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从简谐运动到混沌 从牛顿创立经典力学以来，决定论长期处于主导地位，按牛 顿定律列出体系所遵从的运动微分方程，求出的解析函数表示 运动学方程，从给定的初始运动状态就能唯一地确定体系在其 它任一时刻的运动状态.利用牛顿定律可以精确预言何时发生日 蚀，慧星何时来临，太空飞船如何飞行等等. 牛顿定律这种决定论的观点，因海王星的发现而登峰造极，其 中，法国数学家拉普拉斯的一段名言把这种决定论思想发挥到 了顶峰： 给定宇宙的初始条件我就能预言未来 . 混沌是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动， 一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性不 可重复、不可预测，这就是混沌现象。进一步研究表明，混沌 是非线性动力系统的固有特性，是非线性系统普遍存在的现象 。牛顿确定性理论能够充分处理的多为线性系统，而线性系统 大多是由非线性系统简化来的。因此，在现实生活和实际工程 技术问题中，混沌是无处不在的。 以状态参量 张成 的空间就称为相空间 m 积分 简谐运动的相图 自由小摆角 积分常数 自由任意摆角 积分 小阻尼小摆角 参看教材阻尼振动 小阻尼任意摆角 有阻尼有驱动力 参量值: 则由小到大取一系列数值进行 数值计算 f1.047 相图是闭环，单 摆周期摆动 f1.07 单摆的摆动在两个驱动力周期 内才恢复原状态，其频率为驱 动频率的一半，称为二分频 . f1.081 随着 f 的增加，单摆运动 又出现四分频、八分频 相图变得无序，相点随机地在某一位置出现，此时单摆 已进入混沌状态 f1.15 f 1.35 单摆运动是一倍周期的旋转. 一个周 期内 单摆做二倍周期旋转 f1.45 f1.47 单摆做四倍周期旋转 相图又变得复杂无序，又出现混沌. f1.50 相图有序，单摆做周期运动 f1.60 f1.70 相图无序又出现混沌 混沌的基本特性 一个非线性系统并非在任何条件下都出现混沌运动，只 有当某个参量到达某个阈值时系统才进入混沌状态，在 此之前系统的运动可能出现周期性分岔。1978年费根鲍 姆发现相继出现分岔的值的间隔趋于常数。 1、非线性系统中的特有现象 2、对参量的依赖性 费根鲍姆 第一常数 费根鲍姆 第二常数 3、对初值的极端敏感性 nxnxn 10.10.10000001 20.360.36000000 30.92160.9216003 40.289013760.28901364 520.802094380.98312983 530.634955920.06634225 吸引子：表示动力学系统当 时的渐近行为 奇怪吸引子 奇怪吸引子虽然复杂但有明确的边界，这个明确的边界保证体 系在整体上存在稳定性，但在吸引子范围内相点出现的位置却 完全随机。 混沌 极限环吸引子不动点吸引子 平庸吸引子 小角度摆阻尼摆 洛仑兹吸引子奇怪吸引子 巴西的一只蝴蝶扇动翅膀，也有可能几个月之后在美国的德 克萨斯州引起一场风暴。 混沌理论认为在混沌系统中，初始条件的十分微小的变化经过不断放大 ，对其未来状态会造成极其巨大的差别。我们可以用在西方流传的一首 民谣对此作形象的说明。这首民谣说： 丢失一个钉子，坏了一只蹄铁； 坏了一只蹄铁，折了一匹战马； 折了一匹战马，伤了一位骑士； 伤了一位骑士，输了一场战斗； 输了一场战斗，亡了一个帝国。 马蹄铁上一个钉子是否会丢失，本是初始条件的十分微小的变化， 但其“长期”效应却是一个帝国存与亡的根本差别。这就是军事和政治领 域中的所谓“蝴蝶效应”。 在自然界中，物体的运动并非都是按照确定性进行的，在许 多情况下，物体的运动还表现出相当明显的偶然性、随机性. 也就是说，仅仅承认运动规律的必然性、确定性是不够的，绝 对的确定性并不能概括运动规律的全部内容，自然界存在的运 动应该是确定性和随机性兼而有之，而混沌的存在，使得自然 界现象的两种描述确定论描述和概率论描述之间的鸿沟正在 缩小 混沌揭示了有序与无序，确定性与随机性的统一 心律图 左图是呈现正常心律的奇怪吸引子行为。右图 是病态心脏的搏动模式，显示出心律更加机械而更少混 沌。做完这次检查8天后，该病人死于心脏病。 作业： 取 用MatLab计算下面的非线性方程，画出相图 2.试由一维谐振子描述极限环吸引子和不动点吸引子， 并在相图上表示之，什