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文档简介

利用导数研究函数利用导数研究函数 的极值的极值 一、复习回顾 1. 函数 y=f (x)在点x1 、x2 、x3 、x4处的 函数值f (x1)、 f (x2)、 f (x3)、 f (x4)，与它们左右 近旁各点处的函数值，相比有什么特点? 观察图像： y xO ab y=f(x) x1 f (x1) x2 f(x2) x3 f(x3) x4 f(x4) 一、函数的极值定义 如果对X0附近的所有点X，都有f(x)f(x0), 则称函数f(x)在点X0处取极小值，记作y极小值= f(x0)；并把X0称 为函数f(x)的一个极小植点。 函数的极大值与极小值统称为极值.极大值点与极小 值点统称为极值点 已知 函数y=f(x)，设X0是定义域（a,b)内任一点， ab ba o a x0 b x y x x x x0 0 左侧左侧 x x0 0 x x0 0 右侧右侧 f f ( (x x) ) f f( (x x) ) o a x 0 b x y x x x x0 0 左侧左侧 x x0 0 x x0 0 右侧右侧 f f ( (x x ) ) f f( (x x) ) 增 f(x) 0 f(x) =0f(x) 0 左正右负为极大，右正左负为极小 观察与思考：极值与导数有何关系？ 问：1、图中有哪些极值点？ 2、函数极值点可以有多个吗？ 3、端点可能是极值点吗？ 4、极大值一定比极小值大么？ f (x)0 f (x)0 1、如果在x0附近的左侧f (x)0，右侧f (x)0， 则f (x0)是极小值； 已知函数f(x)在点x0处是连续的，且 f (x0)=0则 二、判断函数极值的方法 x2 导数为0的点不一定是极值点； 若X为极值点，则导数值一定为0 点评：可导函数 在点x0取得极值的充分必要条 件是且在点x0左侧和右侧， f (x) 异号。 例1、 下图是导函数 的图象, 试找出函数 的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点. a bx y x1 O x2x3 x4 x5 x6 求可导函数f(x)极值的 步骤： (2)求导数f (x)； (3)求方程f (x）=0的根； (4)把定义域划分为部分区间，并列成表格 检查f (x)在方程根左右的符号 如果左正右负（+ -）， 那么f(x)在这个根处取得极大值 如果左负右正（- +）， 那么f(x)在这个根处取得极小值； (1) 确定函数的定义域； 例2、求函数 的极值. 例3、已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c，当x=-1时取极 大值7；当x=3时取得极小值，求这个极小值及a、 b、c的值。 练习1、下图是导函数 的图象, 在标记的点中, 在 哪一点处 (1)导函数 有极大值? (2)导函数 有极小值? (3)函数 有极大值? (4)函数 有极小值? 2、已知函数 在 处取得极值。 （1）求函数 的解析
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