硕士生《数理统计》例题及答案.doc

数理统计例题1.设总体X的概率密度函数为： 试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数。解：（1）矩法由于EX为0，令得：（2）极大似然法令得2. 设总体X的概率密度函数为： 其中0，现从总体X中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数。解：（1）矩法 经统计得： 令即 故（2）极大似然法 因为lnL是L的增函数，又所以令得3.已知总体的分布密度函数为： （1）用矩法估计其未知参数；（2）用极大似然法估计其未知参数。解：（1） 令得：（2），故L的单调性与无关又可以取中的任何值。4.10个病人服用甲、乙两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间（小时）见下表：甲1.41.83.00.12.21.52.00.30.51.9乙1.90.83.0-0.53.02.5-0.52.52.02.5假定病人服用两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间分别服从正态分布和，试求的置信下限（）。解：依题意设经计算得：先做方差齐性检验：查表得：因为所以接受，即认为两个总体的方差相等。的置信下限为即-0.9004其中，5.设样本来自正态总体，样本均值为，样本来自正态总体，样本均值为，且两样本相互独立。、为未知参数。（1）已知，样本容量n=25，求的置信水平为0.95的置信区间；（2）如果要求的置信水平为0.95的置信区间长度不超过2，问样本容量n至少应取多少？解：， 故 所以， （1），即（-0.272，5.272）。 （2）依题意，有22，即1，即n1.96250所以，n192.08或n193。6.设总体为其样本。 （1）证明：对一切都是的无偏估计量； （2）试求的一个无偏估计量。（1）证：因为，所以 所以对一切都是的无偏估计量。（2）解：因为 所以 故是的一个无偏估计量。7.设总体服从上的均匀分布，未知，()是来自此总体的一个样本，已知，。（1）试计算、的数学期望；（2）试分别利用、构造的无偏估计量；（3）试比较（2）中的两个无偏估计量的有效性。解：（1）X的概率密度函数为： 因此的概率密度函数为：的概率密度函数为：所以， （2）由（1）可知，都是的无偏估计量。（3） 因此，两个估计量的有效性一样。8.用机床生产某种滚珠，现从中随机地抽取8只滚珠，测得其直径（单位：mm）为：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8。现对机床进行维护保养后继续进行生产，从中随机地抽取9只滚珠，测得其直径（单位：mm）为：15.1，15.0，14.8，15.2，14.9，15.0，14.9，15.1，14.8。假设保养前后生产的滚珠直径都服从正态分布。试问保养后机床的加工精度是否显著提高了（）。解：设保养前生产的滚珠直径服从正态分布，保养后生产的滚珠直径服从正态分布。问题归结为检验假设经统计得：， ， 查表得： 因为 所以拒绝，即可以认为保养后机床的加工精度是显著提高了。9.从甲、乙两个分厂的铸铁中分别抽取样本容量为9和8的样本，分别计算后得到含碳量（%）的平均数及校正样本方差为： 甲厂： 乙厂：。 设甲、乙两个分厂铸铁的含碳量都服从正态分布且相互独立，问这两个分厂铸铁的含碳量的平均值可否看作一样（=0.05）？解：假设甲、乙两厂的铸铁的含碳量分别服从问题归结为检验假设；因为方差未知，又不知方差是否相等，所以应先检验假设；用F检验法，的接受域为：（因为）现在，查表得：因为0.8170.2208，所以接受，即认为方差相等。在的情况下，再用T检验法检验， ，计算得：，查表得：因为，所以接受，即可以认为两个分厂铸铁的含碳量的平均值一样。10.设有一大批产品，产品质量指标。以小者为佳，厂方要求所确定的验收方案对高质量的产品（）能以高概率为买方所接受。买方则要求低质产品（）能以高概率被拒绝。由厂方和买方协商给出。并采取一次抽样以确定该批产品是否为买方所接受。问应如何安排抽样方案。已知，且由工厂长期经验知。又经双方商定，均取值为0.05。解：此问题可以归结为检验且要求当时能以的概率拒绝。此问题的拒绝域为：现要求当时，因为是的减函数，故只需即可，此时有按照给定的数据计算得，故取n=25且当满足时，即当时买方就拒绝这批产品，而当时买方就接受这批产品。11.某中药厂从某种药材中提取一种有效成分，为了进一步提高获得率，改进了提取方法，现在对同一质量的药材，用旧法和新法各做了10次试验，得到的获得率数据如下表：旧法75.577.376.278.176.378.477.478.476.778.0新法77.379.179.181.080.279.182.180.077.379.1假设提取药材的获得率都服从正态分布，问新法的获得率是否比旧法的获得率高（=0.05）？解：假设旧法的提取获得率，新法的提取获得率则为Z的一组样本观测值，即-1.8-1.8-2.9-2.9-3.9-0.7-4.7-1.6-0.6-1.1问题转化为在显著性水平=0.05下检验假设经计算得：查表得：，由于因此拒绝，即认为新法的获得率是否比旧法的获得率高。12. 研究纤维的抗拉强度的分布，随机抽测200根纤维的抗压强度，以分组的形式列表如下：i抗拉强度频数11900,2000)1022000,2100)2632100,2200)5642200,2300)6452300,2400)3062400,250014要求检验原假设H0：F(x)N(,2)。其中F(x)为抗拉强度的分布函数（=0.05）。解：经计算得：所以压强区间（kg/cm2）标准化区间频数概率1900,2000）（-,-1.7033）100.0445711.222000,2100）-1.7033,-0.8922）260.1421323.782100,2200）-0.8922,-0.0811）560.281455.722200,2300）-0.0811,0.7300）640.299268.452300,2400）0.7300,1.5411）300.170926.332400,25001.5411,+）140.0617815.862001201.36查表得因为所以，接受原假设，即认为混凝土的抗压强度服从N(2210,15200)。13. 卢瑟福盖革观察在7.5秒的时间间隔里到达某个计数器的由某块放射性物质放射出的质点数，共观察了2611次，得到下表：012345678910572033835255354082731394527160其中是质点数，是在一次观察中到达的质点数为的观察次数。问在7.5秒中到达计数器的质点数X是否服从泊松分布？解：其中F(x)为X的分布函数，F0(x)是参数为的泊松分布的分布函数。0570.02085854.4659.6612030.0807210.76195.5323830.15619407.82359.6935250.2015526.09523.9145350.19494508.99562.3454080.1509393.96422.5462730.09732254.10293.3171390.0538140.48137.548450.0260367.9629.809270.011229.2224.95160.00656217.1314.942611126112624.21查表得：因为所以，接受H0，即可以认为在7.5秒中到达计数器的质点数X是服从参数为3.87的泊松分布。14. .有一正四面体，将它的四面分别涂成红、黄、蓝、白四种不同的颜色，现做如下抛掷试验：任意地抛掷该四面体，直到白色一面与地面接触为止，记录抛掷的次数。该试验进行了200次。其结果如下表所示：抛掷次数i12345频数mi5648322836试问该四面体是否均匀？设为第i种颜色一面与地面接触（1-红色，2-黄色，3-蓝色，4-白色）i1560.255062.722480.187537.561.443320.14062528.12536.414280.1054687521.0937537.175360.3164062563.2812520.482001200218.22查表得：因为，所以拒绝，即认为该四面体不均匀。15.对核动力工厂的某类仪器实施甲、乙两种不同的维修方案，现观测到两组失效时间（单位：小时）如下表所示：甲78102526273035乙32829427284101150试用秩和检验法检验这两种维修方案的效果有无显著差异（=0.05）。解：设两种维修方案的效果的分布函数分别为和，则原问题转化为检验混合顺序样本为：3,7,8,10,25,26,27,28,29,30,35,42,72,84,101,150第一组样本的秩和为T=2+3+4+5+6+7+10+11=48查表得：，时，因为所以，拒绝H0，即可以认为这两种维修方案的效果有显著差异。16.某建材实验室在作陶粒混凝土强度试验中，考察每立方米混凝土的水泥用量x（kg）对28天后的混凝土抗压强度y（kg/cm2）的影响，测得如下数据：15016017018019020056.958.361.664.668.171.321022023024025026074.177.480.282.686.489.7（1）求y对x的线性回归方程；（2）试用F检验法检验线性回归效果的显著性；（3）求（kg）时的0.95置信区间；（4）为了把抗压强度y限制在（60，80）内，需要把x的值限制在何范围内？解：，（1）所以回归直线方程为（2）查表得所以因为所以可以认为Y与x的线性相关关系显著。（3）故所求的预测区间为（77.56，79.80）。（4） 为了把观测值限制在区间（60，80）内，需要把x的值限制在（166.63,226.27）内。17.设对于给定的x，对应的Y为正态随机变量。对（x，Y）进行了10次独立对观测，得到数据如下表：-2.00.61.41.30.1-1.6-1.70.7-1.8-1.1-6.1-0.57.26.9-0.2-2.1-3.93.8-7.5-2.1（1）求Y对x的线性回归方程；（2）检验线性模型是否显著（=0.05）；（3）当x0=0.5时，求相应的Y0的置信区间（=0.05）；（4）欲将y控制在（-4,4）以内，试估计x的允许变化范围(=0.05)。（5）求a、b的0.95置信区间。解：经统计得：（1） 所以回归直线方程为（2）查表得所以因为所以可以认为Y与x的线性相关关系显著。（3）故所求的预测区间为（-2.2416，7.602）。（4） 为了把观测值y限制在区间（-4，4）内，需要把x的值限制在（-0.3041,-0.2506）内。（5）a的0.95置信区间为即b的0.95置信区间为即。18.现从三个班级中随机地抽取一些学生，记录他们的考分见下表：班级甲738982438073656247956077乙8878489154857477507865769680丙68805593727187426168537915假定三个班级的学生考试成绩分别服从、，试问三个班级的考试平均成绩有无显著差异（=0.05）？解：经计算得：查表得因为所以，接受原假设，即认为三个班的考试成绩没有显著差异。19.假设甲、乙、丙三种种子的亩产量都服从正态分布，且具有方差齐性。现将甲、乙、丙这三种种子在相同的条件下各进行15次产量测试，测量它们的亩产量，并经计算得到三组样本的均值分别为：，；三组样本的方差分别为：，。假设这三组样本相互独立。问：甲、乙、丙这三种种子的亩产量有无显著差异(=0.05)？解：依题意，可设甲、乙、丙这三种种子的亩产量分别服从(i=1，2，3)则应检验假设：， 查表得：因为，所以拒绝H0，即认为甲、乙、丙这三种种子的亩产量有显著差异。20.设正态总体的方差已知，为总体的一组容量为n的样本的平均值。在给定的显著性水平情况下，检验假设时，犯第二类错误的概率为，试验证，并由此推倒出关系式。证：解：根据犯第二类错误的概率的定义，有由上述结论可知，所以，故即21.设总体X具有有限方差DX，为X的样本，对任何一组满足的非负实数，试证都