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数学建模讲义 第4章 线性规划模型 -基本模型 1 优化模型 l优化：在一定条件下，使目标最大的决 策。 l优化问题是经常遇到的问题，如：结构 设计，资源分配，生产计划，运输方案 等。 l全国大学生数模竞赛题一半以上与优化 有关，并且需用软件求解。 无约束优化 l给定一个函数f(x)，寻找x使得f(x)最小 ，其中x=(x1,x2,xn)。 l最优值出现在定义区间端点，不可导点 ，稳定点。 有约束优化 l如果f(x)和hi(x)可导，则可以用拉 格朗日方法化为无约束优化问题： 规划问题 l最优解在定义域的边界上达到。 l线性规划：目标和约束均为线性函数。 l非线性规划：目标和约束存在非线性函数 。 二次规划：目标为二次函数，约束为线性 l整数规划：决策变量为整数。 0-1规划：决策变量只为0或者是1 1桶 牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或 获利24元/公斤 获利16元/公斤 50桶牛奶 时间480小时 至多加工100公斤A1 制订生产计划，使每天获利最大 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少? 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元? A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划？ 每天： 例：加工奶制品的生产计划 1桶 牛奶 3公斤A1 12小时 8小时 4公斤A2 或 获利24元/公斤 获利16元/公斤 x1桶牛奶生产A1 x2桶牛奶生产A2 获利 243x1 获利 164 x2 原料供应 劳动时间 加工能力 决策变量 目标函数 每天获利 约束条件 非负约束 线性 规划 模型 (LP) 时间480小时 至多加工100公斤A1 50桶牛奶 每天 模型分析与假设 比 例 性 可 加 性 连续性 xi对目标函数的“贡 献”与xi取值成正比 xi对约束条件的“贡 献”与xi取值成正比 xi对目标函数的“贡 献”与xj取值无关 xi对约束条件的“贡 献”与xj取值无关 xi取值连续 A1,A2每公斤的获利是与各 自产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与各自产量无关的常数 A1,A2每公斤的获利是与相 互产量无关的常数 每桶牛奶加工出A1,A2的数量和 时间是与相互产量无关的常数 加工A1,A2的牛奶桶数是实数 线性规划模型 模型求解 图解法 x1 x2 0 A B C D l1 l2 l3 l4 l5 约 束 条 件 目标 函数 Z=0 Z=2400 Z=3600 z=c (常数) 等值线 c 在B(20,30)点得到最优解 目标函数和约束条件是线性函数 可行域为直线段围成的凸多边形 目标函数的等值线为直线 最优解一定在凸多边 形的某个顶点取得。 模型求解 软件实现 LINGO 8.0 max=72*x1+64*x2; x1+x2Solve 20桶牛奶生产A1, 30桶生产A2，利润3360元。 结果解释 OBJECTIVE FUNCTION VALUE: 3360.000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 20.000000 0.000000 X2 30.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 1 3360.000 1.000000 2 0.000000 48.00000 3 0.000000 2.000000 4 40.00000 0.000000 原料无剩余 时间无剩余 加工能力剩余40 max=72*x1+64*x2; x1+x2Options-General Solver- Dual Computations: Prices ”结束。 l 变量以字母开头，不能超过8个字符。 l 变量名不区分大小写（包括关键字）。 l 目标函数用min=3*x1+2*x2或max=3*x1+2*x2的格 式表示。 l “!”后为注释。 l 变量界定函数实现对变量取值范围的附加限制，共 4种： lbin(x) 限制x为0或1 lbnd(L,x,U) 限制LxU lfree(x) 取消对变量x的默认下界为0的限制，即x可 以取任意实数 lgin(x) 限制x为整数 实验 l具体题目见实验指导” Lingo求解线性 规划问题.doc”。 l按照实验报告的格式，特别是要有结果 分析。 l交作业时注意邮件主题和文件名的命名 格式！ 论文作业 l考虑如下的在线DVD租赁问题。顾客缴纳一定数 量的月费成为会员，订购DVD租赁服务。会员对 哪些DVD有兴趣，只要在线提交订单，网站就会 通过快递的方式尽可能满足要求。会员提交的订 单包括多张DVD，这些DVD是基于其偏爱程度排 序的。网站会根据手头现有的DVD数量和会员的 订单进行分发。每个会员每个月租赁次数不得超 过2次，每次获得3张DVD。会员看完3张DVD之后 ，只需要将DVD放进网站提供的信封里寄回（邮 费由网站承担），就可以继续下次租赁。请考虑 以下问题： l表中列出了网站手上100种DVD的现有张数和当前 需要处理的1000位会员的在线订单，如何对这些 DVD进行分配，才能使会员获得最大的满意度？ 请具体列出前30位会员（即C0001C0030）分别获 得哪些DVD。 现有DVD张数和当前需要处理的会员的在线订 单 (见B2005.xls) DVD编号D001D002D003D004 DVD现有数量15351520 会员在 线订 单 C00011000 C00020000 C00