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第五章 概率与概 率分布 统计学 第五章 概率与概率分布 第一节第一节 随机事件及其概率随机事件及其概率 第二节第二节 概率的性质与运算法则概率的性质与运算法则 第三节第三节 离散型随机变量及其分布离散型随机变量及其分布 第四节第四节 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 学习目标 1.1.定义试验、结果、事件、样本空间、概 率 2.2. 理解概率的定义，掌握概率的性质和运算理解概率的定义，掌握概率的性质和运算 法则法则 3.3. 理解随机变量的概念及其常见分布理解随机变量的概念及其常见分布 4.4. 会用会用ExcelExcel计算常见分布的概率计算常见分布的概率 5.1 5.1 随机事件及其概率随机事件及其概率 5. 随机事件的几个基本概念 5. 事件的概率 5.3 概率计算的几个例子 随机事件的几个基本 概念 试 验 1.1.在相同条件下，对事物或现象所进行的观察在相同条件下，对事物或现象所进行的观察 或实验或实验 例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数例如：掷一枚骰子，观察其出现的点数 2.2.概率论里所研究的试验（随机试验）具有以下概率论里所研究的试验（随机试验）具有以下 特点特点 可以在相同的条件下重复进行可以在相同的条件下重复进行 每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所每次试验的可能结果可能不止一个，但试验的所 有可能结果在试验之前是确切知道的有可能结果在试验之前是确切知道的 在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果在试验结束之前，不能确定该次试验的确切结果 事件的概念 1.1.事件：随机试验的每一个可能结果事件：随机试验的每一个可能结果( (任何样本点集合任何样本点集合) ) 例如：掷一枚骰子出现的点数为例如：掷一枚骰子出现的点数为3 3 2.2.随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件随机事件：每次试验可能出现也可能不出现的事件 例如：掷一枚骰子可能出现的点数例如：掷一枚骰子可能出现的点数 3.3.必然事件：每次试验一定出现的事件，用必然事件：每次试验一定出现的事件，用表示表示 例如：掷一枚骰子出现的点数小于例如：掷一枚骰子出现的点数小于7 7 4.4.不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用不可能事件：每次试验一定不出现的事件，用表示表示 例如：掷一枚骰子出现的点数大于例如：掷一枚骰子出现的点数大于6 6 事件与样本空间 1.1. 基本事件基本事件 一个不可能再分的随机事件一个不可能再分的随机事件 例如：掷一枚骰子出现的点数例如：掷一枚骰子出现的点数 2.2. 样本空间样本空间 一个试验中所有基本事件的集合，用一个试验中所有基本事件的集合，用表示表示 例如：在例如：在掷枚骰子的试验中，掷枚骰子的试验中， 1,2,3,4,5,61,2,3,4,5,6 在投掷硬币的试验中，正面，反面 事件的概率 (probability) 事件A的概率是对事件A在试验中出现的 可能性大小的一种度量 表示事件A出现可能性大小的数值 事件A的概率表示为P(A) 概率的定义有：古典定义、统计定义和主 观概率定义 事件的概率 例如，投掷一枚硬币，出现正面和反面的频 率， 随着投掷次数 n 的增大，出现正面和反面的频 率稳定在1/2左右 试验的次数试验的次数 正面正面 / /试验次数试验次数 1.001.00 0.000.00 0.250.25 0.500.50 0.750.75 0 0 252550507575100100125125 事件的概率 事件的概率 概率的定义有：概率的定义有： 古典定义古典定义 统计定义统计定义 主观概率定义主观概率定义 概率的古典定义 如果某一随机试验的结果有限，而且各个结如果某一随机试验的结果有限，而且各个结 果在每次试验中出现的可能性相同，则事件果在每次试验中出现的可能性相同，则事件 A A发生的概率为该事件所包含的基本事件个发生的概率为该事件所包含的基本事件个 数数 m m 与样本空间中所包含的基本事件个数与样本空间中所包含的基本事件个数 n n 的比值，记为的比值，记为 概率的古典定义 （实例） 【例例】某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。某钢铁公司所属三个工厂的职工人数如下表。 从从 该公司中随机抽取该公司中随机抽取1 1人，问：人，问： （1 1）该职工为男性的概率）该职工为男性的概率 （2 2）该职工为炼钢厂职工的概率）该职工为炼钢厂职工的概率 某某钢铁钢铁钢铁钢铁 公司所属企公司所属企业职业职业职业职 工人数工人数 工厂男职职工女职职工合计计 炼钢炼钢 厂 炼铁炼铁 厂 轧钢轧钢 厂 4000 3200 900 1800 1600 600 6200 4800 1500 合计计8500400012500 概率的古典定义 （计算结果） 解：解：(1)(1)用用A A 表示表示“ “抽中的职工为男性抽中的职工为男性” ”这一事件；这一事件；A A为全为全 公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合公司男职工的集合；基本空间为全公司职工的集合 。则。则 (2) (2) 用用B B 表示表示“ “抽中的职工为炼钢厂职工抽中的职工为炼钢厂职工” ”；B B为炼钢为炼钢 厂厂 全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合全体职工的集合；基本空间为全体职工的集合 。则。则 概率的统计定义 在相同条件下进行在相同条件下进行n n次随机试验，事件次随机试验，事件A A出现出现 m m 次，则比值次，则比值 mm/ /n n 称为事件称为事件A A发生的频率。发生的频率。 随着随着n n的增大，该频率围绕某一常数的增大，该频率围绕某一常数P P上下摆上下摆 动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定，动，且波动的幅度逐渐减小，取向于稳定， 这个频率的稳定值即为事件这个频率的稳定值即为事件A A的概率，记为的概率，记为 概率的统计定义 （实例） 【例例】：某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标某工厂为节约用电，规定每天的用电量指标 为为10001000度。按照上个月的用电记录，度。按照上个月的用电记录，3030天中有天中有1212天的天的 用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电用电量超过规定指标，若第二个月仍没有具体的节电 措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。措施，试问该厂第一天用电量超过指标的概率。 解：解：上个月上个月3030天的记录可以看作是重复进行了天的记录可以看作是重复进行了3030次次 试验，试验试验，试验A A表示用电超过指标出现了表示用电超过指标出现了1212次。根据概次。根据概 率的统计定义有率的统计定义有 主观概率定义 1. 1.对一些无法重复的试验，确定其结果的概率对一些无法重复的试验，确定其结果的概率 只能根据以往的经验人为确定只能根据以往的经验人为确定 2. 2.主观概率是一个决策者对某事件是否发生，主观概率是一个决策者对某事件是否发生， 根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的根据个人掌握的信息对该事件发生可能性的 判断判断 3.例如，我认为2011年的中国股市是一个震荡 向上的状况 概率的性质与运算法 则 概率的性质 1. 1.非负性非负性 对任意事件对任意事件A A，有，有 0 0 P P 1 1 2. 2.规范性规范性 必然事件的概率为必然事件的概率为1 1；不可能事件的概率；不可能事件的概率 为为0 0。即。即P P ( ( ) = 1) = 1； P P ( ( ) = 0) = 0 3. 3.可加性可加性 若若A A与与B B互斥，则互斥，则P P ( ( A AB B ) ) = = P P ( ( A A ) ) + + P P ( ( B B ) ) 推广到多个两两互斥事件推广到多个两两互斥事件A A 1 1 ，A A 2 2 ，A A n n ，有，有 P P ( ( A A 1 1 A A 2 2 A A n n ) ) = = P P ( ( A A 1 1 ) ) + + P P ( (A A 2 2 ) ) + + + + P P ( (A A n n ) ) 概率的加法法则 法则一法则一 1. 1.两个互斥事件之和的概率，等于两个事件两个互斥事件之和的概率，等于两个事件 概率之和。设概率之和。设A A和和B B为两个互斥事件，则为两个互斥事件，则 P P ( ( A AB B ) = ) = P P ( ( A A ) + ) + P P ( ( B B ) ) 1. 1.事件事件A A 1 1 ，A A 2 2 ，A A n n 两两互斥，则有两两互斥，则有 P P ( ( A A 1 1 A A 2 2 A A n n) ) = = P P ( ( A A 1 1 ) ) + + P P ( (A A 2 2 ) ) + + + + P P ( (A A n n ) ) 概率的加法法则 （实例） 【例例】根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一根据钢铁公司职工的例子，随机抽取一 名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的名职工，计算该职工为炼钢厂或轧钢厂职工的 概率概率 解：解：用用A A表示表示“ “抽中的为炼钢厂职工抽中的为炼钢厂职工” ”这一事这一事 件；件；B B表示表示“ “抽中的为轧钢厂职工抽中的为轧钢厂职工” ”这一事件。这一事件。 随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为随机抽取一人为炼钢厂或轧钢厂职工的事件为 互斥事件互斥事件A A与与B B 的和，其发生的概率为的和，其发生的概率为 概率的加法法则 法则二法则二 对任意两个随机事件对任意两个随机事件A A和和B B，它们和的，它们和的 概率为两个事件分别概率的和减去两个概率为两个事件分别概率的和减去两个 事件交的概率，即事件交的概率，即 P P ( ( A AB B ) ) = = P P ( ( A A ) ) + + P P ( ( B B ) ) - - P P ( ( A A B B ) ) 概率的加法法则 （实例） 【例例】设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中设某地有甲、乙两种报纸，该地成年人中 有有20%20%读甲报纸，读甲报纸，16%16%读乙报纸，读乙报纸，8%8%两种报纸两种报纸 都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。都读。问成年人中有百分之几至少读一种报纸。 解：解：设设A A 读读读读甲甲报纸报纸报纸报纸 ，B B 读读读读乙乙报纸报纸报纸报纸 ，C C 至少至少读读读读一种一种报纸报纸报纸报纸 。则则 P P ( ( C C ) =) =P P ( ( A AB B ) ) = = P P ( ( A A ) + ) + P P ( ( B B ) - ) - P P ( ( A A B B ) ) =0.2=0.2 + + 0.160.16 - - 0.080.08 = = 0.280.28 例：50名学生参加课外活动情况 （1 1）事件）事件A A表示表示“ “某学生参加课外活动至少一次某学生参加课外活动至少一次” ”，计算，计算 P(A)P(A)。 P(A)=28/50=0.56P(A)=28/50=0.56 （2 2）事件）事件B B表示表示“ “某学生参加课外活动达到三次或三次以某学生参加课外活动达到三次或三次以 上上” ”，计算，计算P(B)P(B)。P(B)=10/50=0.2P(B)=10/50=0.2 （3 3）某学生参加课外活动恰好）某学生参加课外活动恰好2 2次的概率为多少？次的概率为多少？ P(C) =12/50=0.24P(C) =12/50=0.24 参加参加课课外活外活动动的次数的次数 频频 数数 参加参加课课外活外活动动的次的次 数数 频频数数 0 0 1 1 2 2 8 8 2020 1212 3 3 4 4 5 5 6 6 3 3 1 1 例：美国某大城市警察局过去两年中警官升职的情况 在浏览了升职纪录以后，一个由女警官组成的委在浏览了升职纪录以后，一个由女警官组成的委 员会指出在升职过程中存在性别歧视，其依员会指出在升职过程中存在性别歧视，其依 据是男性警官中有据是男性警官中有288288人得到了提升，而女性人得到了提升，而女性 警官中受到提升的人数仅仅为警官中受到提升的人数仅仅为3636人。警察局人。警察局 官员争辩道，女警官受到提升的人数少并非官员争辩道，女警官受到提升的人数少并非 是性别歧视，而是因为在所有警官中女性的是性别歧视，而是因为在所有警官中女性的 数量原本就相对较少。数量原本就相对较少。 男性男性女性女性合合计计计计 升升职职职职人数人数 未升未升职职职职人数人数 288288 672672 3636 204204 324324 876876 合合计计计计96096024024012001200 警官升职联合概率（两个事件交的概率）分布表 某警官是男性条件下被提升的概率有多大？ P（A/M）=288/960=0.24/0.8=0.30 某警官是女性被提升的概率有多大？ P（A/W）=36/240=0.03/0.2=0.15 你得到了什么结论？ 男性（男性（MM）女性（女性（）合合计计计计 升升职职职职（A A） 未升未升职职职职（B B） 0.240.24 0.560.56 0.030.03 0.170.17 0.270.27 0.730.73 合合计计计计 0.800.800.200.201.001.00 条件概率与独立事件 条件概率 在事件在事件B B已经发生的条件下，求事件已经发生的条件下，求事件A A发生的概率，发生的概率， 称这种概率为事件称这种概率为事件B B发生条件下事件发生条件下事件A A发生的条件概率发生的条件概率 ， 记为记为P(A|B)P(A|B) 由于增加了新的信息，一般而言，由于增加了新的信息，一般而言，P(A|B)P(A|B)不等于不等于P(A)P(A) P P( (B B) ) P P( (ABAB) ) P P( (A A| |B B) =) = 条件概率 (实例） 100100件产品中，有件产品中，有8080件正品，件正品，2020件次品。而件次品。而8080件件 正品中，又有正品中，又有5050件是一等品，件是一等品，3030件是二等品，现件是二等品，现 从这从这100100件中任取一件，用件中任取一件，用“ “A”A”表示表示“ “取得一等品取得一等品 ” ”，用，用“ “B”B”表示表示“ “取得正品取得正品” ”，求，求P(A)P(A)和和P(A|B)P(A|B) 概率的乘法公式 设设A A、B B为两个事件，若为两个事件，若P P( (B B)0)0，则，则 P P( (ABAB)=)=P P( (B B) )P P( (A A| |B B) ) 或或P P( (ABAB)=)=P P( (A A) )P P( (B B| |A A) ) 概率的乘法公式 （实例） 【例例】设有设有10001000中产品，其中中产品，其中850850件是正品，件是正品，150150 件是次品，从中依次抽取件是次品，从中依次抽取2 2件，两件都是次品的件，两件都是次品的 概率是多少？概率是多少？ 解：解：设设 A A i i 表示表示“ “第第 i i 次抽到的是次品次抽到的是次品” ”( (i i=1,2)=1,2)， 所求概率所求概率为为为为P P( (A A 1 1A A2 2 ) ) 事件的独立性 1. 1.一个事件的发生与否并不影响另一个事件发一个事件的发生与否并不影响另一个事件发 生的概率，则称两个事件独立生的概率，则称两个事件独立 2. 2.若事件若事件A A与与B B独立，则独立，则P P( (B B| |A A)=)=P P( (B B) )， P P( (A A| |B B)=)=P P( (A A) ) 3. 3.此时概率的乘法公式可简化为此时概率的乘法公式可简化为 P P( (ABAB)=)=P P( (B B) ) P P( (B B) ) 4. 4.推广到推广到n n个独立事件，有个独立事件，有 P P( (A A 1 1 A A2 2 A A n n )=)=P P( (A A 1 1 ) )P P( (A A 2 2 ) ) P P( (A A n n) ) 事件的独立性 （实例） 【例例】某工人同时看管三台机床，每单位时间某工人同时看管三台机床，每单位时间( (如如3030分钟分钟) )内内 机床不需要看管的概率：甲机床为机床不需要看管的概率：甲机床为0.90.9，乙机床为，乙机床为0.80.8，丙机，丙机 床为床为0.850.85。若机床是自动且独立地工作，求。若机床是自动且独立地工作，求 （1 1）在）在3030分钟内三台机床都不需要看管的概率分钟内三台机床都不需要看管的概率 （2 2）在）在3030分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看分钟内甲、乙机床不需要看管，且丙机床需要看 管的概率管的概率 解：解：设设 A A 1 1 ，A A 2 2 ，A A 3 3 为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事为甲、乙、丙三台机床不需要看管的事 件，件， A A 3 3为丙机床需要看管的事件，依题意有为丙机床需要看管的事件，依题意有 (1) (1) P P( (A A 1 1A A2 2A A3 3 )= )= P P( (A A 1 1 ) ) P P( (A A 2 2 ) ) P P( (A A 3 3 )=0.9)=0.9 0.80.8 0.85=0.6120.85=0.612 (2)(2) P P( (A A 1 1A A2 2 A A 3 3 )= )= P P( (A A 1 1 ) ) P P( (A A 2 2 ) ) P P( ( A A 3 3 ) ) = 0.9 = 0.9 0.80.8 (1-0.85)=0.108(1-0.85)=0.108 互斥与独立 独立事件与互斥事件的区别：独立事件与互斥事件的区别： 相互独立事件的衡量标准是事件发生是否相互相互独立事件的衡量标准是事件发生是否相互 影响，是指两个试验中，两个事件发生的概率互不影响，是指两个试验中，两个事件发生的概率互不 影响；影响； 互斥事件的衡量标准是事件会不会同时发生，互斥事件的衡量标准是事件会不会同时发生， 是指同一次试验中的两个事件不会同时发生。是指同一次试验中的两个事件不会同时发生。 全概公式 （实例） 【例例】某车间用甲、乙二台机床进行生产，各种机床的次品某车间用甲、乙二台机床进行生产，各种机床的次品 率分别为率分别为2%2%、5%5%，它们各自的产品分别占总产量的，它们各自的产品分别占总产量的65%65%、 35%35%，将它们的产品组合在一起，求任取一个产品是次品的，将它们的产品组合在一起，求任取一个产品是次品的 概率。概率。 解：解：设设 A A 1 1 表示表示“ “产品来自甲台机床产品来自甲台机床” ”， A A 2 2 表示表示“ “产品来自乙产品来自乙 台机床台机床” ”， B B表示表示“ “取到次品取到次品” ”。根据全概公式有。根据全概公式有 全概公式 设事件设事件A A 1 1 ，A A 2 2 ，A A n n 两两互斥，两两互斥，且且 P P( (A A i i )0()0(i i=1,2, =1,2, ,n n) )， 如果事件如果事件B B满足满足B B A A1 1 + +A A 2 2 + + A An n， ，则有 则有 我们把事件我们把事件A A 1 1 ，A A 2 2 ，A A n n 看作是引起事件看作是引起事件B B发发 生的所有可能原因，事件生的所有可能原因，事件B B 能且只能在原有能且只能在原有A A 1 1 ， A A2 2 ，A A n n 之一发生的条件下发生，求事件之一发生的条件下发生，求事件B B 的概率就是上面的全概公式的概率就是上面的全概公式 贝叶斯公式 （逆概公式） 1. 1. 与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立与全概公式解决的问题相反，贝叶斯公式是建立 在条件概率的基础上寻找事件发生的原因在条件概率的基础上寻找事件发生的原因 2. 2. 设事件设事件A1A1，A2A2，An An 两两互斥，两两互斥，且且 P(AiP(Ai)0(i=1,2, )0(i=1,2, ,n,n) )， 如果事件如果事件B B满足满足B B A1+A2+ AnA1+A2+ An，则有则有 贝叶斯公式 （逆概公式） 该公式是在观察到事件该公式是在观察到事件B B已经发生的情况下已经发生的情况下 ，寻找导致，寻找导致B B发生的每个原因发生的每个原因AiAi的概率的概率 计算事件计算事件AiAi在给定在给定B B条件下的条件概率公式。条件下的条件概率公式。 公公 式中，式中，P P (Ai) (Ai)称为事件称为事件AiAi的先验概率（验前的先验概率（验前 概率）概率） P(Ai|BP(Ai|B) )称为事件称为事件( (原因）原因）AiAi的后验概率的后验概率 （ 验后概率）验后概率） 贝叶斯公式 （实例） 【例例】某车间用甲、乙两台机床进行生产，各种机床的次品某车间用甲、乙两台机床进行生产，各种机床的次品 率分别为率分别为2%2%、5%5%，它们各自的产品分别占总产量的，它们各自的产品分别占总产量的65%65%、 35%35%，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次，将它们的产品组合在一起，如果取到的一件产品是次 品，分别求这一产品是甲、乙生产的概率品，分别求这一产品是甲、乙生产的概率 解：解：设设 A A 1 1 表示表示“ “产品来自甲台机床产品来自甲台机床” ”， A A 2 2 表示表示“ “产品来自乙产品来自乙 台机床台机床” ”， B B表示表示“ “取到次品取到次品” ”。根据贝叶斯公式有：。根据贝叶斯公式有： 第三、四节第三、四节 随机变量及其分布随机变量及其分布 一一. . 随机变量的概念随机变量的概念 二二. . 离散型随机变量的概率分布离散型随机变量的概率分布 三三. . 连续型随机变量的概率分布连续型随机变量的概率分布 随机变量的概念 随机变量的概念 随机变量随机变量表示随机试验结果的数值型表示随机试验结果的数值型 描述描述 取值是随机的，事先不能确定取哪一取值是随机的，事先不能确定取哪一 个值个值 一个取值对应随机试验的一个可能结一个取值对应随机试验的一个可能结 果果 用大写字母如用大写字母如X X、 Y Y 、Z Z来表示，具体来表示，具体 取值则用相应的小写字母如取值则用相应的小写字母如x x、 y y 、zz来表来表 示示 根据取值特点的不同，可分为根据取值特点的不同，可分为： 离散型随机变量离散型随机变量取值可以一一列取值可以一一列 举举 连续型随机变量连续型随机变量取值不能一一列取值不能一一列 举举 离散型随机变量 1. 1.随机变量取有限个值或无穷个诸如随机变量取有限个值或无穷个诸如 0 0， 1 1 ，2 2 2. 2. 离散型随机变量的一些例子离散型随机变量的一些例子 试验试验试验试验随机随机变变变变量量X X可能的取可能的取值值值值 抽抽查查查查100100个个产产产产品品 一家餐一家餐馆营业馆营业馆营业馆营业 一天一天 电脑电脑电脑电脑 公司一个月的公司一个月的销销销销 售售 销销销销售一售一辆辆辆辆汽汽车车车车 取到次品的个数取到次品的个数 顾顾顾顾客数客数 销销销销售量售量 顾顾顾顾客性客性别别别别 0,1,2, ,1000,1,2, ,100 0,1,2, 0,1,2, 0,1, 2,0,1, 2, 男性男性为为为为0, 0,女性女性为为为为 1 1 连续型随机变量 1. 1.随机变量随机变量 X X 取无限个值取无限个值 2. 2.所有可能取值无法逐个列举出来，而是取数所有可能取值无法逐个列举出来，而是取数 轴上某一区间或多个区间上的任意点轴上某一区间或多个区间上的任意点 3. 3.连续型随机变量的一些例子连续型随机变量的一些例子 试验试验试验试验随机随机变变变变量量X X可能的取可能的取 值值值值 抽抽查查查查一批一批电电电电子元件子元件 新建一座住宅楼新建一座住宅楼 一条一条长长长长9090公里高速公公里高速公 路上路上发发发发生事故的地点生事故的地点 使用寿命使用寿命( (小小时时时时) ) 半年后工程完成的百分比半年后工程完成的百分比 离起点的距离离起点的距离( (公里公里) ) X X 0 0 0 0 X X 100100 0 0 X X 90 90 离散型随机变量的概 率分布 离散型随机变量的概率分布 1. 1.列出离散型随机变量列出离散型随机变量X X的所有可能取值的所有可能取值 2. 2.列出随机变量取这些值的概率列出随机变量取这些值的概率 3. 3.通常用下面的表格来表示通常用下面的表格来表示 X X = = x x i i x x1 1 ，x x 2 2 ， ，x x n n P P( (X X = =x x i i )=)=p p i i p p1 1 ，p p 2 2 ， ，p p n n 4. 4. P P( (X X = =x x i i )=)=p p i i 称为离散型随机变量的概率函数，称为离散型随机变量的概率函数， p p i i 0 0 0 离散型随机变量的概率分布 （实例） 【例例】如规定打靶中域如规定打靶中域得得3 3分，中域分，中域得得2 2分分 ，中域，中域得得1 1分，中域外得分，中域外得0 0分。今某射手每分。今某射手每100100 次射击，平均有次射击，平均有3030次中域次中域，5555次中域次中域，1010 次中次中，5 5次中域外。则考察每次射击得分为次中域外。则考察每次射击得分为 0,1,2,30,1,2,3这一离散型随机变量，其概率分布为这一离散型随机变量，其概率分布为 X X = = x x i i 0 1 2 30 1 2 3 P P( (X X= =x x i i ) ) p p i i 0.05 0.10 0.55 0.300.05 0.10 0.55 0.30 离散型随机变量的概率分布 （01分布） 1. 1.一一个离散型随机变量个离散型随机变量X X只取两个可能的值只取两个可能的值 例如，男性用例如，男性用 1 1表示，女性用表示，女性用0 0表示；合格表示；合格 品用品用 1 1 表示，不合格品用表示，不合格品用0 0表示表示 2.2.知道每个（结果）取值的概率知道每个（结果）取值的概率 离散型随机变量的概率分布 （01分布实例） 【例例】已知一批产品的次品率为已知一批产品的次品率为p p0.050.05，合格，合格 率为率为q q=1-=1-p p=1-0.5=0.95=1-0.5=0.95。并指定废品用。并指定废品用1 1表示，表示， 合格品用合格品用0 0表示。则任取一件为废品或合格品这表示。则任取一件为废品或合格品这 一离散型随机变量，其概率分布为一离散型随机变量，其概率分布为 X X = = x x i i 1 01 0 P P( (X X= =x x i i )=)=p p i i 0.05 0.950.05 0.95 .5.5 x x P P( (x x) ) 离散型随机变量的概率分布 （均匀分布） 1. 1.一个离散型随机变量取各个值的概率相同一个离散型随机变量取各个值的概率相同 2. 2.例如，投掷一枚骰子，出现的点数及其出例如，投掷一枚骰子，出现的点数及其出 现各点的概率现各点的概率 离散型随机变量的概率分布 （均匀分布实例） 【例例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型 随机变量，其概率分布为随机变量，其概率分布为 X X = = x x i i 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 P P( (X X= =x x i i )=)=p p i i 1/6 1/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 /6/6 P P( (x x) ) x x 3 3 4 4 5 5 6 6 离散型随机变量的数学期 望和方差 离散型随机变量的数学期望 1.在离散型随机变量X的一切可能取值的完备 组中，各可能取值xi与其取相对应的概率pi乘 积之和 2. 2.描述离散型随机变量取值的集中程度描述离散型随机变量取值的集中程度 3. 3.计算公式为计算公式为 离散型随机变量的方差 1. 1. 随机变量随机变量X X的每一个取值与期望值的离差平的每一个取值与期望值的离差平 方和的数学期望，记为方和的数学期望，记为D D( (X X) ) 2. 2. 描述离散型随机变量取值的分散程度描述离散型随机变量取值的分散程度 3. 3. 计算公式为计算公式为 数学期望和方差的性质 离散型随机变量的方差 （实例） 【例例】投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机投掷一枚骰子，出现的点数是个离散型随机 变量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差变量，其概率分布为如下。计算数学期望和方差 X X = = x x i i 1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6 P P( (X X = =x x i i )=)=p p i i 1/6 1/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 1/61/6 解：解：数学期望为数学期望为： 方差为：方差为： 离散型随机变量的离散系数 计算公式为计算公式为 用来比较不同期望值的总体之间的离中趋势用来比较不同期望值的总体之间的离中趋势 几种常见的离散型概 率分布 常见的离散型概率分布 超几何分布 离散型随机变 量的概率分布 泊松分布二项分布 二项试验 （贝努里试验） 1. 1.二项分布与贝努里试验有关二项分布与贝努里试验有关 2. 2.贝努里试验具有如下属性贝努里试验具有如下属性 试验包含了试验包含了n n 个相同的试验个相同的试验 每次试验只有两个可能的结果，即每次试验只有两个可能的结果，即“ “成成 功功” ”和和“ “失败失败” ” 出现出现“ “成功成功” ”的概率的概率 p p 对每次试验结果是对每次试验结果是 相同的；相同的；“ “失败失败” ”的概率的概率 q q 也相同，且也相同，且 p p + + q q = = 1 1 试验是相互独立的试验是相互独立的 试验试验“ “成功成功” ”或或“ “失败失败” ”可以计数可以计数 二项分布 1. 1.进行进行 n n 次重复试验，出现次重复试验，出现“ “成功成功” ”的次数的的次数的 概率分布称为二项分布，记作概率分布称为二项分布，记作X XB B（n n， p p） 2.设X为 n 次重复试验中事件A出现的次数， 其概率函数为其概率函数为 二项分布 在在n n重贝努里试验中，重贝努里试验中，“ “成功成功” ”的次数的次数X X服从参服从参 数为数为n n、p p的二项分布，的二项分布，记为记为 X X B(B(n n , p , p) ) 二项分布的概率函数：二项分布的概率函数： 二项分布的数学期望和方差：二项分布的数学期望和方差： n n1 1时，二项分布就成了二点分布（时，二项分布就成了二点分布（0-10-1分布）分布） 二项分布图形 p p0.50.5时，二项分布是以均值为中心对称时，二项分布是以均值为中心对称 p p0.50.5时，二项分布总是非对称的时，二项分布总是非对称的 p p0.50.5时峰值在中心的右侧时峰值在中心的右侧 随着随着n n无限增大，二项分布趋近于正态分布无限增大，二项分布趋近于正态分布 p=0.3 p=0.5 p=0.7 二项分布图示 二项分布 （实例） 【例例】已知已知100100件产品中有件产品中有5 5件次品，现从中任件次品，现从中任 取一件，有放回地抽取取一件，有放回地抽取3 3次。求在所抽取的次。求在所抽取的3 3件件 产品中恰好有产品中恰好有2 2件次品的概率件次品的概率 解：解：设设 X X 为所抽取的为所抽取的3 3件产品中的次品数，则件产品中的次品数，则 X X B B ( 3 , 0.05)( 3 , 0.05)，根据二项分布公式有，根据二项分布公式有 超几何分布 1.1.上例中，如果是无放回的抽取产品，则恰有两件上例中，如果是无放回的抽取产品，则恰有两件 产品是次品的概率就不能应用两项分布，而是超产品是次品的概率就不能应用两项分布，而是超 几何分布几何分布 2.2.有有N N件产品，其中有件产品，其中有MM件次品，从中任取件次品，从中任取n n件产品件产品 ，则，则n n件产品所含次品数的概率为件产品所含次品数的概率为 3.3.可以证明，当可以证明，当N N趋于无穷，超几何分布以二项分布趋于无穷，超几何分布以二项分布 为极限为极限 泊松分布 1. 1.用于描述在一指定时间范围内或在一定的用于描述在一指定时间范围内或在一定的 长度、面积、体积之内每一事件出现次数长度、面积、体积之内每一事件出现次数 的分布（稠密性的问题的分布（稠密性的问题) ) 2.泊松分布的例子 一个城市在一个月内发生的交通事故次 数 消费者协会一个星期内收到的消费者投 诉次数 人寿保险公司每天收到的死亡声明的人 数 泊松分布的概率函数 给定的时间间隔、长度、面积、给定的时间间隔、长度、面积、 体积内体积内“ “成功成功” ”的平均数的平均数 e = 2.71828 e = 2.71828 x x 给定的时间间隔、长度、面积、给定的时间间隔、长度、面积、 体积内体积内“ “成功成功” ”的次数的次数 泊松分布的数学期望为泊松分布的数学期望为 E E ( ( X X ) = ) = 方差为方差为 D D ( ( X X ) = ) = 泊松分布 （例子） 我们感兴趣的是周日早上我们感兴趣的是周日早上1515分钟内到达某一洗分钟内到达某一洗 车处的汽车数，如果在两个相等长度的时间内汽车处的汽车数，如果在两个相等长度的时间内汽 车车 到达的概率相等，且任意一段时间内汽车是否到到达的概率相等，且任意一段时间内汽车是否到 达达 与其他时间段汽车是否到达相互独立，则在与其他时间段汽车是否到达相互独立，则在1515分分 钟钟 内到达该洗车处的汽车数服从泊松分布。内到达该洗车处的汽车数服从泊松分布。 假定在假定在1515分钟内平均到达分钟内平均到达1010辆车，则在辆车，则在1515分钟分钟 内到达内到达x x辆车的概率是辆车的概率是 泊松分布 （实例） 【例例】假定某企业的职工中在周一请假的人数假定某企业的职工中在周一请假的人数X X 服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为服从泊松分布，且设周一请事假的平均人数为 2.52.5人。求人。求 （1 1）X X 的均值及标准差的均值及标准差 （2 2）在给定的某周一正好请事假是）在给定的某周一正好请事假是5 5人的概率人的概率 解解：(1) (1) E E( (X X)=)= =2.5=2.5； ( (X X) =) =1.5811.581 (2) (2) 泊松分布 （作为二项分布的近似） 1. 1.当试验的次数当试验的次数 n n 很大，成功的概率很大，成功的概率 p p 很小时很小时 ，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概，可用泊松分布来近似地计算二项分布的概 率，即率，即 2. 2. 实际应用中，当实际应用中，当 P P 0.250.25，n n2020，npnp 5 5时，近时，近 似效果良好似效果良好 连续型随机变量的概 率分布 连续型随机变量的概率分布 指数分布 连续型随机变 量的概率分布 正态分布均匀分布其他分布 连续型随机变量的概率分布 1. 1.连续型随机变量可以取某一区间或多个连续型随机变量可以取某一区间或多个 区间上的任意一个值区间上的任意一个值 2. 2.不能列出每一个值及其相应的概率不能列出每一个值及其相应的概率 它取任何一个特定的值的概率都等于它取任何一个特定的值的概率都等于0 0 通常研究它取某一区间值的概率通常研究它取某一区间值的概率 用数学函数的形式和分布函数的形式来用数学函数的形式和分布函数的形式来 描述描述 概率密度函数 1. 1.设设X X为一连续型随机变量，为一连续型随机变量，x x 为任意实数为任意实数 ，X X的概率密度函数记为的概率密度函数记为f f( (x x) )，它满足条，它满足条 件件 2. 2. f f( (x x) )不是概率不是概率 概率密度函数 在平面直角坐标系中画出在平面直角坐标系中画出f f( (x x) )的图形，则对于任何的图形，则对于任何 实数实数 x x 1 1 0f (x)0 能不能根据密度函数的表达式， 得出正态分布的图形特点呢？ 容易看到，f(x)0 即整个概率密度曲线都在x轴的上方; 故f(x)以为对称轴，并在x=处达到最大 值: 令x=+c, x=-c (c0), 分别代入f (x), 可 得 f (+c)=f (-c) 且 f (+c) f (), f (-c)f () 这说明曲线 f(x)向左右伸展时，越来越 贴近x轴。即f (x)以x轴为渐近线。 当x 时，f(x) 0, 和 对正态曲线的影响 x f f( (x x) ) CA B 正态分布的密度曲线是一条关于 对称的钟形曲线.特点是 “两头小，中间大，左右对称” 决定了图形的中心位置， 决定了图形 中峰的陡峭程度. 正态分布 的图形特点 正态分布的概率 概率是曲线下的概率是曲线下的面积面积! ! a a b b x x f f( (x x) ) 服从正态分布 的随机变量 X的概率密度是 X的分布函数P(Xx)是怎样的呢？ 设X ,X的分布函数是 标准正态分布函数 2. 2. 标准正态分布的概率密度函数标准正态分布的概率密度函数 1. 1. 任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性任何一个一般的正态分布，可通过下面的线性 变换转化为标准正态分布变换转化为标准正态分布 3. 3. 标准正态分布的分布函数标准正态分布的分布函数 标准正态分布 x x 一般正态分布一般正态分布 Z Z 标准正态分布标准正态分布 标准正态分布表的使用 1. 1.将一个一般的转换为标准正态分布将一个一般的转换为标准正态分布 2. 2.计算概率时计算概率时 ，查标准正态概率分布表，查标准正态概率分布表 3. 3.对于负的对于负的 x x ，可由，可由 (- (-x x) ) x x 得到得到 4. 4.对于标准正态分布，即对于标准正态分布，即X X N N(0,1)(0,1)，有，有 P P ( (a a X X b b) ) b b a a P P (|X| (|X| a a) ) 2 2 a a 1 1 5. 5.对于一般正态分布，即对于一般正态分布，即X X N N( ( , , ) )，有，有 正态分布 （实例） 【例例】设设X X N N(0(0，1)1)，求以下概率：，求以下概率： (1) (1) P P( (X X 2) 2)； (3) (3) P P(-12)=1- 2)=1- P P( (X X 2)=1-0.9973=0.02272)=1-0.9973=0.0227 (3) (3) P P(-1(-1X X 3)= 3)= P P( (X X 3)- 3)- P P( (X X -1)-1) = = (3)- (3)- (-1)= (-1)= (3) 1-(3) 1-(1)(1) = 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 = 0.9987-(1-0.8413)=0.8354 (4) (4) P P(| (| X X | | 2) = 2) = P P(-2(-2 X X | | 2)= 2)= (2)- (2)- (-2)(-2) = = (2)- 1-(2)- 1-(2)=2 (2)=2 (2)- 1=0.9545(2)- 1=0.9545 正态分布 （实例） 【例例】设设X X N N(5(5，3 3 2 2 ) )，求以下概率，求以下概率 (1) (1) P P( (X X 10) 10) ； (2) (2) P P(2(2X X 1010) ) 正态分布 （实例） 解解： (1) (1) (2)(2) 例例：用于饮酒过度人员的恢复性治疗的平用于饮酒过度人员的恢复性治疗的平 均成本为均成本为100010000 0美元。假定成本服从标美元。假定成本服从标 准差为准差为22002200美元的正态分布。那么：美元的正态分布。那么： a. a.成本至少为成本至少