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河海大学理学院数值分析 数数 值值 分分 析析 Computational MethodComputational Method 河海大学理学院数值分析 Chapter Chapter 8 8 矩阵特征值的计算 河海大学理学院数值分析 第8章 矩阵特征值的计算 81 引言 矩阵特征值的一些性质。 确定矩阵特征值 及相应特征向量 ，通 常有两条途径： （1）设法求出特征多项式 及其零 点，但，由于特征值经常对特征多项式的 系数很敏感，即当系数有稍许偏差，往往 导致特征值有较大的偏离。除对少数特征 矩阵外，一般不用。 （2）根据问题的特点和要求，对矩阵实施 某种运算或变换（如乘幂法、相似变换） 达到求矩阵的模最大（小）的特征值，部 分的特征值或全部的特征值。 河海大学理学院数值分析 82 幂法及反幂法 1.幂法 幂法是一种计算矩阵主特征值（矩阵按模 最大的特征值）及相应特征向量的迭代解 法，特别适用于大型稀疏矩阵。 设矩阵 有 ，则 称为 的特征 值， 称为对应于 的特征向量。 河海大学理学院数值分析 设有n个线性无关的特征向量组: 而 是相应的特征值 . 设(1)任意初始向量 河海大学理学院数值分析 若(2)是重根: 则是特征向量 河海大学理学院数值分析 规范化幂法 为了克服”溢出”,采用规范化作法: 其中: 一般: 则: 证明 绝对值最大分量中的最小下标. 河海大学理学院数值分析 证明 一般: 河海大学理学院数值分析 例 求A的特征值和特征向量. 解 k01 迭代向量 分1 1 量1 max1 11 00 11 1 23 213-0.75 -2-1-41 213-0.75 2-4 河海大学理学院数值分析 4567 -2.5 -.710-2.428 -.708 -2.416 -.707 -2.414 -.707 3.5 13.428 13.416 13.414 1 -2.5 -.710-2.428 -.708 -2.416 -.707 -2.414 -.707 3.5 3.428 3.416 3.414 河海大学理学院数值分析 2.加速方法(原点平移法) ,设 的特征值为 则: 河海大学理学院数值分析 使用幂法,取 计算 得到加速. 使用幂法,取 计算 得到加速. 河海大学理学院数值分析 2.反幂法 反幂法用于(1) 计算矩阵按模最小的特征值 及相应的特征向量;(2)已知某近似特征值的 特征向量。 河海大学理学院数值分析 反幂法计算公式: 注(1)第一步可解方程: 注(2)可用 来加速. 河海大学理学院数值分析 例 用反幂法求矩阵A的最接近 的特征值和特 征向量. 解 其中: 河海大学理学院数值分析 计算公式: k0 1 迭代向量 分1 -2.4545450 1 1 .66666669 -.27160496 量1 .48484850 -.1957087 max1 -2.4545450 河海大学理学院数值分析 2 3 -4.59708214 1-4.54094172 1 1.0781837 -.23453777 1.06764054 -.23511435 .7850467 -.17130533.77934009 -.17162521 -4.59708214 -4.54094172 4 5 -4.54175138 1-4.54173851 1 1.06779003 -.23510351.06778765 -.23510548 .77946037 -.17162110 .77945852 -.171632117 - 4.54175138 -4.54173851 河海大学理学院数值分析 河海大学理学院数值分析 8.3 Q-R算法 前述矩阵A有Q-R分解.