《误差理论与测量平差基础教学课件》第九讲.ppt

第二章 参 数 平 差 Parametric Least-Squares Adjustment 补充知识 1 多元函数极值 设函数 求F的极值点，即求下列方程组的 解 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 上述方程的 解 叫做驻点， 对于实际问 题驻点就是 极值点。 补充知识 2 矩阵的导数 设矩阵Y中的元素都是变量x的可导函数 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 右式即是矩阵Y对变量x的导数 补充知识 2 矩阵的导数 性质 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 1 2 3 5 4 补充知识 3 列向量对列向量的导数 设列向量Y中的元素都是列向量X中元素的函数 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 右两式即是列向量Y 对列向量X的导数 补充知识 3 列向量对列向量的导数 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 性质 1 2 3 5 4 6 复习 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 平差：在多余观测的基础上，依据一定的观测模型，按照 一定的数学原则，对观测结果进行合理的调整，求得一组 没有矛盾的最可靠结果，并评定精度，这种处理方法和过 程称为测量平差。 最小二乘原理 最小二乘平差计算本质上是一个极值问题。 观测值的平差改正数向量 1、Introduction of Parametric Least-Squares Adjustment 2、Mathematics Model of Parametric Least- Squares Adjustment 3、Normal Equation 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 4、Steps of Parametric Least-Squares Adjustment 5、Some Examples 1、Introduction of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment CA B Question： 要确定平面三角形的形状，等精度观 测三个内角，求各角的最小二乘估值 这样一个问题中，未知数个数为几？独立未知数 个数为几？ 1、Introduction of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment L3 L1 L2 X1 X2 C A B 1）Perfect Condition qt unknowns, n equations qIf no errors, the equations is compatible qBut errors exist, equations is incompatible. 1、Introduction of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 2）If we have the true errors qBut we cannot obtain the true errors ,the X is also not obtained 1、Introduction of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 3）Regard X and as unknowns,append the additional condition qThe additional condition is LS principle 如果我有一千万， 我就能买一栋房子。 我有一千万吗？没有。 所以我仍然没有房子。 如果我有翅膀，我就能飞。 我有翅膀吗？没有。 所以我也没办法飞。 如果把整个太平洋的水倒出， 也浇不熄我对你爱情的火 。 整个太平洋的水全部倒得出吗？不能。 所以，我并不爱你。 第一次亲密接触 1、Introduction of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 4）The Error Equations qVResidual error，残差 q Unknowns，未知参数 q Adjustment Values，平差值 1、Introduction of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 4）The Error Equations 从数学角度上来看，最小二乘问题就是求残差二 次型VTPV的极小值点问题 1、Introduction of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 4）The Error Equations 更为一般的，设 于是 误差方程 1、Introduction of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 5）Examples 5）Examples or 5）Examples or 1、Introduction of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 参数平差的概念 首先依据具体问题选取一组独立且足够的未知数 作参数，列出这些未知参数与全部观测量之间的关 系式，即误差方程；然后根据这些关系式按最小二 乘原理，求出各未知参数及观测量的最或然值，并 精度估计。 1、Introduction of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 6）Note q只有存在多余观测才会存在平差问题。因为仅有 必需观测时，观测方程有唯一解。一般n表示观 测值个数，t是必需观测数，n大于t。 q参数平差的未知数个数必须等于必需观测个数。 q未知参数必须函数独立，即未知参数间不存在条 件关系。 q未知参数可以是间接观测量，所以参数平差也叫 间接平差 。 q误差方程可以是非线性形式。 2、Mathematics Model of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 1函数模型 对一个测量的实际问题，如果有n个观测 值，t个未知参数，对应的存在n个改正数 2、Mathematics Model of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment （观测方程） （误差方程） 1函数模型 2、Mathematics Model of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment ? Weight matrix of l (l=D- L) ? expectation of V l=D-L 1函数模型 2、Mathematics Model of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 对于观测值向量L的真误差向量 1函数模型 两边取数学期望 2、Mathematics Model of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 2随机模型 （观测向量的真误差的期望为零） （权矩阵正定） 3、Normal Equation（法方程） 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 1）The Principle of The Least Squares Estimation q可求得唯一估值 联立 根据 3、Normal Equation （法方程） 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 2）The Normal Equation 极值方程 由误差方程得 极值方程为 误差方程代入上式： 3、Normal Equation （法方程） 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 2）The Normal Equation qNnormal equation coefficient matrix(系数阵） qUnormal equation vector（自由项） or 参数的解向量： 3、Normal Equation（法方程） 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment Note: （1）法方程系数阵N的维数tt （2）法方程的秩r(N)=r(ATPA)=r(A)=t （3）当r(A)=t时，称矩阵A列满秩，为保证A列满秩，未知参数选 取是关键 （4）只有N满秩时，法方程才有唯一解 3、Normal Equation（法方程） 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 3） is the least point of VTPV 设另有解 ，改正数向量V1，只要 命题就得证 因为 3、Normal Equation 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 3） is the least point of VTPV 4） is the unbiased estimate 5） The Expectation of V is .? 4、 Steps of Parametric Least-Squares Adjustment 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment 1）选取足够且独立的参数作为未知量(t个)； 2）列出误差方程式(n个)； 3）依误差方程式组成法方程； 4）解法方程求得未知向量估值； 5）回代X向量，求出改正数和观测值平差值； 6）精度估计。 5、Special Example: 第九讲 参数平差概述与原理 The Introduction and Principle of Parametric LS Adjustment The Normal Equation for Independent Obs. 法方程的一般形式 观测值