DirectX游戏编程第一章.ppt

2 第1章 基本的数学概念 主要目标： 向量几何和向量代数的基本知识以及它们在三维 计算机图形学中的应用。 矩阵和矩阵运算以及如何利用矩阵进行三维几何 变换。 如何建立点线代数模型以及如何在三维图形设计 中使用它们。 熟悉D3DX中提供的数学类和函数，并用它们来完 成三维数学运算。 3 1.1 三维空间中的向量 使用带箭头的直线段来表示向量，如图1.1所示 。用于描述向量的两个属性是长度(也称为数量 或者标量)和方向。 在图1.2中描述了一个左手坐标系和一个右手坐 标系。 4 1.1 三维空间中的向量 图1.3显示的是将图1.1中的向 量移动到标准位置的结果，在 标准位置下指定坐标系中的向 量，这时候注意向量u和v重合 在一起，只是因为这两个向量 相等。 在三维向量中有4个特殊的向 量(如图1.4所示)。 在D3DX库中，可以使用 D3DXVECTOR3类来代表三维 向量，在D3DX中该类的定义 如下： 参见教材P5 5 1.1.1 向量的相等 几何上，如果两个向量方向和长度都相同，那 么这两个向量就相等。在代数上，我们说如果 它们拥有相同的维数并且它们拥有相等的分量 ，那么它们相等。 在代码中，可以通过重载“=”运算符来检测两 个向量是否相等： D3DXVECTOR u(1.0f, 0.0f, 1.0f); D3DXVECTOR v(0.0f, 1.0f, 0.0f); if(u = v) return true; 6 1.1.2 向量模的计算 几何上，向量的模就是一个有向线段的长度。如果知 道了向量的所有属性，就可以通过如下的方法来进行 向量模的计算： 在D3DX库中，可以使用如下函数计算向量的模： FLOAT D3DXVec3Length( / 返回值为向量的 模 CONST D3DXVECTOR3 *pV / 所要计算的 D3DXVECTOR3类型的向量 ); D3DXVECTOR3 v(1.0f, 2.0f, 3.0f); float magnitude = D3DXVec3Length( / 计算向量的 模 7 1.1.3 向量归一化 单位向量指模为1的向量，归一化向量就是指将一般 向量转换为单位向量。可以通过将向量的所有分量除 以向量的模来得到单位向量，如下所示： 通过D3DX库，可以使用如下函数进行向量的归一化 ： D3DXVECTOR3* D3DXVec3Normalize( D3DXVECTOR3 *pOut, / Result CONST D3DXVECTOR3 *pV / The vector to normalize ); 8 1.1.4 向量加法 可以通过将两个向量的分量分别 相加来进行向量加法的计算。 图1.5是向量加法的几何表示。 在程序中进行加法运算时，可以 进行“+”运算符的重载： D3DXVECTOR3 u(2.0f, 0.0f, 1.0f); D3DXVECTOR3 v(0.0f, -1.0f, 5.0f); / (2.0 + 0.0, 0.0 + (- 1.0), 1.0 + 5.0) D3DXVECTOR3 sum = u + v; / = (2.0f, -1.0f, 6.0f) 9 1.1.5 向量减法 与加法类似，向量的减法也是通过 对向量的所有分量进行减法运算。 如图1.6所示为向量减法的几何表示 。 同样在D3D中通过重载“-”运算符进 行向量减法： D3DXVECTOR3 u(2.0f, 0.0f, 1.0f); D3DXVECTOR3 v(0.0f, -1.0f, 5.0f); D3DXVECTOR3 difference = u - v; / = (2.0f, 1.0f, -4.0f) 10 1.1.6 数乘 可以将向量和一个标量相乘，就像名字所说明 的那样，使向量的数量大小发生改变。这个运 算得到的向量将不会改变向量的方向，除非是 与一个负标量相乘，那么就会使原向量的方向 翻转： ku = (kux, kuy, kuz) 在D3DXVECTOR3类中提供了“*”运算符： D3DXVECTOR3 u(1.0f, 1.0f, -1.0f); D3DXVECTOR3 scaledVec = u * 10.0f; / = (10.0f, 10.0f, -10.0f) 11 1.1.7 点乘 点乘是向量在代数学上定义的两种算法之一， 它通过如下的方法计算： 点乘运算的主要属性如下： 如果=0，那么向量之间的夹角等于0度。 如果0，那么向量之间的夹角小于90度。 如果0，则点p在平面上的外侧。 如果np+d0，则点p在平面上的内侧。 D3DX中的如下函数等价于np+d，用于求 出一个指定的平面和点之间的距离： 参见教材P27 36 1.3.3 构建平面 37 1.3.3 构建平面 在D3DX中提供了如下的函数，通过给出3个不 同点来计算一个平面： D3DXPLANE* D3DXPlaneFromPoints( D3DXPLANE *pOut, / Result CONST D3DXVECTOR3 *pV1, / Point 1 on the plane CONST D3DXVECTOR3 *pV2, / Point 2 on the plane CONST D3DXVECTOR3 *pV3 / Point 3 on the plane ); 38 1.3.4 标准化一个平面 可以使用如下的公式来标准化平面(n, d)： 在D3DX中可以使用如下的函数来标准化一个 平面的法线向量： D3DXPLANE* D3DXPlaneNormalize( D3DXPLANE *pOut, / Resulting normalized plane CONST D3DXPLANE *pP / Input plane ); 39 1.3.5 对平面进行变换操作 把它看成一个四维向量，用所需要的变换矩阵 的逆转置矩阵来对它进行操作。注意，这 个平面的法线要先被标准化。 使用下面的函数： D3DXPLANE* D3DXPlaneTransform( D3DXPLANE *pOut, / Result CONST D3DXPLANE *pP, / Input plane CONST D3DXMATRIX *pM / Transformation matrix ); 40 1.3.5 对平面进行变换操作 实例代码如下： D3DXMATRIX T(.); / Init. T to a desired transformation D3DXMATRIX inverseOfT; D3DXMATRIX inverseTransposeOfT; D3DXMatrixInverse( D3DXMatrixTranspose( D3DXPLANE p(.); / Init. Plane. D3DXPlaneNormalize( / make sure normal is normalized D3DXPlaneTransform( 41 1.3.6 求到一个指定点距离最短的平面上的点 假设在空间中有一个点p并 且希望找出在平面(n, d)上 的一个离p点最近的点q。 图1.13 k是p到平面上最短 的距离 在平面(n, p)上距离点p最 近的是点q。可以发现点p 到平面的距离是正的，但 是如果点p在平面的另一面 ，那么p将会是负的。 42 1.4 射 线 设想在游戏中一个玩家正在向一个敌人开火， 通过什么方法来判断从一个指定的位置和方向 射出后的子弹是否能击中目标呢？ 一个解决方案就是使用一个射线对子弹建模，并 对敌人建立一个包围盒，它和一个物体紧密地绑 定在一起，因此近似为它的体积。包围盒将在第 11章中重点讲述，然后通过数学计算，我们可以 判断射线是否击中了包围盒并且能知道击中了哪 个地方，在这一节中，我们学习怎样在数学上对 一条射线建模。 43 1.4.1 射线的表达式 一条射线可以通过一个原 点p0和一个方向u进行描述 (见图1.14)，我们可以通过 增加参量t或者设置为0来生 成一条射线上的点，一个 射线的表达式是： 44 1.4.2 射线与平面的相交 如果给定一条射线p(t) = p0 + tu和一个平面 np + d = 0，想知道射线是否和平面相交，如 果相交的话，两者相交于哪一点。要达到这些 目的，可以将射线方程代入到平面方程中来求 参数t，如果存在满足方程式要求的参数t，那 么将可以得出处于平面上的点。 45 1.5 小 结 在物理学中，向量还被用于处理数量和方向相关的数 学问题