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第三章第三章 平面机构的运动分析平面机构的运动分析 基本要求： 明确机构运动分析的目的和 方法； 理解速度瞬心（绝对瞬心和 相对瞬心）的概念，并能运 用“三心定理”确定一般平 面机构各瞬心的位置； 能用瞬心法对简单高、低副 进行速度分析。 能用图解法和解析法对平面 二级机构进行运动分析。 本章重点： 速度瞬心的概念和“三心定理 ”的应用； 通过机构位置矢量多边形建立 机构的位置矢量方程； 应用相对运动图解法原理求二 级机构构件上任意点和构件的运 动参数。 本章难点： 对有共同转动且有相对移动的两 构件重合点间的运动参数的求解 。 1. 机构运动分析的任务 在已知机构尺寸和原动件运动规律的情况下，确定机构中其 它构件上某些点的轨迹、位移、速度及加速度和某些构件的 角位移、角速度及角加速度。 3-1 3-1 机构运动分析的任务、目的及方法机构运动分析的任务、目的及方法 2. 机构运动分析的目的 v 位移、轨迹分析 A C B ED HE HD 确定机构的位置（位形），绘制 机构位置图。 确定构件的运动空间，判断是否发生 干涉。 确定构件(活塞)行程， 找出上下极限 位置。 确定点的轨迹（连杆曲线）。 v 速度分析 通过分析，了解从动件的速度变化 规律是否满足工作要求。如牛头刨床； 为加速度分析作准备。 v 加速度分析 确定各构件及其上某些点的加速度 ； 了解机构加速度的变化规律； 为机构的力分析打基础。 3. 机构运动分析的方法 图解法 解析法 速度瞬心法 矢量方程图解法 3-2 用速度瞬心作平面机构的速度分析 速度瞬心(瞬心): 互作平面相对运动的两个刚体（构 件）上瞬时速度相等的重合点。 两构件的瞬时等速重合点 一、速度瞬心(Instantaneous Center of VelocityICV) 12 A2(A1) B2(B1) P21 VA2A1 VB2B1 相对瞬心重合点绝对速度不为零。 绝对瞬心重合点绝对速度为零。 瞬心的表示构件i 和 j 的瞬心用Pij表示。 特点： 该点涉及两个构件。绝对速度相同，相对速度 为零。相对回转中心。 二、机构中瞬心的数目 每两个构件就有一个瞬心 根据排列组合有 若机构中有N个构件（包括机架），则 三、机构中瞬心位置的确定 1. 通过运动副直接相联的两构件的瞬心位置确定 1）以转动副相联 的两构件的瞬心 12 P12 转动副的中心。转动副的中心。 2）以移动副相联的 两构件的瞬心 移动副导路的移动副导路的 垂直方向上的无穷垂直方向上的无穷 远处。远处。 12 P12 3）以平面高副相联的两构件的瞬心 当两高副元素作纯滚动时 瞬心在接触点上。瞬心在接触点上。 t 1 2 n n t 当两高副元素之间既有相对滚动， 又有相对滑动时: 瞬心在过接触点的公法线瞬心在过接触点的公法线 n n- -n n 上，上， 具体位置需要根据其它条件确定。具体位置需要根据其它条件确定。 V12 1 2 P12 2. 不直接相联两构件的瞬心位置确定三心定理三心定理 三心定理 (Kennedys theory)(Kennedys theory) 三个彼此作平面平行 运动的构件的三个瞬 心必位于同一直线上 。其中一个瞬心将另其中一个瞬心将另 外两个瞬心的联线分外两个瞬心的联线分 成与各自角速度成反成与各自角速度成反 比的两条线段比的两条线段。 3 2 2 3 1 VK2 VK1 P12P13 2 3 2 1 P23P23P23 VP23 3 K(K2,K3 ) 证明： 四、用瞬心法进行机构速度分析 例1 如图所示为一平面四杆机构，（1）试确定该机构在图示位 置时其全部瞬心的位置。（2）原动件2以角速度2顺时针方向 旋转时，求图示位置时其他从动件的角速度3 、4 。 解 1、首先确定该机构所有瞬心的数目 K = N（N1）/ 2 = 4（41）/ 2 = 6 2、求出全部瞬心 两种方法： 三心定理。 瞬心多边形法：构件用点代替，瞬心用线段来代替。 瞬心P13、P24用 三心定理来求 P24 P13 3 2 4 1 4 2 12 34 P12 P34 P14 P23 P24 P13 3 2 4 1 4 2 P12 P34 P14 P23 P24为构件2、4等速重合点 构件2： 构件3： 同理可以求得 2 1 3 4 41 23 例 2 ： 图示为一曲柄滑块机构，设各构件尺寸为已知，又已原动 件1以角速度 1，现需确定图示位置时从动件3的移动速度V3。 P34P34 解 1、首先确定该机构所 有瞬心的数目 K = N（N1）/ 2 = 4（41）/ 2 = 6 2、求出全部瞬心 利用瞬心多边型和三心 定理即可求得。 VP13 P13为构件1、3等速重合点 2 1 3 4 P34P34 3、求出3的速度 1 2 3K 例3 图示为一凸轮机构，设各构件尺寸为已知，又已原动件2的角 速度2，现需确定图示位置时从动件3的移动速度V3。 解：先求出构件2、3的瞬心P23 P13 n n 1 23 P12 P13 P23 3-3 3-3 机构运动分析的矢量方程图解法机构运动分析的矢量方程图解法 一、矢量方程图解法的基本原理和作法 基本原理： (1)矢量加减法；(2)理论力学运动合成原理。 因每一个矢量具有大小和 方向两个参数，根据已知 条件的不同，上述方程有 以下四种情况： 设有矢量方程： D A + B + C (1)矢量加减法 大小：？ 方向：？ A B D C 33 用矢量方程图解法作机构速度和加速度分析 大小： ? ? 方向： C D 大小： 方向： ? ? 大小： ? 方向： ? A B A D C B C D A B 特别注意矢 量箭头方向！ 作法：1）根据运动合成原理 列出矢量方程式。 2）根据矢量方程式 作图求解。 构件间的相对运动问题可分为两类： 绝对运动绝对运动 = = 牵连运动牵连运动 + + 相对运动相对运动 (2) 理论力学运动合成原理 同一构件上的两点间的运动关系 两构件重合点间的运动关系 A B 1 A(A1,A2 ) 2 二、同一构件上两点间的速度及加速度的关系 现以图示曲柄滑块机构为例，说明用矢量方程图解法作 机构的速度分析和加速度分析的具体步骤。 已知图示曲柄滑块机构原动件AB 的运动规律和各构件尺寸。求： 图示位置连杆BC的角速度和其 上各点速度。 连杆BC的角加速度和其上C点加 速度。 （1） 速度关系： 根据运动合成原理，列出速度矢量方程式 ： 大小： 方向： ? 1lAB ? xx AB BC 确定速度图解比例尺v( (m/s)/mm) c b 速度多边形 作图求解未知量： p 极点 （逆时针方向） 如果还需求出该构件上E点的速度VE 大小： 方向： ? ? ? AB EBxx EC c b p 极点 e ? bce BCE , 叫做BCE 的速度影像 ，字母的顺序方向一致。 速度影像原理： 同一构件上若干点形成的几何图形 与其速度矢量多边形中对应点构成 的多边形相似，其位置为构件上的 几何图形沿该构件的方向转过90 。 v 速度多边形的特性：速度多边形的特性： 3）在速度多边形中，极点 p 代表机构中速度为零的点。 1） 在速度多边形中，由极点 p 向外放射的矢量代表构件上相应 点的绝对速度，方向由极点 p 指 向该点。 4） 已知某构件上两点的速度，可用速度影象法求该构件上第 三点的速度。 2）在速度多边形中，联接绝对速度矢端两点的矢量，代 表构件上相应两点的相对速度，例如 : 代表 c b 速度多边形 p 极点 (2) 加速度关系： a) 根据运动合成原理，列出加速度矢量方程式： 方向： CB BC 大小： ？ 22lBC ？ 作矢量多边形。 b) 根据矢量方程式，取加速度比例尺 图示尺寸 实际加速度 , / mm s2m a = bn c b p 极点 e c p 由加速度多边形得： bn c p acbt acbn 同样，如果还需求出该构件上E 点的加速度 aE，则 方向： ？ EB BE 大小： ？ 2 2 lBE 2 lBE 同理，按照上述方法作出矢量多边形， 则代表 n e bn c p 由加速度多边形得： 方向： ？ EB BE 大小： ？ 2 2 lBE 2 lBE bce BCE , 叫做 BCE 的加速度影像，字 母的顺序方向一致。 加速度影像原理： 同一构件上若干点形成的几何图形与其加速度矢量多边 形中对应点构成的多边形相似；其位置为构件上的几何 图形沿该构件的方向转过(180-)。 n e bn c p (-) acbt acbn v 加速度多边形的特性：加速度多边形的特性： bn c p acbt acbn 1） 在加速度多边形中，由极 点 p 向外放射的矢量代表构件 上相应点的绝对加速度，方向 由极点 p 指向该点。 2）在加速度多边形中，联接绝对加速度矢端两点的矢量，代 表构件上相应两点的相对加速度，例如 : 代表 。 3）在加速度多边形中，极点 p 代表机构中加速度为零的点。 4） 已知某构件上两点的加速度，可用加速度影象法求该构件上 第三点的加速度。 1 A D C 1 4 3 2 B 1 三、两构件重合点重合点间的速度和加速度的关系 已知图示机构尺寸和原动件1的运动。求重合点C的运动。 4 原理：原理：构件2的运动可以认为是 随同构件1的牵连运动和构件2相 对于构件1的相对运动的合成。 C 分析分析：构件1和2组成移动副，点C为两个构件的一个 重合点。Vc2、ac2根据两构件重合点间的关系可由vc1 、ac1求出，而构件2和3在C点的速度和加速度相等。 以移动副相连的两个转动构件上的重合点之间的速度和加速度。 1 A D C 1 4 3 2 B 4 1) 依据原理列矢量方程式 将构件1扩大至与C2点重合。 1 大小： 方向： ？ ? CD vC2 2) 取速度比例尺v , 作速 度多边形，由速度多边 形得： c2 (c3) ( 顺时针 ） c1 P vC1 ACACABC 1. 1. 速度分析：速度分析： 1) 依据原理列矢量方程式 c2 (c3) c1 P 1 A D C 1 4 3 2 B 4 1 C akC2C1 科氏加速度方向：将vC2C1沿牵连角速度1转过90o。 2. 2. 加速度分析：加速度分析： aC2aC2C1+aC1= 科氏加速度科氏加速度 当牵连点系（动参照系）为当牵连点系（动参照系）为 转动时，存在科氏加速度。转动时，存在科氏加速度。 动系转动速度动系转动速度相对速度相对速度 分析 ： ？ C c2 (c3) c1 P A 4 4 1 D1 3 2 B 1 方向： ？ AB 大小： ？ 已知 ？ akC2C1 由于上式中有三个未知数 ，故无法求解。 可根据3构件上的C3点进一 步减少未知数的个数。 arC2C1 aC1n aC1t 大小： 方向： CD CD AB ？ C c2 (c3) c1 P C A 4 4 1 D1 3 2 B 1 akC2C1 arC2C1 aC1n aC1t C ？大小 ： 方向 ： CD CD AB ？ c1 n c2 (c3 ) k p 2) 取速度比例尺a , 作 加速度多边形。 由加速度多边形可得： （顺时针） c2 (c3) c1 P C A 4 4 1 D1 3 2 B 1 akC2C1 arC2C1 aC1n aC1t C c1 n c2 (c3 ) k p atC3 arC2C1 B 1 2 3 B 1 2 3 B 1 2 3 B 1 2 3 1B 2 3 B 1 2 3 B 1 2 3 B 1 2 3 无ak 无ak 有ak 有ak 有ak 有ak 有ak 有ak 哥氏加速度存在的条件： 判断下列几种情况取B点为重合点时有无ak 2）两构件要有相对移动。 1）牵连构件要有转动； 如图所示为一偏心轮机构。设已知机构各构件的尺寸，并知原动件2以 角速度2等速度转动。现需求机构在图示位置时： 1. 滑块5移动的速度vF、加速度aF 2.构件3、4、5的角速度3、4、5和角速度3、a4、5。 典型例题分析典型例题分析 解：1. 画机构运动简图 E (E5,E6) a3 3 a6 6 3 D B 2 2 5 6 C 4 4 x x A 2. 速度分析： (1) 求vB: E (E5,E6) a3 3 a6 6 3 D B 2 2 5 6 C 4 4 x x A （2） 求vC: c e3(e5) b e6 P(a、d、f) （3） 求vE3: 用速度影像求解 （4） 求vE6: 大小： 方向： ？ ? EF xx （5） 求3、4、6 ;/ 3 srad BC bc l v l v BC CB = 3. 加速度分析 (1) 求aB:E (E5,E6) a3 3 a6 6 3 D B 2 2 5 6 C 4 4 x x A (2) 求aC及3、4 大小： 方向： ？ ？ CD CD BA CB CD 其方向与 (3) 求aE ：利用影像法求解 (4) 求aE6和6 EF EF xx xx 大小： 方向： ？ ？ E (E5,E6) a3 3 a6 6 3 D B 2 2 5 6 C 4 4 x x A n6 k e6 akE6E5 =25vrE6E5 F 矢量方程图解法小结 1.列矢量方程式 第一步：判明机构的级别适用二级机构 第二步：分清基本原理中的两种类型 第三步：矢量方程式图解求解条件只能有两个未 知数 2. 做好速度多边形和加速度多边形 （1）分清绝对矢量和相对矢量的作法，并掌握判别指 向的规律 （2）比例尺的选取及单位。 3. 注意速度影像法和加速度影像法的应用原则和方向 4. 构件的角速度和角加速度的求法 5. 科氏加速度存在条件、大小、方向的确定。 典型例题一：如图所示为一摇动筛的机构运动简图。设已知各构 件的尺寸，并知原动件2以等角速度2回转。要求作出机构在图 示位置时的速度多边形。 3-43-4瞬心法和矢量方程图解法的综合运用瞬心法和矢量方程图解法的综合运用 定点C速度的方向关键是定出 构件4的绝对瞬心P14的位置。 根据三心定理可确定构件4的 绝对瞬心P14。 作机构速度多边形的关键应 首先定点C速度的方向。 对于某些复杂机构，单独运用瞬心法或矢量方程图解法解题时 ，都很困难，但将两者结合起来用，将使问题的到简化。 解题分析 ： 这是一种结构比较复杂的六 杆机构(III级机构)。 1 2 3 4 6 5 A B C E D G F 2 1 2 3 4 6 5 A B C E D G F 2 解题步骤： 1. 确定瞬心P14的位置 2. 图解法求vC 、 vD 12 3 45 6 K = N（N1）/ 2 = 6（61）/ 2 = 15 P14 vC的方向垂直 P16 P15 P64 P45 p e b d c 3. 利用速度影像法作出vE 典型例题二：图示为由齿轮连杆组合机构。原动齿轮2绕固定 轴线O转动，齿轮3同时与齿轮2和固定不动的内齿轮1相啮合。 在齿轮3上的B点铰接着连杆5。现已知各构件的尺寸，求机构在 图示位置时构件6的角速度6。 P13为绝对瞬心,P23为相对瞬心 解： k g3 g g2 2 a c P13 P23 (o,d,e) g1,p b 一、矢量方程解析法 1.矢量分析的有关知识 其中：l矢量的模，幅角，各幺矢量为： 则任意平面矢量的可表示为： 幺矢量单位矢量 矢量L的幺矢量， 切向幺矢量 法向幺矢量， x轴的幺矢量 y轴的幺矢量 L j i y x et en i j e 3-5 3-5 用解析法作机构的运动分析用解析法作机构的运动分析 L j i y x et en i j e 微分关系： 相对速度相对速度 相对加速度相对加速度 将定杆长L对时间分别取一次导数和二次导数 ，可得A点相对于O点的相对速度和相对加速 度。 幺矢量点积运算： 3. 位置分析 列机构矢量封闭方程 2.用矢量方程解析法作平面机构的运动分析 图示四杆机构，已知机构各构件尺寸及原动件1的角位移 1和角速度1 ，现对机构进行位置、速度、加速度分析。 分析步骤： 2. 标出杆矢量 x y 求解3 消去2 1. 建立坐标系 将等式两边各自点积 AB C 同理求2 说明： 2及3均有两个解，可根据机构的初始安装情况和机 构传动的连续性来确定其确切值。 4. 速度分析 （同vC=vB+vCB ） 求导 用e2点积用e3点积 5. 加速度分析 求导 用e2点积 用e3点积 同理得 二、复数法 杆矢量的复数表示： 机构矢量封闭方程为 速度分析 求导 加速度分析求导 x y 位置分析 位置分析 三、矩阵法 利用复数法 的分析结果 只有2和3为未 知，故可求解。 求导 变形 变形 求导 加速度矩 阵形式 加速度分析 速度分析 速度分析 矩阵形式 解析法作机构运动分析的关键：正确建立机构的位置方程。至 于速度分析和加速度分析只不过是对位置方程作进一步的数学运 算而已。 速度方程的一般表达式： 其中A机构从动件的位置参数矩阵； 机构从动件的角速度矩阵； B机构原动件的位置参数矩阵； 1 机构原动件的角速度。 加速度方程的一般表达式： 机构从动件的加角速度矩阵； AdA/dt； BdB/dt；