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3.6 线性方程组解的结构 一、齐次线性方程组解的结构 1解的性质 性质1 (1)的两个解的和还是(1) 的解; 性质2 (1)的一个解的倍数还是(1)的解; 性质3 (1)的解的任一线性组合还是(1)的解 2 基础解系 定义 齐次线性方程组(1)的一组解 1,2,r，若满足 1) 1,2,r线性无关； 2) 齐次线性方程组(1)的任意一解都可 由1,2,r线性表出； 则称1,2,r为齐次线性方程组(1) 的一 个基础解系； 4 基础解系存在性 定理 在齐次线性方程组(1)有非零解的 情况下，它有基础解系，并且基础解系 所含解向量的个数等于nr, 其中r 为方程 组系数矩阵的秩。 证：若r=n, 方程组只有零解，不存在基础解系 若R(A) =rn，不妨设 则(1)可写成 我们知道自由未知量的任意一组值都确 定了方程组(1)的一个解。 用组数 (1,0,0), (0,1,0),(0,0,0) 来代替自由未知量(xr+1,xn), 就得到(2)的 解，也就是(1)的nr个解: 要证明(3)是(1)的基础解系，需证 1,2,n-r线性无关 令k11+ k22+kn-rn-r=0, 则k11+ k22 +kn-rn-r=(*,*,k1, k2,kn-r)=0，从而 k1=k2=kn-r=0, 所以1,2,n-r线性无 关。 任取(1)的一个解,可由1,2,n-r线性表出 由于1,2,n-r是(1)的解,所以线性组合 cr+11 + cr+22 + +cnn-r也为(1)的解，比 较二者的后n r个分量可知，自由未知量 相同，故二者是同一个解，即是 设 =(c1,c2,cn)是(1)的任意一个解, = cr+11 + cr+22 + +cnn-r 由 ， 为(1)的一个基础解系 例1 求齐次线性方程组 的基础解系 推论 任一线性无关的与(1)的某一基础 解系等价的向量组都是(1)的基础解系 二、一般线性方程组解的结构 如果b1= b2= bs=0, 则得到方程组(1)， 称齐次方程组(1)为方程组(4)的导出组。 性质1 线性方程组(4)的任意两个解 的差为其导出组(1)的解 性质2 线性方程组(4)的任意一个解 与导出组(1)的任意一个解之和是线性方程 组(4)的解. 解的结构 定理 若0为(4)的一个特解，则方程组(4)的 任一解皆可表成 = 0+ ,其中为其导出组(1) 的一个解 从而, 方程组(4)的一般解为 = 0+k11 + k22 +knrn r 其中0为(4) 的一个特解，1,2,n r 为导 出组 的一个基础解系 推论 方程组(4)在有解的条件下,有唯 一解(4)的导出组(1)只有零解 求一般线性方程组(4)的一般解 步骤： 1）求出其导出组的基础解系 1,2,
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