外力场中自由粒子的分布·玻尔兹曼分布.ppt

2.6 外力场中自由粒子的分布 玻尔兹曼分布 按照分子混沌性假设，处于平衡态的气 体其分子数密度n处处相等，但这仅在无 外力场条件下才成立。 若分子受到重力场、惯性力场等作用， 气体分子数密度将有一定的空间分布，这 类分布均可看作玻尔兹曼分布的某种特例 。 2.6.1 等温大气压强公式 *悬浮微粒按高度分布 因为大气中存在十分复杂的流动，因而大气压 强变化十分复杂。 （一）等温大气压强公式（isothermal barometric formula 现假设大气是等温的且处于平衡态，则大气 温度随高度变化是怎样的？ 现考虑在大气中垂直高度为z 到z+dz，面积为A的一薄层气体 该系统达到平衡的条件为 大气温度随高度增加减少的关系(对流层中 ) dp = -(z)gdz 由理想气体方程可得 = p Mm/RT ，代入 设大气温度处处相等，重力加速度g不随高度变 。 对上式积分，则有 其中p（0）及p（z）分别为高度 0 及 z 处 大气压强。 把它改写为气体分子数密度随高度分布公式 ，则 (二)等温大气标高 中的kT/mg 具有高度的量纲。 定义大气标高H 因指数上量纲为1，故 大气标高的物理意义为： （1）在高度z = H 处的大气压强为z = 0处大 气压强的 1/e。 （2）设把整个大气分子都压缩为环绕地球表面 的、其密度与海平面处大气密度相等的一层假想 的均匀大气层，则这一层大气的厚度也是H。 （3）大气标高是粒子按高度分布的特征量，它 反映了气体分子热运动与分子受重力场作用这一 对矛盾。 这一对矛盾的相互协调形成稳定的大气压强分 布。 可以想像，一旦热运动停止，大气中所有分子 都会像砂粒一样落到地面 . *2.6.2 旋转体中悬浮粒子径向分布 超速离心技 术 台风、飓风、龙卷风 在如图的实验装置中，发现 竖直管中水面上升h高度。 现以水平管中距旋转中心轴r 到 r+dr的一段气体作为研究对象。 设其中气体的密度为 ， 而管的横截面积A.在整个管中处 处均匀。 这段气体的质量为 现分析它的受力情况， 惯性离心力 方向沿径向向外 又 达到平衡时应有 因 故 积分后可得 (二)超速离心技术与同位素分离 该式可用于分离大分子、病毒、DNA及其它微 粒，也可用于测量微粒的质量。 超速离心机转速可在25r/s到数万r/s之间改 变，从而使悬浮在液体中的微粒或大分子所受到 的惯性离心力可远大于重力。 在十分大的惯性离心力作用下，不同质量粒 子组成的混合物将在径向被很明显地分离开。 例如，若旋转半径为6cm，转速为103r/s，则 惯性离心力加速度可达6000g。 正因为在超速离心力作用下分离效果较明显 ，因而这种方法也被广泛地应用于同位素分离， 获得浓缩铀,而逐渐替代泻流法分离同位素. （三）台风、飓风、龙卷风 台风（热带风暴）是指：在处于热带的北太平 洋西部洋面上局部积聚的湿热空气大规模上升至 高空过程中，周围低层空气乘势向中心流动，在 此过程中将出现沿地球径向运动的速度分量。 在科里奥利力的作用下形成空气旋涡，.这就称 为台风或热带风暴。 气流旋转使台风中心（称为台风眼）气压很低 ，低气压使云层裂开变薄，有时可见到日月星光 。惯性离心力将云层推向四周，形成高耸的壁， 狂风、暴雨均发生在台风眼之外。台风的直径一 般为几百公里，最大可达1000 km。 在东太平洋和大西洋形成的“热带风暴”被称 为飓风。 龙卷风也是一种猛烈的气旋。但龙卷 风直径仅几米到几百米，它生消迅速。 由于气流的旋转性很强，中心气压很低 ，常将地面的水、尘土、泥沙夹卷而上 ，可拔树、掀屋面，故破坏力强 2.6.3 玻尔兹曼分布（Bortzmann distribution） （1）回转气体中粒子数密度沿径向的分 布 (2)等温大气重力场中分布公式 (1)式与(2)式十分类同,所不同的仅是将 (-mv2r2/2kT)代替了重力势能mgz。 注意到回转体在作宏观运动。前面已 指出， 力学注意物体的外部表现（机械运动） ，而热学注意其内部运动（热运动）。 故热学不考虑整体的宏观运动，若有宏 观运动，其坐标系应取在运动系统上 . 注意到 m2r 就是坐标系取在回转体上 的惯性离心力，它是一种保守力， 而保守力所作负功等于势能的增加 设在r=0处的势能为Ep（0）=0，则在r=r 处的势能 指数上是粒子的惯性离心力势能与kT之比 的负值 接下来看麦克斯韦速度分布 其指数上是粒子动能与kT比的负值。 这三种分布都是按粒子能量的分布 ，它们都有一个称为“玻尔兹曼因子”的 因子 ，因而 这两种不同状态可分别为：在重力势能的两种 不同状态；在分子动能的两种不同状态； 在粒子惯性离心力势能的两种不同状态上。 从这三种分布，可归纳出这一规律， 这些分布中都有 ，称为玻尔兹曼因子。 具有玻尔兹曼因子的分布，称为玻尔兹曼分 布（Bortzmann distribution） 在温度为T 的系统中，处于粒子能量为1 的某一状态的粒子数密度为n1 , 处于粒子能量 为 2 的另一状态上的粒子数密度为n2 。 玻尔兹曼分布可表示为 因为同一能量一般可有多个不同粒子状态。 例如，那些处于速度空间中以原点为中心、 v为半径的球面上的理想气体分子，它们的能量 均相同，但速度方向不同，粒子状态也各不相同 。 玻尔兹曼分布表示：粒子处于能量相同状态 上的概率是相同的；粒子处于能量不同状态的概 率是不同的，粒子处于能量高状态上的概率反而 小. 玻尔兹曼分布是玻尔兹曼于1868年在推广麦克 斯韦速度分布时建立的平衡态能量分布律. 玻尔兹曼分布是一种普遍的规律。 对于处于平衡态的气体中的原子、分子、 布朗粒子，以及液体、固体中的很多粒 子，一般都可应用玻尔兹曼分布， 只要粒子之间相互作用很小而可忽略. 由玻尔兹曼分布表示温度 应该强调:玻尔兹曼分布能为我们提供 用来表示温度的另一表达式 它表示处于平衡态的系统，在（无相 互作用）粒子的两个不同能量的状态上 的粒子数的比值与粒子的能量之差之间 的比值有确定的关系。 我们可利用这一关系来确定系统的温度 。 第一章中己讲到关于温度的另一微观 定义， 说明温度是微观粒子热运动平均能量大 小的度量。 对于粒子只能取两个能级的系统，设在这两能 级上的粒子数密度分别为n1及n2，若在1 2 情况下有n1n2关系，则T0. 负温度 但若在1 2 情况下，n1n2（这称为粒子 数反转），这时T0，我们就称该粒子系统处于 负温度（negative temperature）状态。 负温度仅存在于由两个能级所单独组成的 子系中；且仅出现在短暂的时间中。 产生激光的系统，就处于粒子数反转的负温 度状态。 正温度 无穷大温度 负温度 两能级系统的负温度 下面就以两能级系统为