特征值特征向量.ppt

定义 1 设A为n阶方阵，X是n维向量，如果存在数，使方程 AX=X有非零解，则称为矩阵A的特征值，相应的非零解 称为A的属于的特征向量 方程AX=XAX-X =O(A-E)X=O 特征值:使n元齐次方程AX=X 有非零解的数0 A的对应于0的特征向量： 即不论取何值，方程AX=X一定有解 43 矩阵的特征值和特征向量 例如：对 ，取 l=4，代入方程AX= lX 得 AX= 4X(A-4E)X=O (A-4E)X= O 有非零解 所以，=4是矩阵A的一个特征值 对 ，取 ，得一个基础解系: 则方程(A-4E)X=O的全部解为： c为任意常数 A的属于=4 的特征向量： 1、求n阶方阵A的特征值： 数0是A的特征值 0使方程AX= X有非零解 因此 ：0是A的特征值0使 成立 求A的特征值步骤： (1) 计算n阶行列式 解得方程的根1，2， ，n， 则1， 2， ，n即是A的特征值 设 则方程 即 是的n次方程 在复数域上，方程 一定有 n个根。 A的特征多项式 方程A的特征方程 定义 2 设A为n阶方阵， 为其特征值组，则其特 征方程可表示为： 则Ki称为i的代数重数(重数)，而i特征子空间的维数称为几 何重数(度数)。 显然： 解： 令 ， 得 1 =-1，2 =7 则A的特征值为1 =-1，2 =7 【例1】求 的特征值 2、求A的属于特征值的特征向量 设i是A的特征值，则方程AX=iX有非零解. 即方程(A-iE)X=O有非零解， 方程组(A-iE)X=O的全部非零解 A的对应于特征值i的特征向量: 2）求出(A-iE)X=O的一个基础解系V1、V2、Vs 步骤：1）把 = i代入方程(A-iE)X=O 得一齐次线性方程组(A-iE)X=O 3） A的属于特征值i 的特征向量为： 是不全为零任意常数 【例2】求矩阵 的特征值与特征向量 解： 得 1 =2，2 = 3= 1（二重根） 则A的特征值为1 =2，2 = 3= 1 把1 =2代入方程(A- E)X=O ，得 (A -2E)X=O = =+- =+- 0 04 03 1 21 21 x xx xx = = 0 0 2 1 x x 取x3=1得一基础解系: 于是，A的属于1 =2的全部特征向量为： 把2= 3= 1代入方程(A- E)X=O ，得: (A-E)X=O 行变换 于是，A的属于2=1的全部特征向量为： =+ =+- 0 02 31 21 xx xx -= = 13 12 2 xx xx 取x1=1,得一基础解系: 解： 得 1 =-2， 2 = 3= 7（二重根） 则A的特征值为 1 =-2， 2 = 3= 7 把1 =-2代入方程(A-E)X=O ，得 (A +2E)X=O 【例3】求矩阵 的特征值与特征向量 于是，A的属于l1=-2的全部特征向量为： =+- =- 02 02 32 21 xx xx = = 23 21 2 2 xx xx 取x21，得一基础解系： 把2 = 3= 7代入方程(A-E)X=O ，得 (A -7E)X=O 令 分别取，得基础解系： 于是，A的属于2=3 = 7的全部特征向量为： 022 321 =+xxx 312 22xxx-= 定理 1 n阶方阵A的不同特征值对应的特征向量线性无关。 即，若1是属于特征值1 的特征向量， 2是属于特征值2 的特征向量， 12，则1、2线性无关。 证明：设1、2 、m是A的m个不同的特征值，1、2、 m是分别属于1、2 、m 的特征向量， 即i是方程AXiX 的非零解，即有Aiii，且i0。 要证：1, 2,m 线性无关，设 在(1)式两边左乘A，得: (2) 在(2)式两边左乘A，得: (3) （1） （2） （3） （m） 做矩阵乘积: （*） 不同特征值对应的特征向量线性无关。 所以： 则 ： 定理 2 设是A的特征值，是A的属于的特征向量，则: (1) k是 kA的特征值(k为任意常数) (2) m 是Am 的特征值(m为正整数) (3) 当A可逆时，0，且-1是A-1的特征值 因为 是A的属于的特征向量，即是方程AX=X的非 零解，所以有 A=，且0。 证(1)：k是 kA的特征值 且0 ，所以是方程kAX=kX的非零解，所以k是kA 的特征值。 要证方程(kA)X=(k)X 有非零解，因为： (kA) =k(A) =k () =(k) 先证当A可逆时， 0： 反证：若不然，=0 由A= ，得Aa=0 因为A可逆，两边左乘A-1，得=0。矛盾 证（3）当A可逆时，0，且-1是A-1的特征值 再证-1是A-1的特征值： 因为 A=，两边左乘A-1 ，得： =A-1 =A-1 且0 -1= A-1 即是方程A-1 X= -1 X的非零解 故-1是A-1的特征值 【例4】设四阶方阵A满足 求A*的一个特征值。 解：,即A可逆, 由 所以=-3是A的一个特征值 且由 再由定理2的（1）可知： 定理 3 矩阵A与其转置 矩阵A有相同的特征值 证明： 即 A与A有相同的特征多项式 故A与A有相同的特征值 定理 4 设1、2 、 n是A的n个特征值，则 说明 (1) 利用本定理结论(1)可检验所求的特征值是否正确。 (2) 由结论(2)可得性质： n阶方阵A可逆 A的所有特征值i0 (1) 1+2 +n=a11+ a22+ +ann (2) 12n=|A|。 定义 3 若T为可逆矩阵，对矩阵A、B，若： 则称A与B相似