隐函数的导数和高阶导数.ppt

2.3隐函数的导数和高阶导数 主要任务：熟练掌握隐函数求法，主要任务：熟练掌握隐函数求法， 了解高阶导数的概念，熟练掌握初了解高阶导数的概念，熟练掌握初 等函数的高阶导数的求法等函数的高阶导数的求法. . 2.3隐函数的导数和高阶导数 重点：掌握隐函数求导法及高阶导数求法重点：掌握隐函数求导法及高阶导数求法 难点：掌握隐函数求导难点：掌握隐函数求导 2.3隐函数的导数和高阶导数 2.3.1 隐函数的导数 定义: 隐函数的显化 问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导? 2.3隐函数的导数和高阶导数 例1 解 解得 2.3隐函数的导数和高阶导数 例2 解 所求切线方程为 显然通过原点. 2.3隐函数的导数和高阶导数 例3 解 2.3隐函数的导数和高阶导数 2.3.3 对数求导法 观察函数 方法: 先在方程两边取对数, 然后利用隐函数的求导 方法求出导数. -对数求导法 适用范围: 2.3隐函数的导数和高阶导数 例4 解等式两边取对数得 2.3隐函数的导数和高阶导数 例5 解等式两边取对数得 2.3隐函数的导数和高阶导数 小结 隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导 法则求导; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的 变化率. 2.3隐函数的导数和高阶导数 案例案例 加速度的表示加速度的表示 我们知道，变速直线运动的速度我们知道，变速直线运动的速度v v( (t t) )是路程函数是路程函数s s( (t t) ) 关于时间关于时间t t的导数，即的导数，即 或或 ，而加速度，而加速度 a a又是速度又是速度v v( (t t) )关于时间关于时间t t的导数，即的导数，即 或或 我们称这种导数我们称这种导数 的导数的导数 或或 为为s s( (t t) )对对t t的二阶导数。的二阶导数。 2.3隐函数的导数和高阶导数 1.高阶导数的定义 定义 2.3.4 高阶导数 2.3隐函数的导数和高阶导数 记作 三阶导数的导数称为四阶导数, 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数. 二阶导数的导数称为三阶导数, 2.3隐函数的导数和高阶导数 进一步的练习进一步的练习 在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车在测试一汽车的刹车性能时发现，刹车后汽车 练习练习1 1 刹车测试刹车测试 假设汽车作直线运动，求汽车在假设汽车作直线运动，求汽车在t t=4s=4s时的速度和时的速度和 加速度加速度 行驶的距离（单位：行驶的距离（单位：mm）与时间与时间t t ( (单位：单位：s) s)满足满足 2.3隐函数的导数和高阶导数 汽车刹车后的速度为汽车刹车后的速度为 解解 (m/s)(m/s)， 汽车刹车后的加速度为汽车刹车后的加速度为 (m/s(m/s 2 2 ) )， t t=4s=4s时，汽车的速度为时，汽车的速度为 t t=4s=4s时，汽车的加速度为时，汽车的加速度为 0 0 (m/s)(m/s)， (m/s(m/s 2 2 ) )， 2.3隐函数的导数和高阶导数 练习练习22通货膨涨通货膨涨 在通货膨涨期间，在通货膨涨期间， p p ( (t t) )将迅速增加。将迅速增加。 (1) (1) 通货膨涨仍然存在。通货膨涨仍然存在。 (2) (2) 通货膨涨率正在下降。通货膨涨率正在下降。 (3) (3) 在不久的将来，物价将稳定下来。在不久的将来，物价将稳定下来。 请用请用p p ( (t t) )的导数描述以下叙述：的导数描述以下叙述： 设函数设函数p p ( (t t) )表示在时刻表示在时刻 t t 某种产品的价格，则某种产品的价格，则 2.3隐函数的导数和高阶导数 表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来表示产品的价格不再上升，即物价将稳定下来 解解 (1)(1) 表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在。表示产品的价格在上升，即通货膨涨仍然存在。 (2)(2) 表示通货膨涨存在，表示通货膨涨存在， 表示通货膨涨率正在下降；表示通货膨涨率正在下降； (3)(3) 2.3隐函数的导数和高阶导数 2. 高阶导数求法举例 例1 解 由高阶导数的定义逐步求高阶导数. 2.3隐函数的导数和高阶导数 例2 解 2.3隐函数的导数和高阶导数 例3 解 2.3隐函数的导数和高阶导数 例4 解 2.3隐函数的导数和高阶导数 例5 解 同理可得 2.3隐函数的导数和高阶导数 例6 解 2.3隐函数的导数和高阶导数 例7 解 2.3隐函数的导数和高阶导数 3.高阶导数的运算法则: 莱布尼兹公式 2.3隐函数的导数和高阶导数 例8 解 2.3隐函数的导数和高阶导数 常用高阶导数公式 2.3隐函数的导数和高阶导数 例9 解 2.3隐函数的导数和高阶导数 例10 解 2.3