离散傅里叶变换IDF.pptx

第三章第三章 IDFT IDFT 与与DFTDFT 连续时间、连续频率傅里叶变换 连续时间、离散频率傅里叶级数 离散时间、连续频率序列的傅里叶变换 离散时间、离散频率离散傅里叶变换 傅里叶变换傅里叶变换的几种可能形式的几种可能形式 时 域 频 域 傅里叶变换傅里叶变换 一、连续时间，连续频率一、连续时间，连续频率傅里叶变换傅里叶变换(FT)(FT) 这是连续时间，非周期信号x(t)的傅里叶变换。它得到连续 的、非周期的频谱密度函数X(j)。 时域连续 频域非周期 时域非周期 频域连续 二、连续时间，离散频率二、连续时间，离散频率傅里叶级数傅里叶级数(FS)(FS) 这是连续时间，周期信号x(t)的傅立叶变换。它得到离散 的、非周期的频谱密度函数X(j)。例如信号x(t)=sin100t 只有一个频率分量。 X(jK0)是频谱相邻两谱线间角频率的间隔，K为谐波序号。 时域周期频域离散 三、离散时间，连续频率三、离散时间，连续频率序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换(DTFT)(DTFT) 时域离散，将导致频域周期化，且 这个周期是s。 时域离散频域周期 四、离散时间，离散频率四、离散时间，离散频率离散傅里叶变换离散傅里叶变换(DFT)(DFT) 上面所讲的三种傅里叶变换至少在一个域内是连续的，不 适于计算机运算。最好是时域和频域均为离散的，才方便用计 算机运算。 思路：从序列的傅里叶变换出发，若时域为离散的序列，则频 域是连续周期的；若此时我们对频域的连续信号抽样， 人为的使其离散化，这样，频域的离散又导致时域的周 期化。于是有： 时域离散、周期频域周期、离散 四种傅里叶变换形式的归纳 时间函数 频率函数 连续和非周期 非周期和连续 连续和周期 非周期和离散 离散和非周期 周期和连续 散和周期 周期和离散 各种形式的傅里叶变换 3.1 基 本 内 容 1. 离散时间傅里叶变换； 2. 常用信号的离散时间傅里叶变换对; 3. 离散时间周期信号的傅里叶变换； 4. 傅里叶变换的性质； 3. 系统的频率响应与系统的频域分析方法； v注释: CFS ( The Continuous-Time Fourier Series ): 连续时间傅里叶级数 DFS ( The Discrete-Time Fourier Series ): 离散时间傅里叶级数 CTFT ( The Continuous-Time Fourier Transform ): 连续时间傅里叶变换 DTFT ( The Discrete-Time Fourier Transform ): 离散时间傅里叶变换 3.0 引言 Introduction v 本章将采用与讨论CTFT完全相同的思想方 法，来研究离散时间非周期信号的频域分解问 题。 v DFS与CFS之间既有许多类似之处，也有一 些重大差别：主要是DFS是一个有限项级数， 其系数 具有周期性。 v 在采用相同方法研究如何从 DFS 引出离散 时间非周期信号的频域描述时，可以看到， DTFT与CTFT既有许多相类似的地方，也同时 存在一些重要的区别。 v 抓住它们之间的相似之处并关注其差别， 对于掌握和加深对频域分析方法的理解具有重 要意义。 3.1 非周期信号的表示 Representation of Aperiodic Signals: The Discrete-time Fourier Thransform 一. 从DFS到DTFT: 在讨论离散时间周期性矩形脉冲信号的频谱时, 我们看到： 当信号周期 增大时，频谱的包络形状不变， 幅度减小，而频谱的谱线变密。 因此，可以预见，对一个非周期信号，它的频 谱应该是一个连续的频谱。 当 时，有 ，将导致 信号的频谱无限密集，最终成为连续频谱。 从时域看，当周期信号的周期 时，周 期序列就变成了一个非周期的序列。 当 时 令 对周期信号 由DFS有 即 说明:显然对是以为周期的。 DTFT有: 当 在一个周期范围内变化时， 在 范围 变化，所以积分区间是 。 将其与 表达式比较有 当时 于是: 表明:离散时间序列可以分解为频率在2区间上 分布的、幅度为 的复指数分量的 线性组合。 DTFTDTFT对对 结论： 二.常用信号的离散时间傅里叶变换 通常 是复函数，用它的模和相位表示: 1. 由图可以得到: 时，高通特 性, 摆动指数衰减 时，低通特性,单调指数衰减 2. 可以得出结论:实偶序列实偶函数 3.矩形脉冲: 当时，可得到: 有同样的结论:实偶信号实偶函数 两点比较: 1.与对应的周期信号比较 显然有 关系成立 2.与对应的连续时间信号比较 如图所示: 如图所示: 4. 三. DTFT的收敛问题 当 是无限长序列时，由于 的表达式 是无穷项级数，当然会存在收敛问题。 收敛条件有两组： 2. 则 存在，且级数一致收敛 于 。 1. 则级数以均方误差最小的准则 收敛于 。 考察 的收敛过程，如图所示： v但随着 的振荡频率变高，起伏的 幅度趋小; v当 时，振荡与起伏将完全消失，不会出 现吉伯斯(Gibbs)现象，也不存在收敛问题。 由图可以得到以下结论: v当以部分复指数分量之和近似信号时，也会 出现起伏和振荡; 3.2 周期信号的DTFT 对连续时间信号，有 由此 推断，对离散时间信号或许有相似的情况。但由 于DTFT一定是以 为周期的，因此，频域的冲 激应该是周期性的冲激串，即 对其做反变换有： The Fourier Transform for Periodic Signals 可见, 由DFS有 因此，周期信号 可用DTFT表示为 （对L 展开） 比较: 可以看出与连续时间傅里叶变换中相应的 形式是完全一致的。 注意到 也以 为周期，于是有： 例1.它不一定是 周期的。 当时才具有周期性。 如图所示: 例2. 比较:与连续时间情况下对应的相一致。 均匀脉冲串 3.3 离散时间傅里叶变换的性质 DTFT也有很多与CTFT类似的性质，当然也有 某些明显的差别。 通过对DTFT性质的讨论，目的在于揭示信号时 域和频域特性之间的关系。 一、周期性 (periodic)： 比较：这是与CTFT不同的。 Properties of the Discrete-Time Fourier Transform 则若 二. 线性 (linearity): 三. 时移与频移 (shifiting): 若则 时移特性 频移特性 四. 时域反转 (reflaction): 若则 五. 共轭对称性 (symmetry properties): 若则 由此可进一步得到以下结论: 即 1. 若是实信号，则 2. 若是实偶信号，则 于是有: 即 是实偶函数。 3. 若是实奇信号， 于是有: 表明 是虚奇函数。 4. 若则有: 说明:这些结论与连续时间情况下完全一致。 六. 差分与求和 (Differencing and Accumulation): 说明:在 DTFT中对应于CTFT中的 。 例: 七. 时域内插 ( Interplation ): 定义 为的整数倍 其他 信号的时域与频域特性之间有一种相反的关系。 八. 频域微分( Differention in Frequency ): 九. Parseval定理: 称为的能量谱密度函数。 比较:在DFS中有 称为周期信号的功率谱。 3.4 卷积特性( The Convolution Property ) 若 则 说明：该特性提供了对LTI系统进行频域分析 的理论基础。 即是系统的频率特性。 例:求和特性的证明 3.3 相乘性质（The Multiplication Property) 如果 则 由于 和 都是以 为周期的， 因此上述卷积称为周期卷积。 例: 3.6 傅里叶变换的性质及基本变换对列表 （自学） 3.7 对偶性（Duality） 由于 本身也是以N为周期的序列，当然也可以 将其展开成DFS形式。 一.DFS的对偶 即:或 即: 利用对偶性可以很方便的将DFS在时域得到的 性质，通过对偶得到频域相应的性质。 这表明： 序列 的DFS系数就是 例1: 从时移到频移 利用时移性质有: 由对偶性有: 频移特性 例2:由卷积特性到相乘特性 由时域卷积性质: 由对偶性: 时域相乘性质 DFS的卷积特性 二. DTFT与CFS间的对偶 由知是一个以 为周期的连续函数, 如果在时域构造一个 以 为周期的连续时间信号 则可以将 其表示为CFS形式: 由DTFT有： 利用这一对偶关系，可以将DTFT的若干特性 对偶到CFS中去；或者反之。 比较和的表达式可以看出 这表明： 若 则 例: 从CFS的时域微分到DTFT的频域微分 CFS的时域微分特性 DTFT的频域微分特性 若则 例: 从CFS的卷积特性到DTFT的相乘特性 再由对偶性： 由CFS的卷积特性 DTFT的相乘特性 可以将对偶关系归纳为如下图表: 时域的连续性 可以看出：信号在时域的特性和在频域的 特性之间存在以下对应关系： 时域的周期性 时域的离散性 时域的非周期性 频域的离散性 频域的连续性 频域的周期性 频域的非周期性 3.8 由LCCDE表征的系统 相当广泛而有用的一类离散时间LTI系统可以 由一个线性常系数差分方程（LCCDE）来表征: 一. 由LCCDE描述的系统的频率响应: 进而对 做变换而求得 。 方法一:可以从求解 时的差分方程得到 Systems Characterized by Linear Constant- Coefficient Difference Equations 方法二: 可以通过求出 时方程的解而 因为 是LTI系统的特征函数,得到 此时的 。 方法三: 对方程两边进行DTFT变换，可得到: 可见 是一个有理函数。当需要得到 时, 往往是先从方程得到 进而通过反变 换得到 。 二.系统的频率响应: 刻画了LTI系统的频域特征，它是系 统单位脉冲响应的傅里叶变换。 三.由方框图描述的系统: 这说明:稳定系统可以由其频率响应来描述。 由 所表征的系统应该是稳定系统。 DD 如果 ，则 存在。 但并非所有的LTI系统都一定存在频率响应。 通过对图中两个加法器的输出列方程可得到: 由上式可得： 四. LTI系统的频域分析方法: 2. 根据系统的描述，求得系统的频率响应 。 1. 对输入信号做傅里叶变换，求得 。 3. 根据卷积特性得到 。 4. 对 做傅里叶反变换得到系统的响应 。 做傅里叶变换或反变换的主要方法是部分分式 展开、利用傅里叶变换的性质和常用的变换对。 3.9 小结 Summary v通过对DTFT性质的讨论，揭示了离散时间信号 时域与频域特性的关系。不仅看到有许多性质在 CTFT中都有相对应的结论，而且它们也存在一些 重要的差别，例如DTFT总是以2为周期的。 v对偶性的讨论为进一步认识连续时间信号、离 散时间信号、周期信号与非周期信号频域描述的几 种工具之间的内在联系，提供了重要的理论根据。 深入理解并恰当运用对偶性，对深刻掌握CFS、 DFS、CTFT、DTFT的本质关系有很大帮助。 v通过卷积特性的讨论，对LTI系统建立了频域 分析的方法。同样地，相乘特性的存在则为离散 时