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文档简介

第二章 三、 收敛数列的性质 1. 唯一性 2. 有界性 3. 保号性、保序性 4. 收敛数列与其子列的关系 三、 收敛数列的性质. 1. 唯一性 定理1.1 ( 收敛数列极限的唯一性) 即若 则必有 若极限 则极限唯一. ( 用反证法) 及且 取因 N1 N+, 使当 n N1 时, 假设 即当 n N1 时, 从而 使当 n N1 时, 证法1 同理, 因 故 N2 N+, 使当 n N2 时, 有 从而 使当 n N2 时, 有 从而 使当 n N1 时, 则当 n N 时, 矛盾！故假设不真 ! 2. 有界性 例如:有界 无界 即若 使(n =1,2,). 定理2.2 (收敛数列的有界性) 收敛的数列必定有界. 证 设 取则当时, 从而有 取 则有 即收敛数列必有界. 有 注有界性是数列收敛的必要条件， 但不是充分条件. 收敛 有界 关系： 例如,虽有界，但不收敛 .数列 推论 无界数列必发散. 使当n N 时，恒有 (1) 若 时, 有 3. 保号性、保序性 证（1）： 取 因故存在 N1 , 使当 n N1 时, 从而 当 n N1 时, 从而 同理, 因故存在 N2 , 使当 n N2 时, 有 则当 n N 时, 便有 与已知矛盾, 于是定理得证. 当 n N1 时, 推论： (收敛数列的保号性) (1) 若 则使当n N 时， ( 0 , 取 证 (1) (2) 用反证法证明. 注 如： 4. 收敛数列与其子数列的关系 (1) 子数列的概念 称为数列 xn 的一个子数列(或子列)。 例如, 从数列中抽出所有的偶数项 是其子数列. 它的第k 项是 组成的数列： (2) 收敛数列与其子数列的关系 结论：（1)： 也收敛，且 都收敛于a （2)： 注 定理 1 某收敛 例如， 但 发散.
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