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数 = = 线 性 代 5.3相似矩阵与矩阵的对角化 数 = = 线 性 代 定理 5 数 = = 线 性 代 由于对角句阵的特征值为对角线上的元素,所以由定理5得 推论 若n阶矩阵A与对角阵 数 = = 线 性 代 定理 6 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 推论1 如果矩阵 A 的特征值都是单特征根，则 A 与 对角矩阵相似 . 推论1 数 = = 线 性 代 推论 2 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 例3 设矩阵 解 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 例4 设 A 是 3 阶矩阵且 I + A , 3IA ,I3A 均不 可逆 .证明 ： 证 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 由前面的例题可知,并不是任何一个方阵都可对角化的,但 是当方阵A为实对称矩阵时,A必可对角化,且实对称矩阵对于 我们讨论下面的二次型非常重要. 数 = = 线 性 代 定理 7实对称矩阵的特征值全为实数. 数 = = 线 性 代 定理 8 数 = = 线 性 代 定理 9 由于相互正交的向量必线性无关，所以我们得到 。推论 对应实对称矩阵不同特征值的特征向量必定线性无关 若是实对称矩阵A的r重特征根，则对应特 征值恰有r个线性无关的特征向量。 证明（略） 由定理6，定理7，定理8和定理9可以得到 定理 10 实对称矩阵A一定可以对角化。即存在正 交矩阵P,使P-1AP=，其中是以 A的n个特征值为对角元素的 对角矩阵。 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 数 = = 线 性 代 基本要求 (1)理解特征值与特征向量的定义,了解其性质,会计算特征 值与特征向量. (2)了解相似矩阵的概念及性质. (3)理解方阵可对角化的条件,掌握用相似变换
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