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复习知识点： h（t） h n 1 本章的主要内容: v 连续时间傅里叶变换; v 傅里叶级数与傅里叶变换之间的关系; v 傅里叶变换的性质; v 系统的频率响应; 第四章 连续时间傅里叶变换 The continuous time Fourier Transform 2 4.0引言 在工程应用中有相当广泛的信号是非 周期信号，本章要解决的问题有两个： 1. 对非周期信号应该如何进行分解？ 2. 什么是非周期信号的频谱表示？ 3 在时域可以看到： 周期信号-非周期信号 反过来： 非周期信号-周期信号 周期延拓 我们把非周期信号看成是周期信号在周 期趋于无穷时的极限，从而考查连续时间 傅里叶级数在T趋于无穷时的变化，就应该 能够得到对非周期信号的频域表示方法。 周期趋于无穷示意 动画 周期到非周期 动画 4 a b (a)(b) 0 0 一.从傅里叶级数到傅里叶变换 周期矩形脉冲，当 -频谱的幅度 ； -谱线间隔 ; 的包络不变。 4.1 非周期信号的表示：连续时间傅里叶变换 Representation of nonperiodic signals-CFT 频谱系数为： 5 6 周期性矩形脉冲信号将演变成 为非周期的单个矩形脉冲信号. 考查 的变化:它在 时可以是有限 的. :周期性矩形脉冲信号 :等于一个周期内的 ，具有有限持续期 7 如果令 则有 与周期信号傅里叶级数相比，这表明周 期信号的频谱就是与它相对应的非周期 信号频谱的样本. 又 非周期信号的傅里 叶变换 非周期信号的频谱 8 根据傅里叶级数表示： 于是有： 当 时: 9 也叫作x(t)的频谱。 10 周期信号的频谱正比于非周 期信号频谱的抽样； 而非周期信号的频谱是周期 信号频谱( )的包络。 上边两式称为傅里叶变换对 11 二、傅里叶变换的收敛 既然傅里叶变换的引出是从周期信号的傅里 叶级数表示讨论周期趋于无穷时的极限而来的， 傅里叶变换的收敛问题就应该和傅里叶级数的收 敛相一致。 也有相应的两组条件： 这表明所有能量有限的信号其傅里叶变换一定存在。 2 Dirichlet 条件 a. 绝对可积条件 1 若则 存在 12 b. 在任何有限区间内， 只有有限个极值点，且 极值有限。 c. 在任何有限区间内， 只有有限个第一类间断点。 这些条件只是傅里叶变换存在的充分条件， 这两组条件并不等价。 和周期信号的情况一样，当 的傅里叶变 换存在，其傅里叶变换在 的连续处收敛于信 号本身,在间断点处收敛于左右极限的平均值， 在间断点附近会产生Gibbs现像。 13 三 常用信号的傅里叶变换： 1.单边指数信号： 0 1 0 14 2.双边指数信号： 我们看到:实偶信号的傅里叶变换是实偶函数,此时可以 用一幅图表示信号的频谱。 对此例, 1 0 15 这表明 中包括了所有的频率成分,所有频 率分量的幅度、相位都相同.因此单位冲激响应 才能完全描述一个LTI系统的特性， 才在信号 与系统分析中具有如此重要的意义 3.单位冲激信号： 0 0 1 16 4.矩形脉冲信号: 1 1 0 0 0 将 中的 代之以 再乘以 ,即是相应周期信 号的频谱 17 5. 1 0 (具有此频率特性的系 统称为理想低通滤波器 ) 1 0 0 和矩形脉冲情况相比,可以发现信号在时域和频 域间存在一种对偶关系（如下图所示）。 18 与上例对偶的图如下: 19 同时可以看到,信号在时域和频域之间有一种 相反的关系,即信号在时域脉冲越窄,则其频谱主 瓣越宽,反之亦然。 由例五可以想到，如果 ， 将趋向 于一个冲激。 方波变成到冲激,傅立叶变换的变化 动画 20 4.2周期信号的傅里叶变换 Fourier Transform of Periodic Signals 到此为止,周期信号用傅里叶级数表示,非周期信号 用傅里叶变换表示。在涉及周期信号通过LTI系统时, 会 给分析带来不便.由于周期信号不满足Dirichlet 条件, 因而不能直接从定义出发,建立其傅里叶变换表示。 21 于是当周期信号表示为傅里叶级数时 就有 这表明,周期信号的傅里叶变换由一系列冲激组 成,每一个冲激分别位于信号各次谐波的频率处,其 强度正比于傅里叶级数系数 。 例1： 22 2. 3. 23 说明：在时域周期为T的周期冲激串的傅里叶变换在频域是 一个周期为 的周期冲击串。 24 25 周期信号的傅里叶变换存在条件： n周期信号不满足绝对可积条件。 n引入冲激信号后，周期信号的傅里叶变换 是存在的。 n周期信号的频谱是离散的，其频谱密度， 即傅里叶变换是一系列冲激。 26 27 4.3 连续时间傅里叶变换的性质 讨论连续时间傅里叶变换的性质,旨在通过这些 性质揭示信号时域特性与频域特性之间的关系,同时 掌握和运用这些性质可以简化傅里叶变换对的求取 。 28 29 30 31 32 表明 是纯虚函数 表明 是奇函数 若实函数则有 33 例:求 的频谱: 1/2 0 -1/2 1/2 0 1 0 34 35 4.时域微分与积分 differential & integral 若 则(可将微分运算转变为代数运算) (将两边对 微分即得该性质 ) 由时域积分特性从 也可得到: （时域积分特性） 36 37 5.时域和频域的尺度变换 Scaling 若则 当 时,有 尺度变换特性表明：信号如果在时域扩展 a 倍 ，则其带宽相应压缩 a 倍，反之,信号在时域中压缩 a倍，则其带宽相应扩展a 倍。其含义不难理解：信 号的波形在时域中压缩a倍，即信号随时间变化加快 a倍，所以它包含的频率分量增加a倍，也就是说频 谱展宽a倍。 从理论上证明了时域与频域的相反关系。 38 时域中的压缩（扩展）等于频域中的扩展（压缩） 39 40 41 42 43 频域微分特性 44 45 46 7. 帕斯瓦尔定理 47 例题4.14 48 49 h（t） h n 50 4.4 卷积性质 证明： 一. 时域卷积： 51 52 53 鉴于 与 是一一对应的，因而LTI系统可以 由其频率响应完全表征。由于并非任何系统的 都存在，因此用频率响应表征系统时，一般都限于对 稳定系统。 二. 系统互联时的频率响应 : 1. 级联 因为 所以 54 2.并联: 因为 所以 + 三. LTI系统的频域分析法: 根据卷积特性,可以对LTI系统进行频域分析 , 其过程为 1. 由 2. 根据系统的描述，求出 3. 4. 见例4.15，4.16，4.17，4.18(滤波器理解),4.19 55 例4.18 频率选择滤波器 56 57 4.5 相乘性质: (调制性质) 证明: 58 两个信号在时域相乘，可以看成是由一个信 号控制另一个信号的幅度，这就是幅度调制。其 中一个信号称为载波信号，另一个是调制信号。 59 调制原理与频分复用 1、调制 将信号的频谱函数搬移到任何所需的较高频段上 的过程。 2、解调 将已调信号恢复成原来的调制信号的过程。 3、频分复用(Frequency Division Multiply) 就是以频段分割的方法在一个信道内实现多路通 信的传输体制。 复用：在一个信道上传输多路信号。 频分复用 （FDM） 时分复用 （TDM） 码分复用（码分多址） （CDMA） 波分复用 （WDM） 60 正弦幅度调制等效于在频域将调制信号的频谱搬移到载频位置。 61 62 63 64 65 4.6 傅里叶变换性质与傅里叶变换对列表 66 67 68 69 70 71 4.7 由线性常系数微分方程表征的系统 linear & constant coefficient differential equation 72 设由上述 LCCDE描述的LTI系统的频率响应为 求解一个LTI系统的频率响应一般有两种方法： 73 对LCCDE两边进行傅里叶变换有： 由于 由于 是LTI系统的特征函数，当然有 时 ，系统的响应 ，表明在 时求解此时的LCCDE可以求得 。 第一种： 第二种： 74 即： 75 可见由LCCDE描述的LTI 系统其频率特性是一 个有理函数。由此可以看出，对由 LCCDE 描述的 LTI系统，当需要求得其 时，往往是由 反 变换得到的(比如时域分析时)。 对有理函数求傅里叶反变换通常采用部分分式 展开和利用常用变换对进行。 76 77 由微分方程所描述的系统，通过求频率响应可直接 求出其单位冲激响应，进而求出系统对特定输入的 响应。见例4.25 4.26 78 4.8 小 结 Summary 如何通过连续时间傅里叶变换将连续时间信号( 包括周期、非周期)分解为复指数信号分量的线 性组合。 2. 通过讨论傅里叶变换的性质，揭示了信号时域 特性与频域特性的关系。卷积特性是LTI系统 频域分析方法的