、中、大型 汽车的数量分别为x1, x2, x3 汽车厂生产计划 模型建立 小型 中型 大型 现有量 钢材 1.5 3 5 600 时间 280 250 400 60000 利润 2 3 4 线性 规划 模型 (LP) 模型 求解 3） 模型中增加条件：x1, x2, x3 均为整数，重新求解。 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.2581 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.516129 0.000000 X2 167.741928 0.000000 X3 0.000000 0.946237 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 0.000000 0.731183 3) 0.000000 0.003226 结果为小数， 怎么办？ 1）舍去小数：取x1=64，x2=167，算出目标函数值z=629，与 LP最优值632.2581相差不大。 2）试探：如取x1=65，x2=167；x1=64，x2=168等，计算函数 值z，通过比较可能得到更优的解。 但必须检验它们是否满足约束条件。为什么？ IP可用LINDO直接求解 整数规划(Integer Programming,简记IP) “gin 3”表示“前3个变量 为整数”，等价于： gin x1 gin x2 gin x3 IP 的最优解x1=64，x2=168，x3=0，最优值z=632 max 2x1+3x2+4x3 st 1.5x1+3x2+5x3600 280x1+250x2+400x360000 end gin 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 632.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 64.000000 -2.000000 X2 168.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 模型求解 IP 结果输出 其中3个子模型应去掉，然后 逐一求解，比较目标函数值， 再加上整数约束，得最优解： 方法1：分解为8个LP子模型 汽车厂生产计划 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 x1,x2, x3=0 或 80 x1=80，x2= 150，x3=0，最优值z=610 LINDO中对0- 1变量的限定： int y1 int y2 int y3 方法2：引入0-1变量，化为整数规划 M为大的正数 ，可取1000 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 610.0000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 80.000000 -2.000000 X2 150.000000 -3.000000 X3 0.000000 -4.000000 Y1 1.000000 0.000000 Y2 1.000000 0.000000 Y3 0.000000 0.000000 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80 最优解同前 NLP虽然可用现成的数学软件求解(如LINGO, MATLAB)，但是其结果常依赖于初值的选择。 方法3：化为非线性规划 非线性规划（Non- Linear Programming，简记NLP） 实践表明，本例仅当初值非常接近上面方法算出 的最优解时，才能得到正确的结果。 若生产某类汽车，则至少生产80辆，求生产计划。 x1=0 或 80 x2=0 或 80 x3=0 或 80 丁的蛙泳成绩退步到115”2；戊的自由泳成绩进 步到57”5, 组成接力队的方案是否应该调整？ 如何选拔队员组成4100米混合泳接力队? 例2 混合泳接力队的选拔 甲乙丙丁戊 蝶泳106”857”2118”110”107”4 仰泳115”6106”107”8114”2111” 蛙泳127”106”4124”6109”6123”8 自由泳58”653”59”457”2102”4 5名候选人的百米成绩 穷举法：组成接力队的方案共有5!=120种。 目标 函数 若选择队员i参加泳姿j 的比赛，记xij=1, 否则记xij=0 0-1规划模型 cij(秒)队员i 第j 种泳姿的百米成绩 约束 条件 每人最多入选泳姿之一 ciji=1i=2i=3i=4i=5 j=166.857.2787067.4 j=275.66667.874.271 j=38766.484.669.683.8 j=458.65359.457.262.4 每种泳姿有且只有1人 模型求解 最优解：x14 = x21 = x32 = x43 = 1, 其它变量为0; 成绩为253.2(秒)=413”2 MIN 66.8x11+75.6x12+87x13+58.6x14 + +67.4x51+71 x52+83.8x53+62.4x54 SUBJECT TO x11+x12+x13+x14 =1 x41+x42+x43+x44 =1 x11+x21+x31+x41+x51 =1 x14+x24+x34+x44+x54 =1 END INT 20 输入LINDO求解 甲乙丙丁戊 蝶泳106”857”2118”110”107”4 仰泳115”6106”107”8114”2111” 蛙泳127”106”4124”6109”6123”8 自由泳58”653”59”457”2102”4 甲 自由泳、乙 蝶泳、 丙 仰泳、丁 蛙泳. 丁蛙泳c43 =69.675.2，戊自由泳c54=62.4 57.5, 方案是否调整？ 敏感性分析？ 乙 蝶泳、丙 仰泳、 丁 蛙泳、戊 自由泳 IP规划一般没有与LP规划相类似的理论，LINDO 输出的敏感性分析结果通常是没有意义的。 最优解：x21 = x32 = x43 = x51 = 1, 成绩为417”7 c43, c54 的新数据重新输入模型，用LINDO求解 指派(Assignment)问题：每项任务有且只有一人承担， 每人只能承担一项，效益不同，怎样分派使总效益最大. 讨论 甲 自由泳、乙 蝶泳、 丙 仰泳、丁 蛙泳. 原 方 案 为了选修课程门数最少，应学习哪些课程 ？ 例3 选课策略 要求至少选两门数学课、三门运筹学课和两门计算机课 课号课名学分所属类别先修课要求 1微积分5数学 2线性代数4数学 3最优化方法4数学；运筹学微积分；线性代数 4数据结构3数学；计算机计算机编程 5应用统计4数学；运筹学微积分；线性代数 6计算机模拟3计算机；运筹学计算机编程 7计算机编程2计算机 8预测理论2运筹学应用统计 9数学实验3运筹学；计算机微积分；线性代数 选修课程最少，且学分尽量多，应学习哪些课程 ？ 0-1规划模型 决策变量 目标函数 xi=1 选修课号i 的 课程（xi=0 不选） 选修课程总数最少 约束条件 最少2门数学课， 3门运筹学课， 2门计算机课。 课号课名所属类别 1微积分数学 2线性代数数学 3最优化方法数学；运筹学 4数据结构数学；计算机 5应用统计数学；运筹学 6计算机模拟计算机；运筹学 7计算机编程计算机 8预测理论运筹学 9数学实验运筹学；计算机 先修课程要求 最优解： x1 = x2 = x3 = x6 = x7 = x9 =1, 其它为0；6门课程，总学分21 0-1规划模型 约束条件 x3=1必有x1 = x2 =1 模型求解（LINDO） 课号课名先修课要求 1 微积分 2 线性代数 3 最优化方法微积分；线性代数 4 数据结构计算机编程 5 应用统计微积分；线性代数 6 计算机模拟计算机编程 7 计算机编程 8 预测理论应用统计 9 数学实验微积分；线性代数 学分最多 多目标优化的处理方法：化成单目标优化。 两目标(多目标)规划 讨论：选修课程最少，学分尽量多，应学习哪些课程？ 课程最少 以学分最多为目标，不 管课程多少。 以课程最少为目标，不 管学分多少。 最优解如上，6门课 程，总学分21 。 最优解显然是选修所 有9门课程 。 多目标规划 在课程最少的前提下 以学分最多为目标。 最优解： x1 = x2 = x3 = x5 = x7 = x9 =1, 其它为0；总 学分由21增至22。 注意：最优解不唯一！ 课号课名学分 1微积分5 2线性代数4 3最优化方法4 4数据结构3 5应用统计4 6计算机模拟3 7计算机编程2 8预测理论2 9数学实验3 LINDO无法告诉优化 问题的解是否唯一。 可将x9 =1 易为x6 =1 增加约束 ， 以学分最多为目标