《Ch2一元微分学》PPT课件.ppt

公共数学教研室李继根 导数的概念 导数的计算 微分 洛必达法则 利用导数研究函数 第二章 一元微分学 公共数学教研室李继根 1 导数 -函数的局部变化率 一、从切线问题说起 圆的切线是“与圆仅有一个交点的直 线”。此定义可以推广到椭圆。 问题： 对于一般的曲线,如何定 义其在一点的切线呢？ 具体地说： 1. 如何定义切线； 2. 如何求出切线斜率。 公共数学教研室李继根 (切线的一般定义)点 为曲线 上一定点,过点 作直线 交曲线于点 ，斜率为 即 时，可见割线趋向 于一条直线,此即切线. 当点 沿曲线趋向于点 因此切线为割线的极限位置. 定义1 公共数学教研室李继根 二、导数的定义 在点 （导数的定义）对于函数 在点 的 自变量的增量 以及相应地的因变量的增量 定义2 如果函数的局部变化率 有极限，则称函数 在点 可导可导，称此极限为函数 在点 的导数导数，记为 ；否则称 在点 不可导。 不可导。 公共数学教研室李继根 根据导数的定义， 令 显然 时 因此得到导数定义的等价形式 公共数学教研室李继根 例1 已知 存在，求 解： 原式 = 公共数学教研室李继根 例2 用导数定义证明函数 的导（函）数导（函）数为 证明： 公共数学教研室李继根 例3 用导数定义证明函数 的导（函）数导（函）数为 证明： 时 公共数学教研室李继根 例4 用导数定义证明函数 的导（函）数导（函）数为 证明： 时 公共数学教研室李继根 几个基本初等函数的求导公式 公共数学教研室李继根 三、导数的几何意义 切线的斜率： 切线方程： 法线方程： 思考：思考： 或 时切线/法线是什么？ 公共数学教研室李继根 求曲线 在点 处的法线方程。 解： 所求法线方程为 例5 公共数学教研室李继根 解： 例6 已知直线 与曲线 上点 处的切线平行，求点 的坐标。 已知直线 的斜率为 设点 ，则 所以所求点的坐标为 因此 公共数学教研室李继根 四、左右导数及导数与连续的关系 右导数右导数 左导数左导数 定理1（可导与左、右导数的关系） 在点 可导的充要条件是函数 在 该点的左、右导数 都存在且相等。 公共数学教研室李继根 证明： 定理2的逆命题不成立，即函数的连续点不一 定是可导点。 注意： 定理2（可导与连续的关系） 在点 可导的必要条件是函数 在 该点连续。 公共数学教研室李继根 解： 例7讨论 在 处的可导性 。 所以函数在 处不可导。 公共数学教研室李继根 2 导数的计算 一、导数的四则运算法则 定理1 （导数的四则运算）如果 都存 在，则 公共数学教研室李继根 推论 注意： 公共数学教研室李继根 例 1 公共数学教研室李继根 基本初等函数的求导公式（续） 公共数学教研室李继根 例 2 公共数学教研室李继根 分析:本题也可以直接使用商的求导法则,但注意到 函数的特点，将函数恒等变形恒等变形为幂函数，则更简单. 例 3 已知 ，求 公共数学教研室李继根 定理2 （链式法则）如果函数 在 可导 ，而函数 在对应的点 可导，则复合函 数 在点 也可导，并且 二、复合函数的求导法则 公共数学教研室李继根 链式法则的证明: 令 则 从而 即 公共数学教研室李继根 因此 链式法则的证明（续）: 公共数学教研室李继根 基本初等函数的求导公式的推广形式 公共数学教研室李继根 基本初等函数的求导公式的推广形式（续） 公共数学教研室李继根 意味着 例如 注意推广形式中的“三位一体”现象，即 公共数学教研室李继根 例 4 例 5 已知 ，求 两层 模型法 公共数学教研室李继根 例6 例7 已知 ，求 公共数学教研室李继根 例8 先加减，再乘 除，最后复合 已知 ，求 公共数学教研室李继根 幂指函数 例9 已知 ，求 公共数学教研室李继根 抽象函数 例 10已知 且 可导，求 解： 公共数学教研室李继根 求出这个函数的过程称之为隐函数的显化 有时方程虽然确定了相应的函数，但“云深不知处”， 很难（甚至是不可能）将隐函数显化 三、隐函数的导数 例如 就无法显化。 问题：问题：能否绕开函数的显化来求隐函数的导数？ 已知方程 确定函数 公共数学教研室李继根 例11 已知方程 确定函数 求 分析：方程两边对 求导，注意到 ，因 此可以使用复合函数的链式法则来求导。 解： 方程两边取对数，并化简，得 两边对 求导，则 公共数学教研室李继根 公共数学教研室李继根 例12 已知函数 ，求 分析：将已知函数转化为容易求导的等价方程 解： 两边对 求导，则 即 所以 公共数学教研室李继根 例13 求椭圆 在点 处的切线方程。 从而 所以 切线方程为 解： 两边对 求导，则 公共数学教研室李继根 例14已知函数 ，求 解： 方程两边取对数，并化简，得 对数求 导法 两边对 求导，则 公共数学教研室李继根 四、高阶导数 对于函数 ，其导函数 在点 的导数 称为函数 在点 的二阶导数二阶导数，记为 类似地，函数 在点 的三阶导数三阶导数为 公共数学教研室李继根 证明函数 满足微分方程微分方程 例15 证明： 所以 公共数学教研室李继根 例16 已知函数 ，求 解： 公共数学教研室李继根 一般地，对于函数 ，其 阶导函数 在点 的导数 称为函数 在点 的 阶导数阶导数，记为 公共数学教研室李继根 例17 已知函数 ，求 解： 公共数学教研室李继根 例 18 解： 已知函数 ，求 公共数学教研室李继根 3 微分 一、微分的定义 面积 面积改变量 引例 有一正方形钢板，边长为 ，面积为 加热后边长 公共数学教研室李继根 对于函数 ，存在与自变量的 增量 无关的常数 ，使得因变量的增量满足 则称函数 在点 可微可微，其微分微分为 即 或 定义1 说明 微分 是自变量的增量 的线性函数 公共数学教研室李继根 定理2（可导与可微的关系） 在点 可微的充要条件是函数 在 点 可导，并且 。 说明 微分的计算公式微分的计算公式 令 则 公共数学教研室李继根 解： 例 1 已知 ，求 例2 已知方程 确定函数 求 解： 方程两边对 求导，得 所以 公共数学教研室李继根 二、微分的几何意义 如图可知, 几何意义 : 取曲线上点 及点 为点处的切线, 为曲线在该点处的切线的纵坐标的增量. 公共数学教研室李继根 三、微分的应用-近似计算 说明：在可微曲线的任意一个可微点附近, 可用曲 线在该点的切线近似代替曲线,即“以直代曲以直代曲”。 所以 令 则 公共数学教研室李继根 解： 例 3 求 的近似值. 令取 ，则 所以 即 公共数学教研室李继根 前两种是基本的，后五种都可以前两种是基本的，后五种都可以转化转化为前两种为前两种 七种不定式不定式： 这里 表示无穷小， 表示无穷大。 4 洛必达法则-计算极限的高级方法 为什么不定式只有7种?思考：思考： 公共数学教研室李继根 转化方式 公共数学教研室李继根 定理1（洛必达法则 I ） 函数 和 满足 （1） 在点 的某邻域内处处可导； 1、 型不定式 （2） ； （3） 极限 或 。 则 公共数学教研室李继根 注意： 自变量的趋限过程可以是以下六种中任何 一种： 但自变量的趋限过程不能改成第七种： ？！ 公共数学教研室李继根 例 2 洛必达 例 1 洛必达 公共数学教研室李继根 例 3 解法一： 原式 洛必达 解法二： 原式 洛必达 公共数学教研室李继根 例 4 解法一： 原式 洛必达 解法二： 令 ，则 原式 公共数学教研室李继根 例5 洛必达 公共数学教研室李继根 定理2（洛必达法则 II ） 函数 和 满足 （1） 在点 的某邻域内处处可导； 2、 型不定式 （2） ； （3） 极限 或 。 则 公共数学教研室李继根 注意： 同样地，自变量的趋限过程可以是以下六 种中任何一种： 但自变量的趋限过程不能改成第七种： 公共数学教研室李继根 例 6 洛必达 公共数学教研室李继根 例 7 例 8 洛必达 洛必达 洛必达 洛必达 公共数学教研室李继根 例 9 类比无穷小的比较，从趋向于无穷大的速度看 ，幂函数比对数函数“跑的快”，指数函数比幂 函数“跑的快”！ 洛必达 公共数学教研室李继根 定理3（幂指函数的不定式 I ） 函数 和 满足 （1） 在点 的某邻域内处处可导； （2） ； 则 3、其他不定式 公共数学教研室李继根 定理4（幂指函数的不定式 II ） 函数 和 满足 （1） 在点 的某邻域内处处可导； （2） ； 则 这个结论在第一章已经见过了。 公共数学教研室李继根 注意： 同样地，自变量的趋限过程可以是以下六 种中任何一种： 但自变量的趋限过程不能改成第七种： 公共数学教研室李继根 例 10 洛必达 公共数学教研室李继根 例 11 洛必达 公共数学教研室李继根 例 12 洛必达 公共数学教研室李继根 例 13 解法一： 原式 洛必达 公共数学教研室李继根 例 13 解法二： 原式 公共数学教研室李继根 例 14 洛必达 公共数学教研室李继根 4、几点注意 (1). 洛必达法则虽然是“高等”的方法，但并不是 万能的，初等的求极限的技巧和方法(主要是等价 无穷小替换和极限四则运算法则)仍有用武之地。 下面两例就无法使用洛必达法则： 公共数学教研室李继根 (2)、求极限的主要问题是综合应用各种方法和技综合应用各种方法和技 巧巧，尽可能以最简捷的步骤给出问题的答案。求 导是“手段”, “目的”是求极限。切记：不能不能“ “炫耀炫耀 武力武力” ”，一味求导，一味求导。 (3)、每次使用洛必达法则之前和之后都要注意 整理表达式整理表达式，以便继续使用法则. (4)、每次使用洛必达法则之前务必要判断待求 极限是否是符合要求的两种待定型。 公共数学教研室李继根 5 利用导数研究函数(的性质) 单调递增函数单调递减函数 一. 函数的单调性 公共数学教研室李继根 说明 (1) 对于无穷区间，结论也成立 (2) 当导函数 仅在该区间内有限个点处为 零时结论也成立 定理1（函数单调性的判别法，即充分条件） 在点 可导，且导函数 不变号。 （1）若 ，则函数 在区间 内 是单调递增的； （2）若 ，则函数 在区间 内 是单调递减的。 公共数学教研室李继根 得驻点驻点 。 求函数 的单调区间。 例 1 解: 当 或 时， 所以函数 在区间 及 内是单 调递增的;在区间 内是单调递减的。 导数为0的 点称为函 数的驻点驻点. 令 当 时， 公共数学教研室李继根 求函数 的单调区间。 例2 解: 又 时 不存在。得驻点驻点 所以函数 在区间 及 内是单调 递增的;在区间 及 内是单调递减的。 公共数学教研室李继根 例 3 证明： 解: 则 得驻点驻点 显然 时等号成立。 令 （1） 当 时 ，从而函数在区 间 内是单调递减的。所以 即 （2） 当 时 ，从而函数在区 间 内是单调递增的。所以 即 公共数学教研室李继根 二. 函数的极值 （极值的定义）对于函数 在点 的 某个邻域内的任何一点 ，都有 定义1 则称 为函数 的极大值极大值（极小值极小值）， 为函数 的极大值点极大值点（极小值点极小值点）。 公共数学教研室李继根 极大点 极小点 注意: (1) 极值是局部概念，最值是整体概念； (2) 极值点肯定不会是端点； (3) 极小值可能会大于极大值； (4) 区间内的最值点必为极值点。 公共数学教研室李继根 定理2 （极值的必要条件）可导的极值点一定是驻点。 即： 若 存在，且 是极值点，则 。 注意： （1）定理2的逆命题不成立。即驻点未必是极值点。 （2）不可导的点也有可能是极值点。 （3）定理2说明驻点和不可导的点都是可能的极值点。 公共数学教研室李继根 定理3 （极值的一阶充分条件） 两侧导函数异号的可能的极值点必是极值点。 即： 设函数 在点 的某邻域内处处可导，并且 ，或函数 在点 不可导但连续，那么 （1）若 时 ， 时 ， 则点 为函数的极小值点。 （2）若 时 ， 时 ， 则点 为函数的极大值点。 公共数学教研室李继根 定理4 （极值的二阶充分条件） 二阶函数值不为零的驻点必是极值点。 即： 设函数 在点 存在二阶导数，并且 则：（1） 时点 为函数 的极大 值点。 （2） 时点 为函数 的极大值点 。 注意 对于二阶导数值为零的驻点，需要使用其他的 方法来判定该点是否为函数的极值点。 公共数学教研室李继根 解: 令 ，得 内的驻点 例 5 求函数 在 内 的极值。 分析：此函数的二阶导数比较容易求，而且此函数 没有不可导点，所以用二阶判别法。 公共数学教研室李继根 所以 是函数的极大值点，极大值为 因为 而 是函数的极小值点，极小值为 公共数学教研室李继根 解: 求函数 的极值。 例 6 分析：此函数的二阶导数比较难求，且此函数有不 可导点，所以用一阶判别法 极大 值 不存 在 不存 在 极小 值 极小 值 又 时 不存在。 得驻点驻点 公共数学教研室李继根 所以 是函数的极小值点，极小值为 而 是函数的极大值点，极大值为 公共数学教研室李继根 解: 令 分析： 虽易求二阶导数，但无法用二阶判别法解出，故用 一阶判别法。 求函数 的极值。 例 7 得驻点驻点 公共数学教研室李继根 极小 值 非极 值 非极 值 此函数没有极大值点和极大值。 所以 是函数的极小值点，极小值为 公共数学教研室李继根 三、函数的最值 1、闭区间上的连续函数的最值定理指出了连续函数 在闭区间上一定有一定有最大 值和最小值。如何求呢？ 步骤： （1）找出函数在指定区间内的所有可能的极值点 （驻点和不可导点）； （2）计算区间内所有可能的极值点的函数值，以 及端点的函数值； （3）比较计算出的函数值，其中最大（小）者就 是函数在该区间上的最大（小）值。 公共数学教研室李继根 解： 例 8 求函数 在闭区间 上 的最值。 令 ，得驻点 所以 是函数的最小值点，最小值为 是函数的最大值点，最大值为 公共数学教研室李继根 连续函数在开区间上是否一定有最大值和最小值呢 ？ 答案是：不一定。 可能既有最大值，又有最小值； 也可能只有最大值或只有最小值； 也可能既没有最大值也没有最小值。 2、最值的应用问题 请举例说明上述情况。 思考：