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第三章 常微分方程的差分方法 高 云 问题的提出 实际中，很多问题的数学模型都是微分方程。我们 可以研究它们的一些性质。但是，只有极少数特殊的方程 有解析解。对于绝大部分的微分方程是没有解析解的。 常微分方程作为微分方程的基本类型之一，在自然界 与工程界有很广泛的应用。很多问题的数学表述都可以归 结为常微分方程的定解问题。很多偏微分方程问题，也可 以化为常微分方程问题来近似求解。 常微分方程的定解问题 考虑一阶常微分方程的初值问题 只要 f (x, y) 在a, b R1 上连续，且关于 y 满足 Lipschitz 条 件，即存在与 x, y 无关的常数 L 使 对任意定义在 a, b 上的 y1(x) 和 y2(x) 都成立，则上述问题存 在唯一解。 差分方法 要计算出解函数 y(x) 在一系列节点 a = x0 n）上产生的偏差均不超 过 ，则称该方法是稳定的. 稳定性问题比较复杂，为简化讨论，我们仅考察 下列模型方程 y = y， 0 收敛性与稳定性 模型的欧拉格式为 yn+1=（1 + h）yn 模型的欧拉格式为 则 n+1=（1 + h）n 要使 |yn+1|yn| 则 |1 + h|1 稳定条件 0 h -2/ 收敛性与稳定性 模型的隐式欧拉格式为 yn+1= yn+ hyn+1 解出 恒成立 总有 结论 恒稳定 |yn+1|yn| 方程组与高阶方程的情形 一阶方程组的一般形式 方程组与高阶方程的情形 化高阶方程为一阶方程 方程组与高阶方程的情形 令 则有 边值问题 考虑常微分方程的边值问题： 其中p(x)，q(x)和f (x)均为a, b上给定的函数， ，为已知数。 假定p(x)、q(x)及f (x)均为a, b上充分光滑的函数， 且q(x)0，这时，边值问题存在连续可微的解，且唯一。 边值问题 用差分法解边值问题的主要步骤是： （1）将区间a, b离散化； （2）在这些节点上，将导数差商化，从而把微分方程 化为差分方程； (3) 解差分方程实际上就是解线代数方程组。 将a, b区间用节点 分成N等分，其中x0 = a与xN = b 称为边界点， 而x1, x2, , xN-1称为内点。 边值问题 例9.7 试用差分法解方程 解 将0, 1划分为四等分，即取 ，得五个节点 差分方程为 边值问题 将它改写成 在每个内点列方程得 由追赶法公式解得
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