高三数学简单线性规划的应用.ppt

43 简单线 性规划的应用 一、线性规划问题 一般地，求线性目标函数在线性约束条件 下的_或_问题即为线 性规划问题 二、线性规划解决的常见问题 (1)_问题 (2)_问题 (3)_问题 (4)_问题 三、线性规划问题的求解步骤 1根据线性约束条件画出_， 即不等式或不等式组所确定的平面区域； 2设z0，画出直线l0，平行移动l0，以 确定_的位置； 3解有关方程组，求出最优解对应点的 _，再代入目标函数求出目标函 数的_. 四、简单线性规划问题应用题的求解步骤 1_设未知数，写出约束 条件与目标函数，将实际应用问题转化为 数学上的线性规划问题； 2_解这个线性规划问题 ； 3_根据应用题提出的问 题作答 答案： 最大值 最小值 资源配置 环 境优化 产品配方 合理下料 可 行域 最优解所对应 的点 坐标 最值 转化 求解 作答 1.线性规划的理论和方法主要在哪几类问 题中得到应用？线性规划问题的常见类型 有哪些？ (1)线性规划的理论和方法主要在两类问题 中得到应用： 一是在人力、物力、资金等资源一定的条 件下，如何使用它们来完成最多的任务； 二是给定一项任务，如何合理安排和规划 ，能以最少的人力、物力、资金等资源来 完成该项任务 (2)线性规划问题 的常见类 型有： 物资调 运问题 例如已知A1、A2两煤矿每年的产量，煤需 经B1、B2两个车站运往外地，B1、B2两车 站的运输能力是有限的，且已知A1、A2两 煤矿运往B1、B2两车站的运输价格，煤矿 应怎样编 制调运方案，能使总运费最少 ？ 产品安排问题 例如某工厂生产甲、乙两种产品，每生产 一个单位的甲种或乙种产品所需A、B、C 三种材料的数量、此厂每月所能提供的三 种材料的限制、每生产一个单位甲种或乙 种产品所获利润额 都是已知的，这个厂 每月应如何安排产品的生产，才能使每月 获得的总利润最大？ 下料问题 例如要把一批长钢 管截成两种规格的短钢 管，怎样下料能使损耗最小？ 2在利用线性规划求解有关应用问题时 ，有时候需要根据实际情况，最优解要求 是整数那么，怎样才能正确地得出整数 解？ 在实际应用问题中，有些最优解往往需要 整数解(比如人数、车辆数等)，而直接根 据约束条件得到的不一定是整数解，通常 处理的方法有两种： (1)利用约束条件画出图形，如果得出的是 非整数解，进行适当地调整，可以找与所 求出的最优解(非整数解)接近的整数解进 行验证； (2)在直线的附近找出与此直线距离最近的 整点，根据求出的结果给出最优解的整数 解； (3)我们也可以运用枚举法验证 求最优整 数解，或者运用平移直线求最优整数解 最优整数解有时并非只有一个，很可能是 许多个，应具体情况具体分析. 合理的配餐、配料能做到物有所值、物有 超值，经济 而又实惠 例1 某校食堂以面食和米食为主，面食 每百克含蛋白质6个单位，含淀粉4个单位 ，售价0.5元；米食每百克含蛋白质3个单 位，含淀粉7个单位，售价0.4元学校要 给学生配制成盒饭，每盒至少有8个单位 的蛋白质和10个单位的淀粉，应如何配制 盒饭，才既科学又使费用最少？ 解析：设每份盒饭中面 食为x百克，米食为y百 克，费用z元，则z0.5x 0.4y， 作出不等式组所表示的 平面区域如下图所示 变式训练1 某人需要补充维生素，现有 甲、乙两种维生素胶囊，这两种胶囊都含 有维生素A，C，D，E和最新发现的Z，甲 种胶囊每粒含有维生素A，C，D，E，Z分 别是1 mg,1 mg,4 mg,4 mg,5 mg；乙种胶囊 每粒含有维生素A，C，D，E，Z分别是3 mg, 2 mg,1 mg,3 mg,2 mg.若此人每天摄入 维生素A至多19 mg，维生素C至多13 mg， 维生素D至多24 mg，维生素E至少12 mg， 那么他每天应服两种胶囊各多少粒才能满 足维生素的需要量，并能获得最大量的维 生素Z? 作出不等式组表示的平面区域如图所示， 作出5x2y0. 把直线向右上方平移，直线经过可行域上 的点M时，z5x2y取得最大值 日常生产生活中，对所支配资料能做到科 学合理的重组与配置，能够提高劳动 效率 创造最大经济 效益 例2 某工厂生产甲、乙两种产品，每生 产1 t产品需要的电力、煤、劳动 力及产 值如下表所示： 品 种 电力(千 度) 煤(吨) 劳动 力( 人) 产值 (千 元) 甲4357 乙6639 该厂的劳动 力满员 150人，根据限额每天 用电不超过180千度，用煤每天不得超过 150 t，问每天生产这 两种产品各多少时， 才能创造最大的经济 效益？ 变式训练2 (图表信息题)北京华欣公司 计划在今年内同时出售“夜莺牌多功能”电 子琴和“OK智能型”洗衣机，由于这两种产 品的市场需求量非常大，有多少就能销售 多少，因此该公司要根据实际情况(如资金 、劳动力)确定产品的月供应量，以使得总 利润达到最大已知对这两种产品有直接 限制的因素是资金和劳动力，通过调查， 得到关于这两种产品有关数据如下表： 资金单位产品所需资 金(百元) 月资金供 应量(百 元)电子琴洗衣机 成本3020300 劳动 力( 工资) 510110 单位利润68 试问 ：怎样确定两种产品的月供应量， 才能使总利润达到最大，最大利润是多少 ？ 分析：先设出月供应电子琴和洗衣机数量 ，建立约束条件和目标函数后，再利用图 像直观解题 充分利用线性规划知识能够解决生活中节 约用材问题 ，在目前经济 危机的状况下， 更应大力提倡节约 能源，提倡合理有效地 配置，创造最佳效益 例3 某工厂制造A种仪器45台，B种仪器 55台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外 壳已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢 板每张面积2 m2，每张可做A种仪器外壳3 个和B种仪器外壳5个，乙种钢板每张面积3 m2，每张可做A种仪器外壳6个和B种仪器 外壳6个问甲、乙两种钢板各用多少张才 能用料最省(“用料最省”是指所用钢板的总 面积最小) 变式训练3 某厂生产圆桌和衣柜两种产 品，现有两种木料，第一种有72 m3，第二 种有56 m3，假设生产每种产品都需要两种 木料，生产一张圆桌和一个衣柜所需木料 如下表所示每生产一张桌子可获利润6 元，生产一个衣柜可获利润10元，该厂在 现有木料条件下，圆桌和衣柜应各生产多 少，才能使获得的利润最多？ 产品木料(单位：m3) 第一种第二种 圆桌0.180.08 衣柜0.090.28 在现有资源，条件不变的情况下，合理地 调度，往往也能起到节约 运费、节约 成 本的功效 例4 已知A、B、C三城市分别有某种机 器10台、10台和8台，支持D市18台，E市 10台从A市调一台机器到D、E两市运费 分别为200元和800元；从B市调一台机器 到D、E两市运费分别为300元和700元；从 C市调一台机器到D、E两市运费分别为 400元和500元 (1)若从A、B两市各调x台到D市，当三市 28台机器全部调完毕后，求总运费P(x)关 于x的函数表达式，并求P(x)的最大值和最 小值 (2)若从A市调x台到D市，从B市调y台到D 市当28台机器全部调完毕后，用x、y表 示总运费P，并求P的最大值和最小值. 解析：第一步，列表、分析条件： 表1 供方 运费 需方 ABC需量 D20030040018 E80070050010 供量10108 第二步，确定目标函数 (1)设从A市、B市中调x台到D市，调运预想 方案如表2： 表2 供方 运费 需方 ABC需量 D200x300x 400( 18 2x) 18 E800( 10 x) 700( 10 x) 500( 2x 10) 10 供量10108 于是，总运费为P(x)200x300x400(18 2x)800(10x)700(10x)500(2x 10)17200800x，其中，0x10,018 2x85x9， P(x)maxP(5)13200(元)， P(x)minP(9)10000(元) (2)设从A市、B市分别调x台、y台到D市， 调运预想方案如表3： 表3 供方 运费 需方 ABC需量 D200x300y400(18 x y) 18 E800(1 0 x) 700(1 0 y) 500(x y 10) 10 供量10108 于是，总运费为： P200x300y400(18xy)800(10 x)700(10y)500(xy10)17200 100(5x3y)， 其中0x10,0y10,018xy8. 第三步，求出最优点 在xOy平面上，作出上述不等式的可行域 如下图中阴影部分 其中l1：xy18， l2：xy10. 可以发现，当x10，y8时，Pmin9800 ； 当x0，y10时，Pmax14200. 变式训练4 甲、乙两地生产某种产品， 它们可调出的数量分别为300 t, 950 t，A、 B、C三地需要该产品的数量分别为200 t、 450 t,400 t甲地运往A、B、C三地的费用 分别为6元/t、3元/t、5元/t，乙地运往A、 B、C三地的费用分别为5元/t、9元/t、6元 /t.怎样调运才能使总运费最省？ 解析：设甲地生产的某种产品运往A、B、 C三地的数量分别为x t、y t、(300xy) t ，则乙地生产的产品运往A、B、C三地的 数量分别为(200x) t、(450y) t、400 (300xy) t， 总运费z6x3y5(300xy)5(200 x)9(450y)6(100xy)2x5y 7150， 作出可行域，如下图所示 由图可知当7150z取最大值时，z值最小 ，即过点(0,300)时，zmin5650元，即甲地 产品全部运往B地，乙地产品运往A、B、 C三地分别为200 t、150 t、400 t时总运费 最省为5650元 最优整数解问题 ，就是在有些线性规划 问题 中，变量x，y要求取整数，因此其最 优解也必须为 整点，解答这类问题 可以 先解决一般的线性规划问题 (不考虑整数) ，再在可行域内适当调整，从而确定最优 整数解即可 例5 某运输公司有7辆载重量为6吨的A 型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有 9名驾驶员在建筑某高速公路中，该公 司承包了每天至少搬运360吨土的任务 已知每辆卡车每天往返的次数：A型卡车 为8次，B型卡车为6次；每辆卡车每天往 返的成本费用情况；A型卡车160元，B型 卡车252元试问，A型卡车与B型卡车每 天各出动多少辆时公司的成本费用最低？ 解析：设每天出动的A型卡车数为x，则 0x7；每天出动的B型卡车数为y，则 0y4.因为每天出车的驾驶员最多9名，则 xy9，每天要完成的搬运任务为48x 60y360，每天公司所花成本费用为z 160x252y. 本题即求满足不等式组 结合图形可知，在四边形区域上，横坐标 与纵坐标都是非负整数的点只有P1(3,4)， P2(4,4)，P3(4,3)，P4(5,2)，P5(5,3)，D(5,4) ，P6(6,2)，P7(6,3)，P8(7,1)，C(7,2)10个点 作直线l：160x252y0. 把l向上方作平行移动，可发现它与上述的 10个点中最先接触到的点是P4(5,2)，所以 在点P4(5,2)上，得到的z的值最小，zmin 160525221304. 答：当公司每天出动A型卡车5辆，B型卡 车2辆时，公司的成本费用最低 变式训练5 要将两种大小不同的钢板截 成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截 得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 今需A、B、C三种规格的成品分别为15、 18、27块，问各截这两种钢板多少张可得 所需三种规格成品，且使所用钢板张数最 少？ 规格类型 钢板类型 A规 格 B规 格 C规 格 第一种钢板211 第二种钢板123 解法2：特值验证法： 由解法1知，目标函数取得最小值的整点 应分布在可行域的左下侧靠近边界的整点 ，依次取满足条件的整