特征值和特征向量.ppt

第六章 矩阵的特征值和特值向量 1 矩阵的特征值和特征向量 矩阵的特征值和特征向量是矩阵理论中重要个概念之 一, 它有着广泛的应用. 本章将引进特征值和特征向量的 概念及其计算. 并给出将矩阵对角化的方法. 一. 定义和求法 定义6.1 设A是n阶方阵, 如果数0和n维非零列向量 满足关系式 A=0 则称0为A的特征值, 为A的属于0的一个特征向量. 如果A是奇异矩阵(|A|=0), 则齐次线性方程组Ax=0 有非零解, 若记为Ax=0的非零解, 则有 可见, 0=0为奇异矩阵A的特征值, 方程组Ax=0的非零解 都是A的属于特征值0=0的特征向量. A=0=0 一般地, 由A=0 可得 (0E A)=0 可见, 是n元齐次线性方程组 (0E A)x=0 的非零解. 所以有|0E A|=0. 定义6.2 设A是n阶方阵, 是参数, 则行列式 称为方阵A的特征多项式. 称det(E A)=0为方阵A的特 征方程. A的特征值就是特征方程的解, n阶方阵A有n个特征值 . A的属于特征值i的特征向量就是齐次线性方程组 (E A)x=0 的所有非零解. 的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为 =(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3) 所以A的特征值为1=2=1, 3=3. 对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于 例1 求矩阵 所以k1(k0)是属于1=2=1的全部特征向量. 对3=3, 解方程(3E-A)x=0, 由于 得同解方程: , 基础解系为2=(-1, 1, 1)T. 所以k2(k0)是属于3=3的全部特征向量. , 基础解系为1=(0,0,1)T.得同解方程: 的特征值和特征向量. 解 A的特征多项式为 =(-1)(-2)2-1=(-1)2(-3) 所以A的特征值为1=2=1, 3=3. 对1=2=1, 解方程(E-A)x=0, 由于 例2 求矩阵 所以属于1=2=1的全部特征向量为 K11+k22 (k1,k2 不同时为0) 对3=3, 解方程(A-3E)x=0, 由于 得同解方程: , 基础解系为3=(1, -1, 1)T. 所以k3(k0)是属于3=3的全部特征向量. , 基础解系为1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T.得同解方程: 设方阵A可逆, 且是A的特征值, 证明1/是A-1 的特征值. 例3 证 首先证明0. 用反证法: 假设=0是A的特征 值, 则 再设是A对应特征值的特征向量 , 则 A= A-1 p=1/ p 所以1/是A-1的特征值, 而且与A有相同的特征向量. 类似地, 若是A的特征值, 则k是Ak的特征值. 0E - A=-A=0 , 这与A可逆矛盾, 故0. 一般地, 若是A的特征值,则()=a0+a1+amm 是(A)=a0E+a1A+amAm的特征值. 二. 特征值和特征向量的性质 由于 =n-(a11+a22+ann)n-1+(-1)n|A| 利用多项式方程根与系数的关系可得: 定理6.1 设1,2,n是n阶方阵A 的全部特征值, 则 1+2+n=a11+a22+ann 12n=detA 定理6.2 设1, 2, s是方阵A 的互异特征值, 1, 2, s是分别属于它们的特征向量, 那么1, 2, s线性 无关. 证明 设x11+x22+xss=0 类似地有: 则, A(x11+x22+xss)=0, 即 1x11+2x22+sxss=0 1kx11+2kx22+skxss=0 (k=0,1,s-1), 即 所以有 (x11, x22, xss)=(0, 0, , 0) 定理6.3 设1, 2是A 的两个互异特征值, 1, 2, s 和1, 2, t分别是属于1, 2的线性无关的特征向量, 则 1, 2, s, 1, 2, t线性无关. 即, xjj=0, 但j0, 故xj=0, (j=1,2,s) 所以向量组1, 2,s线性无关. 证明 设k11+k22+kss+l11+l22+ltt=0 若=k11+k22+kss 0, =l11+l22+ltt0 则+=0, 而, 分别是属于1, 2的特征向量, 矛盾. 所以=0, 即k1=k2=ks=l1=l2=lt=0, 线性无关 . 例4 解 由于A的特征值都不为0, 故A可逆. 而|A|=-2 于是 A*=AA-1=-2A-1. 于是 设3阶方阵A的特征值为1, -1, 2, 求|A*+3A-2E|. A*+3A-2E=-2A-1 +3A-2E=(A) (A)的3个特征值为: (1)=-1, (-1)= -3, (2)=3, 于是 |A*+3A-2E|=|(A)|=(-1)(-3)3=9 2 相 似 矩 阵 定义6.3 设A ,B都是n阶方阵, 若存在可逆矩阵P, 使 一. 相似矩阵的定义和性质 矩阵的相似关系具有下述性质: () 反身性: AA; () 对称性: 若AB, 则BA; () 传递性: 若AB, BC, 则AC. P-1AP=B 则称B是A的相似矩阵, 或说矩阵 A与B相似. 对A进行运算 P-1AP=B称为对A进行相似变换, 可逆矩阵P称为把A 变成B 的相似变换矩阵. A与B相似记作AB. 定理6.4 相似矩阵有相同的特征多项式, 因此也有相 同的特征值. 证 若矩阵A与B相似, 则存在矩阵P, 使P-1AP=B , 故 注意: 定理6.4的逆命题不成立. 例如矩阵 E - B=P-1(E)P- P-1AP=P-1(E - A)P =P-1E - AP=E -A 的特征多项式都是(-1)2, 但它们不相似. 二. 与对角矩阵相似的条件 假设n阶方阵A与对角矩阵 相似. 也就是存在可逆矩阵P, 使得 P-1AP= 即 AP=P 记P=(1, 2, n), 则有 (A1, A2, An)=(11, 22, nn) 即 可见, 矩阵A与对角矩 阵相似, 则A有n个线性无关的特征向量. Ai=ii , i=1,2,n 因为矩阵P可逆, 所以1, 2, n线性无关, 故i0, 于是i 是矩阵A属于特征值i的特征向量. 反之, 设A有n个线性无关的特征向量1, 2, n, 且 Ai=ii , i=1,2,n, 令P=(1, 2, n), 则P可逆, 且 AP=(A1, A2, An)=(11, 22, nn)=P 即, P-1AP=, 也就是说矩阵A与对角矩阵相似. 定理6.5 n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件 是矩阵A有n个线性无关的特征向量. 可见, 前面的分析不但证明了定理6.5, 还给出了相似 变换矩阵P和对角矩阵的求法. 例如例1中的矩阵 没有3个线性无关的特征向量, 故A不与对角矩阵相似. 而例2中的矩阵 由于其3个特征值为1=2=1, 3=3. 对应的特征向量: 1=(1,1,0)T, 2=(0,0,1)T, 3=(1, -1, 1)T线性无关, 所以 取相似变换矩阵P=(1, 2, 3)= 可求得P的逆矩阵为 与A相似的对角矩阵为 推论 若n阶矩阵A有n个互异特征值, 则A与对角矩阵 相似. 若A= P-1BP, 则有: 注意, 若矩阵A与对角矩阵相似, 则的对角线元素 恰是A的n个特征值, 故如不计对角线上元素的顺序, 则与 A相似的对角矩阵是唯一的. Ak=P-1k P, (A)=P-1()P 而且有: 例5 设 求A50. 解 矩阵A的特征多项式为 =(+1)2(-2) 可见, A的特征值是1=2=-1, 3=2. 对于特征值1=2=-1, 由于 所以, 齐次线性方程组(-E-A)x=0的一个基础解系为: 1=(1, 2, 0)T, 2=(0, 0, 1)T. 1, 2就是属于特征值1=2=-1的线性无关的特征向量. 可见属于特征值3=2的一个特征向量为3=(3, 3, 1)T. 对于特征值3=2, 由于 令 则有 所以有 即 定理6.6 设0是n阶矩阵A的k重特征值, 则属于0的 线性无关的特征向量的个数不大于k. 令P=(1, 2, n), 则P可逆, 而且有 证明 设1, 2, t是属于0的线性无关的特征向量. 则存在向量t+1, t+2, n使1, 2, n线性无关. AP=(01, 02, 0t, At+1, At+2, An) 由于1, 2, n线性无关, 所以At+1, At+2, An都能由 1, 2, n线性表示, 所以可以令 AP=(01, 02, 0t, At+1, At+2, An) 即矩阵A与B相似. 所以, A与B有相同的特征多项式, 即 因此, 0的重数kt. |E-A|=|E-B| 推论 矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是, 对A 的任意特征值0(重数为k), 属于0的线性无关的特征向量 必有k个. 也就是R(0E-A)=n-k. 作 业 习题A 第117页 1 、2、4、5 、6、7 、9、10 练习题 习题B 第100页 1、 2、 3 、10 11、12、13、14、15、16、17 3 实对称矩阵的相似对角化 一. 实对称矩阵的特征值和特征向量的性质 设矩阵A=(aij), 用aij表示aij的共轭复数, 记 A=(aij ) 称A为A的共轭矩阵. 显然, A为实矩阵时,A=A. 共轭矩阵具有下列性质: 其中是常数; 定理6.7 实对称矩阵的特征值都是实数. 证 设为实对称矩阵A的特征值, 是属于的特征 向量, 则有 由于AT=A,A=A, 故有 于是有 由于0, 所以T0, 因此, 即是实数. 显然, 实对称矩阵的特征向量都可以取为实向量. 定理6.8 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量 是正交的. 证 设1, 2是实对称矩阵A的特征值, 1, 2分别是 属于它们的特征向量, 则有 而且 由于12, 所以2T1=0, 即1, 2正交. 于是 二. 实对称矩阵正交相似于对角矩阵 定理6.9 设A是实对称矩阵, 则必存在正交矩阵Q, 使 得Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵. 证 n=1时显然成立, 设对n-1阶矩阵定理结论成立. 于是有 再取2, 3, n 使 1, 2, n为Rn的一组规范正交基. 取n阶实对称矩阵A的任一特征值1, 和属于1的特征向量 1, (取1为单位向量). A(1, 2, n )=(11, A2, An) =(1, 2, n ) 记Q1=(1, 2, n) , 则Q1为正交矩阵, 且有 B是n-1阶实对称矩阵, 由假设, 存在n-1阶正交矩阵P, 使得 取n阶正交矩阵 Q1-1AQ1= 则有 即, Q2-1 Q1-1AQ1Q2=Q2T Q1TAQ1Q2为对角矩阵. 只要取Q=Q1Q2是正交矩阵, 定理结论成立. 推论 设0是实对称矩阵A的k重特征值, 则属于0的 线性无关的特征向量恰有k个, 也即R(0E-A)=n-k. 三. 实对称矩阵正交相似对角化的方法 用正交矩阵化实对称矩阵为对角矩阵的步骤如下: (1) 求出A的全部特征值; (2) 对每个特征值, 若其重数为k, 求出其k个线性无 关的特征向量. (5) 写出对角矩阵. (3) 将求出的k个线性无关的特征向量规范正交化. (4) 用求出的n个规范正交的特征向量构造正交矩阵. 例6 设 求一个正交矩阵Q, 使Q-1AQ为对角矩阵. 解 先求A的所有特征值 得特征值1=2=-1, 3=11. det(E-A) =(+1)(2-10-11)=(+1)2(2-11) 对1=2=-1, 由于 所以方程组(-E-A)x=0等价于x1+x2+2x3=0, 一基础解系为 再单位化得: 1=(-1, 1, 0)T, 2=(-2, 0, 1)T, 1=1=(-1, 1, 0)T, 1= 1/| 1 | 将其正交化得: 2=2-(2T 1/ 1T1)1=2-1=(-1, -1