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无穷级数 无穷级数是研究函数的工具 表示函数 研究函数性质 数值计算 数项级数 幂级数 付氏级数 第九章 无穷级数 第一节 常数项级数的概念与基 本性质 一、级数的概念 二、级数的基本性质 三、级数收敛的必要条件 一尺之椎，日取其半，永世不竭 . , 一、级数的概念 1. 级数的定义: 称为(实)常数项无穷级数 . 简称(实数项)级数 . (4) sn 称为级数的部分和数列 . 称为级数的前 n 项部分和 . 问题：上述级数定义中的“和式”只是形式上的， 该如何理解无穷多个数量相加呢？ 2. 级数的收敛与发散: (1) 若级数的部分和数列 sn 有极限 s , (有限数 ) (2) 若部分和数列sn没有极限 , 常数项级数收敛存在 (不存在) (发散) (3) 余项 显然，级数收敛则其每个余项收敛； 级数是以“和”的形式出现的一个特殊数列(部分和 数列)的极限，本质上是一个极限. 讨论级数 的敛散性, 可以先求 sn , 再求 . 解 级数发散; 级数发散; 级数收敛; 级数发散. 综上 的收敛性 . 例2 判别无穷级数 解 技巧 可利用将通项 an 拆项以求出 sn . 解 例3 判别无穷级数 的收敛性 . 技巧 可利用对数运算性质求出 sn . 例4 证明调和级数 发散. 课本 Page 230 例3 证明 假设调和级数收敛于 S , 则有 但 矛盾! 所以假设不真 . 故调和级数 发散. 解 练习： 判别无穷级数 的收敛性 . 技巧 可利用等比数列求和公式求出 sn . 二、级数的基本性质 证明 在级数前面加上或去掉有限项不影响级数的敛散性. 结论: 级数的每一项同乘一个非零常数,敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加或逐项相减. 思考: 注意 收敛级数去括号后所成的级数不一定收敛. 收敛 发散 推论 如果加括号后所成的级数发散 , 则原来级数 也发散. 性质4 收敛级数任意加括号后所成的级数仍然 收敛于原来的和. 例1 判断下列级数的敛散性 . 注 当级数的通项为若干项之和时, 可分别考虑以 其 中每一项为通项的级数的敛散性, 再利用级数逐项 相加(减)的性质. (收敛) (发散) 例2 判断下列级数的敛散性 . 解 考虑加括号后的级数 发散, 从而原级数发散 . 三、级数收敛的必要条件 证明 可见: 若级数的一般项不趋于0 , 则级数必发散 . 级数发散. 注意并非级数收敛的充分条件. 但此级数发散. 例1 判断下列级数的敛散性 . (三个级数均发散) 注 (4) 判断级数 的敛散性 . (发散) 四、小结 常数项级数的基本概念 级数的基本审敛法 3. 按基本性质. 杂例： 例1 的收敛性 . 例2 的收敛性 . 例3 例4 练习 解: (1) 令则 故 从而这说明级数(1)
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