逻辑代数及其化简1.ppt

第2章逻辑代数及其化简 作业： 2-5（2） 2-6（2） 2-7 2-11（5） 2-12（4） 2-13（4） 2-14（2） 1 目 录 2.1 计数制与编码 2.2 逻辑代数基础 2.3 逻辑函数常用的描述方法 2.4 逻辑函数的化简 2.5 具有无关项逻辑函数的化简 2.6 用Multisim 2001进行逻辑函数的化简与变换 2 2.1 计数制与编码 任何数通常都可以用两种不同的方法来表示：一种 是按其“值”表示，另一种是按“形”表示。 按“值”表示，即选定某种进位的计数制来表示某个 数的值，这就是所谓的进位计数制，简称数制（ Number System）。 3 2.1.1 常用计数制及其转换（自学 ） 1. 1. 十进制十进制 143.75=1*102+4*101+3*100+7*10-1+5*10-2D= D= k k i i 1010 i i 2. 2. 二进制二进制 (101.11)2=1*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2=(5.75)10 D= D= k k i i 2 2 i i 101.11B= 5.75D 3. 3. 十六进制十六进制 (2A.7F)16=2*161+10*160+7*16-1+15*16-2=(42.5)10 D= D= k k i i 1616 i i 2A.7FH= 42.5D 4 2.1.1 常用计数制及其转换（自学 ） 1. 1. 二二十进制十进制 (101.11)2=1*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2=(5.75)10 2. 2. 十十二进制二进制 分整数和小数两部分：分整数和小数两部分： 整数部分整数部分除以除以2 2取取余余，小数部分，小数部分乘以乘以2 2取取整整。 3. 3. 二二十六进制十六进制 (101,1110.1011,0010)2 =(5 E . B 2)16 4.4.十六十六二进制二进制 ( 8 F A. C 6)16 =(1000 1111 1010.1100 0110)2 5 按“形”表示，就是用代码来表示某些数的“值”。 按“形”表示一个数时，先要确定编码规则，然后 按此编码规则编出代码，并给代码赋以一定的含 义，这就是所谓的编码。 6 计算机等数字系统所处理的信息多为数值、文字 、符号、图形、声音和图像等，它们都可以用多 位二进制数来表示，这种多位二进制数叫做代码 。 如果用一组代码并给每个代码赋以一定的含义则 称编码（Encode）。 2.1.2 编码 7 在数字电路中，常用二-十进制码，也叫做BCD（ Binary-Coded Decimal）码。 所谓二-十进制码，就是用4位二进制数组成的代码 来表示1位十进制数。 4位二进制数具有16种组合，二-十进制数的10个数 字符号只需选用其中的10种组合来表示常用的几种 二-十进制编码如表2-1所示。 8 表2-1 常用的几种二-十进制编码 有权码无权码 9 英国数学家乔治布尔（George Boole）于1847年 在他的著作中首先对逻辑代数进行了系统的论述 ，故逻辑代数始称为布尔代数，因为逻辑代数用 于研究二值变量的运算规律，所以也称为二值代 数。 2.2 逻辑代数基础 10 2.2.1逻辑代数的基本运算和复合运算 逻辑代数的基本运算包括与、或、非三种运算。 下面用三个指示灯的控制电路来分别说明三种基 本逻辑运算的物理意义。 设开关A、B为逻辑变量，约定开关闭合为逻辑1 、开关断开为逻辑0；设灯为逻辑函数F，约定灯 亮为逻辑1，灯灭为逻辑0。 11 逻辑与（也叫逻辑乘）定义如下：“一个事件要发 生需要多个条件，只有当所有的条件都具备之后， 此事件才发生”。 E A B F ？ 怎么表示与运算呢 1. 与运算 12 1）真值表: 将逻辑变量所有可能取值的组合与其 一一对应的逻辑函数值之间的关系以表格的形 式表示出来，叫做逻辑函数的真值表。 与逻辑运算真值表 ABF 0 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1. 与运算 输入输出 13 2）逻辑表达式：表示逻辑与运算的逻辑函数表达 式为FAB，式中“”为与运算符号，有时也可 以省略。 与运算的规则为： 000，010，100，11=1。 与运算可以推广到多个逻辑变量，即 FABC。 1. 与运算 14 3）逻辑符号（电路图）：在数字电路中，实现 逻辑与运算的单元电路叫与门，与门的逻辑符 号如图所示。 本教材采用的 符号 1. 与运算 15 2. 或运算 在决定一事件发生的多个条件中，只要有一个 条件满足，此事件就会发生。 A E B F 逻辑或运算的真值表 16 n或运算逻辑函数表达式为FAB，式中“” 为或运算符号。 n或运算的规则为： 0+00，0+11，1+01，1+1=1。 n逻辑或运算也可推广到多个逻辑变量，即 F=A+B+C+。 2. 或运算 17 2. 或运算 实现逻辑或运算的单元电路叫或门，或门的逻 辑符号如图所示。 18 3. 非运算 当条件不具备时，事件才会发生。 E Y A R 逻辑非运算的真值表 19 3. 非运算 非运算的逻辑表达式为 ，式中A上的“”为 非运算符号，EDA中表示为 。 非运算的规则为： 实现非运算的单元电路叫非门(或反相器），非门 的逻辑符号如图所示。 20 4. 几种常用的逻辑运算 由与、或、非三种基本逻辑运算可以组合成多种 常用的复合逻辑运算。 1）与非运算 ABF 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 21 2）或非运算 ABF 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 0 4. 几种常用的逻辑运算 22 3）与或非运算 4. 几种常用的逻辑运算 23 4）异或逻辑运算 对于两变量的异或运算，当输入相异时输出 为1，输入相同时输出为0。 24 5）同或逻辑运算 对于两变量的同或运算，当输入相同时输出为1， 输入相异时输出为0。 25 2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式 1. 基本公式 01定律： 重叠律： 26 2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式 27 同理可证明： 2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式 28 2.2.2逻辑代数的基本公式和常用公式 证明: 1.穷举法 2.公式法 29 2.常用公式 30 2.常用公式 31 2.常用公式 32 *异或公式（补充） 33 2.2.3 逻辑代数的基本规则 1. 代入规则 对任意逻辑等式，如果将式中的某一变量用其 他变量或逻辑函数替换，则此等式仍然成立。 例如,等式 ，若函数FBC去置换等 式中地变量B，则等式左边，而等式右边，显 然，等式仍然成立。 34 2. 反演规则 对于一个逻辑函数式F,若将其中所有的 则得到的结果就是F的反函数。 35 注意：优先顺序不能变，不是单个变量上的反号不 能变。 36 3. 对偶规则 F F F F 对于一个逻辑函数式F,若将其中的 则得到的结果就是F的对偶式。 若两逻辑式相等,则它们的对偶式也相等。 37 2.3.1 逻辑函数常用的描述方法 2.3 逻辑函数常用的描述方法及相互 间的转换 逻辑表达式 真值表 逻辑电路图 卡诺图 逻辑函数常用的描述方法 38 由逻辑变量和逻辑运算符号组成，用于表示变量之 间逻辑关系的式子，称为逻辑表达式。 1.逻辑表达式 39 与或表达式： 标准与或表达式： 或与表达式： 标准或与表达式: 与非与非表达式: 或非或非表达式: 与或非表达式： 40 用来反映变量所有取值组合及对应函数值的表格 ，称为真值表。 例如，对于三变量的判断奇数的电路中，当A、 B、C三个变量中有奇数个1时，输出F为1；否则 ，输出F为0。 2.真值表 41 表2-12 三变量判断奇数电路的真值表 A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 42 由逻辑门电路符号构成的，用来表示逻辑变量之间 关系的图形称为逻辑电路图，简称逻辑图。 3.逻辑图 43 4. 卡诺图 将逻辑变量分成两组，分别在横竖两个方向排 列出各组变量的所有取值组合，构成一个有个 方格的图形，其中，每一个方格对应变量的一 个取值组合，这种图形叫做卡诺图。 44 2.3.2不同描述方法之间的转换 1.表达式真值表 由表达式列函数的真值表时，一般首先按自然二 进制码的顺序列出函数所含逻辑变量的所有不同 取值组合，再确定其对应的函数值。 45 例2-1 列出逻辑函数 的真值表 解：逐个将变量A、B、C的各个取值组合代入 逻辑函数中，求出相应的函数值。 ABC取000时，F为0；ABC取001时，F为1； ；ABC取110时，F为1；ABC取111时，F 为0。 按自然二进制码的顺序列出变量A、B、C的所 有不同取值组合，再根据以上的分析结果， 46 表2-13 逻辑函数 的真值表 A B C F 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 47 FA B C 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 将所有已写出的组合进行“或 ” 真值表 2.真值表表达式 找出输出 “1”的组合 用“与”写出使输出为1的组合。 48 3. 表达式逻辑图 49 2.3.3逻辑函数的建立及其描述方法 为了解决某个实际问题，必须研究其因变量及其相 互之间的逻辑关系，从而得出相应的逻辑函数。 一般来说，首先应根据提出的实际逻辑命题，确定 输入逻辑变量、输出逻辑变量。 研究它们之间的因果关系，列出其真值表。 再根据真值表写逻辑函数表达式。 根据表达式画出电路图。 50 例2-13：有一水塔，用一大一小的两台电动机MS和 ML分别驱动两个水泵向水塔注水，当水塔的水位降 到C点时，小电动机MS单独驱动小水泵注水，当水 位降到B点时，大电动机ML单独驱动大水泵注水， 当水位降到A点时由两台电动机同时驱动水泵注水 。试设计一个控制电动机工作的逻辑电路。 51 解 1）设水位C、B、A为输入变量，当水位降到 C、B、A的某点时，取值为逻辑“1”，否则取值为 逻辑“0”；电动机MS和ML为输出变量，工作时取 值为 “1”，不工作时为 “0”。 2）分析逻辑变量之间的 因 果关系，列出此逻辑 函数 的真值表。 52 3）根据真值表可写出逻辑函数表达式。 53 4）根据逻辑逻辑 函数表达式画出逻辑电逻辑电 路图图。 54 2.4 逻辑函数的化简 2.4.1逻辑函数的最简形式 同一逻辑函数可以采用不同的逻辑电路图来实现， 而这些逻辑电路图所采用的器件的种类或数量可能 会有所不同，因此化简逻辑函数可以简化电路、节 省器材、降低成本、提高系统的可靠性。因此，化 简逻辑函数对工程设计来说具有重要意义 。 逻辑函数的最简表达式有很多种，常用的有最简与 或式和最简或与式。 55 与或式F1=AB+BC 与或式的最简标准是：含的与项个数最少； 各与项中含的变量个数最少。 或与式F2=(A+B)(B+C) 或与式的最简标准是：含的或项个数最少； 各或项中含的变量个数最少。 常用的化简方法有公式法和卡诺图法两种。 56 公式化简法就是运用逻辑代数的基本公式和常用公 式，得到最简形式。 2.4.2逻辑函数的公式化简 57 利用结合律 ，将两个与项合并为一 个，消去其中的一个变量。 1. 并项法 例如 58 2.吸收法 利用吸收律A+AB=A，吸收多余的与项。 例如： 59 3.消因子法 利用 吸收律消去某些与项中的变量 。 例如 ： 60 利用吸收律 ，将某些与 项消去。 例如： 4.消项法 61 5.配项法 利用 等 基本公式给某些逻辑函数配上适当的项，进而可 消去原函数中的某些项或变量。 例如 62 实际上，在化简一个较复杂的逻辑函数时，总是根 据逻辑函数的不同构成，综合应用上述几种方法。 例 63 例题 64 不同形式表达式之间的变换: 利用基本公式对逻辑函数作形式上的变换，以便选 用适合的器件来实现其逻辑功能。如将与或式变换 成与非与非表达式，以便用与非门来实现。 例如 65 将或与式变换成或非或非表达式，以便用或非门 来实现。 例如 不同形式表达式之间的变换: 66 2.4.3逻辑函数的卡诺图化简 用公式法简化逻辑函数时，一方面，不仅要熟记逻辑 代数的基本公式，而且还需要有熟练的运算技巧；另 一方面，经过化简后的逻辑函数是否是最简或最佳时 有时也难以确定。与之相比，应用卡诺图化简逻辑函 数，则简捷直观、灵活方便、且容易确定是否已得到 最简结果。 67 （1）定义 标准与或表达式是一种特殊的与或表达式，其中的 每个与项都包含了所有相关的逻辑变量，每个变量 以原变量或反变量出现一次且仅出现一次，这样的 与项称为标准与项，又称最小项。 如 F=F(A, B)，共有最小项4项 ： 1. 标准与或表达式 最小项 68 m0m1 000001 01 最小项 二进制代码 十进制数 mim2m3m4m5m6m7 010011100101110111 234567 （2） 最小项编号 69 （3）最小项的主要性质 每个最小项都与变量的惟一的一个取值组合相对 应，只有该取值组合使这个最小项取值为1，其 余任何组合均使该最小项为0。 所有最小项相或，结果为1。 任意两个不同的最小项相与，结果为0 70 例2-4写出函数 的标准与或表达式 。 71 （4）标准或与表达式 标准或与表达式是一种特殊的或与表达式，其中的 每个或项都包含了所有的逻辑变量，每个变量以原 变量或反变量出现一次且仅出现一次。这样的或项 称为标准或项，又称最大项。 例如：A、B、C的最大项 对应的变量取 值组合为010，其大小为2，因而，记为M2。 如果一个或项缺少某变量，则或上该变量和其反变 量的逻辑与，直至每一个或项都为最大项为止。 72 将逻辑变量分成两组，分别在横竖两个方向排列出 各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的 图形，其中，每一个方格对应变量的一个取值组合 ，这种图形叫做卡诺图。 1）每个小方格代表一个最小项，对于n变量来说，共 有2n个小方格。 2）几何上相邻的最小项，逻辑上具有相邻性。 2.卡诺图构成的原则 73 A B 0 1 0 1 01 32 AB AB AB AB 二变量卡诺图 最小项编号 A BC 00 01 11 10 0 1 0 1 3 2 4 5 7 6 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC 三变量卡诺图 2.卡诺图构成的原则 74 0 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9 11 10 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD ABCD 四变量卡诺图 重要特性： 几何相邻具有逻辑相邻 注：上与下，左与右，注：上与下，左与右， 对称，相邻对称，相邻 75 3.用卡诺图表示逻辑函数 在卡诺图中，由行和列两组变量构成的每一个小方 格，都代表了逻辑函数的一个最小项，变量取值为1 的代表原变量，为0的代表反变量。 1 1 1 1 1）由变量数选定卡诺图 2）所含最小项对应格填1 76 若逻辑函数为一般的与或表达式，无需先变换成最小 项表达式，可直接将其填写在卡诺图中。 1 1 1 1 1 1 1 1 1 77 4.用卡诺图化简逻辑函数 （1）相邻小方格的合并规则 卡诺图中，凡相邻的两个小方格（此称几何相邻 ）都具有逻辑相邻性，也就是它们只有一个变量 取值不同，其他变量取值相同。 逻辑相邻的最小项相或时，可利用公式 进行合并，合并时应注意以下规则： 78 1）两个相邻小方格可以合并成一个乘积项，且 消去一个变量。 A BC 00 01 11 10 0 1 1 1 =BC(A+A) =BC Y=ABC+ABC 利用A+A=1的关系 1 1 ACAC 1 11 1 AB 79 2）4（22）个相邻的小方格可合并成一个乘积项， 且消去两个变量。 A BC 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 Y= ABC+ABC+ABC+ABC =AC(B+B)+AC(B+B) =AC+AC =C A BC 00 01 11 10 0 1 1 1 1 1 Y=A Y=ABC+ABC+ABC+ABC 80 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 11 11 Y= BD AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 Y= C 1 1 1 1 1 1 1 1 3）如果是八个相邻单元取值同为1，则可以合并， 并消去三个变量。 81 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 Y=A AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 Y= D 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 11 1 1 1 4）如果是2n个相邻单元取值同为1，则可以合并， 并消去n个变量。 82 （2）用卡诺图化简逻辑函数的步骤 1）用卡诺图表示逻辑函数。 将逻辑函数F变换成与或式，凡在F中包含有的最小 项，在其卡诺图相应的小方格中填1，其余的小方格 空着或填0。 83 2）合并最小项 将相邻的为1的小方格圈在一起，画图时要将尽可 能多的小方格圈在一起，圈画得越大，消去的变量 就越多。 所画的圈内都必须至少包含一个未被圈过的小项， 否则所得的乘积项是冗余项。 84 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 1 1 错误的圈法 正确的圈法 所画的圈必须是矩形，并且个数为2n，一般是先画 大圈，最后圈孤立的单个的小方格。 85 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 1 11 1 1 1 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 注意注意：1.化简完成后要检查有无多余的圈。 2.最简结果不唯一。 Y=ABD+ABC+ABD+ABC+CD 冗余项86 3）根据所画的圈写相应的乘积项，将各乘积项相或， 便可得到化简后的逻辑函数F的与或表达式。 87 例 2-14 用卡诺图化简逻辑函数 AB CD 00 01 11 10 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1 1 1 1 88 2.5 具有无关项逻辑函数的化简 根据逻辑命题写出逻辑函数通常有两大类；一 类逻辑函数的逻辑值是完全确定的，它不是逻 辑1就是逻辑0，这类逻辑函数的化简可按上述 的方法进行； 另一类逻辑函数值对于某些最小项却是不完全 确定的，这类逻辑函数又有以下两种情况： 89 1）任意项: 输入变量的某些取值的组合根本不存在， 或者某些取值的组合也确实存在，但它的存在对逻 辑函数的