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全国大学生数学建模竞赛讲座 MATLAB 数值计算功能 主讲教师：徐标主讲教师：徐标 2007 5 272007 5 27 1、生成数组的函数 “：”的用法 例1 av=1:10 %产生一个从1到10的数组，间隔为1 av=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 例2 aw=1:2:10 %产生一个从1到10之间的数组，间 隔为2 aw=1,3,5,7,9 例3 as=0:pi/40:4*pi as = 0.7854 1.5708 2.3562 3.1416 3.9270 4.7124 5.4978 6.2832 一 数组与矩阵的创建 例4 al=10:-2:0 al = 10 8 6 4 2 0 例5 aj=linspace(0,1,10) %利用线性等分指 令生成向量 aj = 0.1111 0.2222 0.3333 0.4444 0.5556 0.6667 0.7778 0.8889 1.0000 例6 ak=logspace(1,2,10) %利用对数等分指令 生成向量 ak = 10.0000 12.9155 16.6810 21.5443 27.8256 35.9381 46.4159 59.9484 77.4264 100.0000 例7 ap=rand(1,5) ap = 0.0153 0.7468 0.4451 0.9318 0.4660 2、生成矩阵的函数 eye 生成单位矩阵 ones全1阵 zeros 全 零阵 rand 均匀随机阵 randn 正态随机阵 调用格式 eye(n) %生成n维的单位阵 eye(m,n) %生成mn维的单位阵 eye(size(A) %生成与A同维的单位阵 3、几种特殊矩阵的产生 diag 对角形矩阵 compan 伴随阵 hilb Hilbert阵 pascal Pascal三角阵 vander Vandermonde阵 hadamard Hadamart阵 gallery 试验矩阵 hankel Hankel阵 magic 魔方阵 toeplitz Toeplitz阵 wilkinson Wilkinson特性试验阵 kron Kronecker张量积 4、数据输出格式 format 5位定点表示 format short e 5 位浮点表示 format long 15位定点表示 format long e 15位浮点表示 format rat 近似有理数表示 format bank (金融)元，角，分 format compact 显示变量之间不要空行 format loose 显示变量之间要空行 例1 format long pi ans = 3.14159265358979 例2 format rat A=1,1/2,1/3;1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5 A = 1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 例3 format loose %要空行 A,c A = 1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 c = 335/113 format compact %不要空行 A,c A = 1 1/2 1/3 1/2 1/3 1/4 1/3 1/4 1/5 c = 335/113 二、矩阵运算与数组运算 1、矩阵运算 l加法 A+B l数乘矩阵 k*A lA A的转置 lAn A的n次幂 linv(A) A的逆阵 lA/B A右除B lBA A左除B 例1 A=1,2 3,4; B=1,-2 3,-1 C=A+B; D=3*A A,B,C,D 例例2 2 求求A A的逆和的逆和A A的转置的转置 INVERSEA=inv(A); INVERSEA=inv(A); TRARA=A; TRARA=A; INVERSEA,TRARA % INVERSEA,TRARA %输出输出A A的逆和转置的逆和转置 例3 左除和右除 A/B A/B BA BA A*inv(B) A*inv(B) inv(B)*A inv(B)*A 2、数组运算 （在数组运算中小黑点绝对 不可缺少， 向量加法 A.+B 数乘向量 k.*A 同维数组对应元素相乘 A.*B 同维数组对应元素相除 A./B或B.A A的元素自乘n次 A.n 向量的内积（标量积、点积）X*Y(X,Y都是列向 量) 例4 比较A*B和A.*B的区别 A.*B ans = 1 -4 9 -4 A*B ans = -4 15 -10 例5 两个列向量的内积 X=1,2,3; Y=3,-1,2; X*Y Y*X ans= 7 三、数组函数与矩阵函数 1.基本数组函数 数组函数对向量的作用规则是对于 （可以用help eifun查看基本函数） 例1 format compact %设置数据格式为五 位 A=1,2,3,4,5;6,7,8,9,10; log(A) ans = 0 0.6931 1.0986 1.3863 1.6094 1.7918 1.9459 2.0794 2.1972 2.3026 矩阵函数 cond(A) A的条件数 det(A) A的行列式 eig(A) A的特征值 norm(A,1) A的1范数 norm(A) A的2范数 norm(A,inf)次 A的无穷范数 norm(A.fro) A的F范数 rank(A) A的秩 trace(A) A的迹数 svd(A) A的奇异值分解 expm(A) A的指数 logm(A) A的对数 sqtrm(A) A的平方根 例2 计算三阶Hilbert阵的条件数 H3=1,1/2,1/3;1/2,1/3,1/4;1/3,1/4,1/5； format rat H3 d=det(H3),trace3=trace(H3),rank3=rank(H3),cond 3=cond(H3) n1=norm(H3,1),n2=norm(H3),n3=norm(H3,inf),nf =norm(H3,fro) 例2 构造6阶Hilbert矩阵 format rat %设置数据格式为有理分数 H6=hilb(6) n6=cond(H6) n6 = 1.4951e+007 四、向量与矩阵处理 1.标识 A（i,j） 表示矩阵A的第i行、第j列交叉点处的元素； A（u,v）提取A的子矩阵，u,v是两个向量，分别指定 行与列； 0-1向量标识 A（L1，：） A（：，L2） A（L1，L2） A（L1，：）表示提取A的L1指定的行、所有列； A（：，L2）表示提取A的所有行，L2指定的列； A（L1，L2）表示提取A的L1指定的行，L2指定的列 构成子矩阵。 例1 A=1,2,3,4,5;6,7,8,9,10;11,12,13,14,15; A A = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A(1,3,:) ans = 1 2 3 4 5 11 12 13 14 15 A(:,2,4,5) ans = 2 4 5 7 9 10 12 14 15 A(:,1:3) ans = 1 2 3 6 7 8 11 12 13 A(1,2,1,3,5) ans = 1 3 5 6 8 10 例2 将向量中满足不超过0.5的元素提取出来 先编写一个M-文件 rand(seed,0); x=rand(1,10); L=x tiquyuansu x = 0.2190 0.0470 0.6789 0.6793 0.9347 0.3835 0.5194 0.8310 0.0346 0.0535 x = 0.2190 0.0470 0.3835 0.0346 0.0535 2.空阵用于缩维 例3 提取A 的1,3,5列 A=1,2,3,4,5,6;7,8,9,10,11,12;13,14,15,16,17,18; A1=A(:,1,3,5) A1 = 1 3 5 7 9 11 13 15 17 A(:,2,4,6)= A = 1 3 5 7 9 11 13 15 17 3.特殊矩阵的提取 V=diag(A) 提取A的对角线上的元素构造一个 向量 M=diag(V) 用V的元素作A的对角元，构造一 个对角形矩阵 L=tril(A) L的主对角线及以下的元素取自A的 相应元素，而其它元素为零 U=triu(A) U的主对角线及以上的元素取自A 的相应元素，而其它元素为零 例4 A=1,2,3,4,5,6;7,8,9,10,11,12;13,14,15,16,17,18; L=tril(A) L = 1 0 0 0 0 0 7 8 0 0 0 0 13 14 15 0 0 0 U=triu(A) U = 1 2 3 4 5 6 0 8 9 10 11 12 0 0 15 16 17 18 五、线性方程组 的解法 (1)如果系数矩阵A的行数m等于列数n， 且 A为非奇异阵，称方程为恰定方程； (2)如果mn，称方程为超定方程； (3)如果m A=1,0,1 2,1,0 -3,2,-5; b=1,2,-1; x=inv(A)*b 解2 用左除法 x=Ab （这两种方法推荐用第二种，它不但速度快，而且精度高 ）。 二、用左除法解超定方程及欠定方程 例3 解方程组 六、多项式 2.多项式的常用函数 roots(p) %返回多项式的根向量 注1：多项式p是一个行向量，而poly(p)是一个 列向量； 注2：多项式的零系数项要填上零。 poly(q) %构造一个以q向量为根的多项式； poly(A) %得出方阵A的特征多项式； polyxal（p，x）%求多项式p在某点x处的值; polyvalm(p,A) % 3.多项式的加、减法 l依向量加法 例 a=1,2,3,4; b=1,