CHART4带权的插值型求积公式.ppt

带权的插值型求积公式 其中 为a,b上的权函数。 D D 带权的插值型求积公式(2) 代数精确度 至少为n次 D 求积公式 含有2n+2个待定参数 能否通过节点以及求积系数的选择将代数精确 度提的更高，即超过n次，最高能达到多少次？ 5 Gauss型求积公式 D 也就是说无论节点及其系数如何选择，求积公式 的精度不可能达到2n+2次。 讨论续 无论怎么选择节点，总存在多项式 D 若 是 上的一组互异节点，且求积公式 达到2n+1次代数精度，则称该求积公式为Guass型求 积公式，其求积节点 （k=0,1,n）称为高斯点， 系数 称为高斯系数。 Gauss型求积公式定义 D 高斯型求积公式一定是插值型求积公式 ，其系数由高斯点唯一确定。 直接利用代数精确度的定义求得高斯 点以及高斯系数需要解非线性方程组，很困 难。 当高斯点确定后，可以用基函数插值 的方法或者解线性方程组的方法求得。 高斯型求积公式是精度最高的求积公式。 结论 D 高斯点确定以后，高斯系数 也可以由如下插值型求积公式中的系数公式确定： 确定 . 即可由线性方程组 D 求积公式 至少具有 n次代数精确度的充要条件是它是插值型的 充分性 ：如果求积公式为插值型，利用截断误差 知对于任意次数n的多项式 f(x), 有Rf=0， 故求积公式至少具有n次精度。 引理 D 必要性 ： 设求积公式 具有n次代数精度。 用n次插值函数， 仍有， 根据插值型求积公式定义知，其求积公式为插值 型求积公式。 必要性证明 D 定理：插值型求积公式中的节点 是高 斯点的充要条件是，在a,b上，以这些点为零点 的n+1次多项式 与任意次数不超 过n的多项式P(x)带权 正交，即 高斯点的选取定理 D 必要性 ：证明： 设 是高斯点，于是对任意次数不超过n 的多项式P(x) ，的次数不超过2n+1 充分性 ： 对任意次数不超过2n+1的多项式 f(x)用 除的商为p(x),余项为q(x)。 对任意次数不超过n的多项式P(x) 有 D 充分性 所给的求积公式是插值型的，其代数精度至少为n。 即求积公式具有2n+1次代数精度， 从而 是一组高斯点。 D 当 为正交多项式系中的n+1次多项式 取 ，则 有n+1个互异 的零点，且对任意次数不超过n的多项式有 a,b上带权 正交的n+1次多项式的零点就是 高斯型求积公式的一组高斯点。由正交多项式的 性质知它在开区间上存在n+1个互不相同的零点。 Remark D .高斯型求积公式是收敛的。 .高斯型求积公式是稳定的。 （j=0,1,n） 故高斯求积系数Aj一定为正。高斯公式是稳定的。 高斯型求积公式的收敛性和稳定性 注：收敛性论证需用Weierstrass定理。 D 高斯型求积公式的截断误差 定理： 设 在 内只有2n+2阶导数，则高斯 型求积公式的余项为： 证明： 设 为满足 的Hermite插值多项式，则 次数 。 D 由于高斯型求积公式的代数精度为2n+1，故 高斯型求积公式具有代数精度高、且总是收敛、 稳定的优点。也可构造复化高斯求积公式。 D 1.高斯勒让德求积公式 几种特殊的高斯型求积公式 D 当积分区间为 时，可通过变换 将 变换为 高斯点 为n+1次 切比雪夫多项式的零点： 高斯切比雪夫求积公式 D 高斯拉盖尔求积公式 D 高斯-埃尔米特求积公式 D 例：求高斯型求积公式 的系数 及节点 解：对函数类f(x)=1， 积分公式精确成立的。 高斯型求积公式的构造举例 D 求解方法 设高斯点是二次函数 的零点. D 6 数值微分 6.1 插值法建立求导公式：插值型求导公式 以离散数据 近似表达 插值多项式 的导数作为未知函数的导数近似 D 两点公式 D 三点公式（等距节点） D D D 如二阶三点公式 高阶导数数值微分公式 D 6.2 Taylor展开法 D