[经济学]《宏观经济学：原理与模型5》乘数与比较静态分析方法.doc

宏观经济学：原理与模型第二章 宏观经济活动的度量第四节 乘数归结与引子：从与的移动，引入乘数概念。前面的讨论中，已经看到：曲线或曲线的移动会引起均衡收入水平的变化；而且上述移动均是由于曲线方程中的某个参数，也就是所论经济系统的“外生变量”的变动所引致的。由此，引入专门的经济学概念乘数来描述之。一、乘数的一般定义（一）定义设为系统的内生变量（又称：决策变量），为系统的外生变量，若存在使得，则称为“乘数”。（二）全微分与增量定义中，为的全微分，而只是的另一种记法，即的增量。由可见，外生变量增加一单位引起内生变量（比如，均衡收入水平）增大的倍数就是。倍数，又称乘数（Multiplier）。（三）乘数的一个重要性质：乘数不少于以后我们遇到的乘数均不小于。外生变量的增大会使均衡收入水平成倍地扩大？答：是的。以一个简单的例子来观察乘数的作用过程与细节。（本段供同学自行阅读，即可形成直觉。）二、简单模型下乘数的作用过程与细节（一）条件（因）展开：数学的一个困惑是，常有可能因果倒置。除了不考虑别国的存在外，我们的简单模型还暂时假定，从而；再假定为外生变量，而（按现设），外生变量设为亿元。现在，如果由于某种原因，政府认为其购买应增加到亿元，即政府购买增量亿元，这对有何影响？（二）乘数的作用过程1、第一时期，政府购买的增加亿元就是对最终产品的需求量增加亿元，由此使参与生产这些最终产品的人们的收入增加亿元。即政府购买增加亿元直接导致整个经济系统收入水平增加亿元，记为亿元（）。事情并不到此为止。2、第二时期，当人们拿到这新增的亿元时会进行消费。这样，新增了一笔消费，其大小可按消费函数算得亿元。这亿元代表对最终产品的新需求量，由此使参与生产这些新需最终产品的人们的收入增加亿元，从而整个系统的收入水平又增加亿元，记为亿元（）。事情还远未到此为止。3、第三时期，得到这8亿元的人们又要进行消费。这样，又新增了一笔消费，其大小仍按消费函数可得亿元。这亿元代表对最终产品的又一轮的需求量，由此使参与生产这一轮所需最终产品的人们的收入增加亿元，从而使整个系统的收入水平又增加亿元，记为亿元（）。4、归结如此继续下去，政府新增的这笔购买（亿元）本身直接引起的收入增加（亿元）以及继而带动对最终产品需求和生产所引起的收入增加合计之和为：5、求得乘数我们看到了，增加的政府购买使均衡收入水平的增加量（）不只是限于这笔初始的政府购买增量，而是该初始增量的5倍！6、一般化我们不仅研究了乘数的作用过程，而且从中求得了乘数的大小。不过，我们有更一般的方法求得乘数。以下就介绍这一般的方法并去求得几个常见的乘数（仍囿于简单经济模型）。三、基于简单经济模型中的几个重要乘数（一）所基于的简单模型1、简单模型（这个简单模型一直用得着，要求直觉出来！）（1）形式1由前已知，描述简单模型的方程是： （2.15）（重点！）（2）形式2 （2.16）（重点！）2、模型说明其中，为计划的意愿投资，此时，在前面我们用的符号是，但为书写的方便今后改写成，希望不致引起混淆。现在我们来看看，如何利用描述系统的方程，比如式（2.15）（用式（2.16）也一样），去求得乘数。请注意：在简单模型中，与视作独立于的外生变量。（在下一章较复杂的更接近实际的模型中我们将改变对的这种假定。）（二）政府购买乘数（当为总额税，即常数时）1、乘数的一般求法前面我们已经用一个数字例子从乘数作用的过程中求得了政府购买乘数。一般地，更为方便的方法是利用式（2.15）直接求得乘数。对式（2.15）两边求全微分： （2.17）（重点！）2、一些说明（1）这里，即；（2）外生变量如果不变，则；注意，我们在考虑乘数时，只假定一个外生变量，即考察对象的变化引起多少倍的的变化，而假定其他外生变量维持原值（守衡）。（3）因为总额税，且在考察期它也不变，故也为。因而（4）结果所以，即所求乘数为。（5）算例前面的数字例子的乘数可马上由乘数公式求出：（6）乘数的性质注意到，该乘数必大于。（三）政府购买乘数（当时）1、条件现在讨论当税收函数为一般情况时的政府购买乘数。此时在式（2.16）中, 仍为。2、乘数由此可得：即，此时的乘数为。3、讨论注意到和，不难验证，该乘数。显然，当（从而）时的政府购买乘数是现在情况（）下的特例。（四）税率乘数1、条件现在假定，称为税率，它是独立于的外生变量。为求税率乘数（即在其他外生变量和不变的情况下，的变化使变化的倍数）。同样，对式（2.15）两边求全微分（注意先以代入），因和不变，即。2、得乘数即，税率乘数（乘数）为。3、结论不难发现，乘数是个负数。表明：与的变动方向是相反的。具体地，当税率提高（减少）时，均衡收入水平减少（提高）；反之则反是。第二章 思考题1、分别说出什么是：均衡收入，稳定性，节俭悖论，乘数。2、试讨论与，之间的关系。3、为、或时，分别说出在恒等式（2.10）中两端各项的具体意义。=附录：宏观经济学中的比较静态分析一、微分、全微分、偏微分、全导数（一）微分对于一元函数来说，的微分度量的是由于的很小变化引起的变化。 比如，对于，的微分可通过求关于的导数而得到，该导数度量由于的微小变化而引起的的变化与的微小变化之比率。 导数或变化率接着，用的一个特定变化乘以该比率，以求的变化。 微分或变量的改变量 = 由于的很小变化而引起的的变化率 的微小改变量例111如果，则有及微分2如果，则有及微分（二）全微分、偏微分对于两个或更多个自变量的多元函数，全微分度量的是由于每一个自变量的微小变化而引起的因变量的改变量如果，全微分的数学公式如下： (511)其中，和分别是关于和的偏导数，和是和的微小改变量即，全微分可以通过求函数关于每一个自变量的偏导数并代入上述公式求得例12 求全微分1已知： 将其代入公式，得到2已知：全微分是如果其中的一个自变量为常数，例如，则有全微分：偏微分度量的是：当假设另一个自变量保持不变时，一个自变量的微小变化所引起的因变量的改变（三）全导数现在我们研究这样一种情形：，而，即当和不是相互独立的变量时，的变化会通过函数对产生直接的影响，通过函数对产生间接的影响。正如图53中路径图所示当和非相互独立时，要想度量的变化对的影响，必须给出全导数的概念全导数是对的直接影响与通过对的间接影响之和即，全导数为 (512)例13 求全导数的另一方法：先求的全微分再将方程两边同除以 (在心里可以这样想).于是有由于，有例14 已知其中，关于的全导数为其中，和，代入上式有为了检验答案，将代入原函数得到关于的一元函数，然后求导数：所以，例15 全导数同样可以进行扩展以适用其他的函数表达式对于关于的全导数则变成：其中，代入上式再将代入上式二、比较静态分析经济学中的所谓比较静态分析（即人们熟悉的比较静态），是对经济模型的内生变量由于外生变量或参数的变化所引起的不同均衡值或最优值进行比较。经济学家可以利用比较静态分析方法进行经济变量间的影响程度估计，比如，可以估计消费者需求对于拟定的消费税、关税或补助金的反映程度，投资、政府支出或利率的变化对国民收入的影响等等。在数学本质上讲，比较静态分析的主要内容，其实就是求解某种适当的导数，并判断其代数符号。三、含有一个内生变量的比较静态特殊函数和一般函数均可用于比较静态分析。对于下面例1中的具体函数（即特殊函数）情形，所要求的导数既可以用显函数，也可以用隐函数形式来求；对于例2中的一般函数情形，则只能用隐函数一种形式求导数；当独立变量（内生变量）不只一个时，用类似的方式求偏导数即可。例1 假设一种商品的需求和供给由确定函数给出，用参数表示为这里，。均衡条件为代入上面的式子，求解均衡价格水平，可以得到 (132)现在利用比较静态分析，可以决定内生变量的均衡水平因单个外生变量()或五个参数中任何几个的变化而如何变化，比较静态分析只需要求出所要求的导数并判断它的符号。为了衡量均衡价格对收入变化的反应程度，我们从显函数(132)得出 (133)这意味着，在这个经济模型中，消费者收入的增加将导致商品的均衡价格的增加。由于参数的值是已知的，那么价格变化受收入的具体影响即可以估计出。比较静态同样可以很好地应用于隐函数。把131的全部项移到左边，则，或超额需求等于零，我们可以得到均衡条件的隐函数： (134)接着，利用隐函数求导法则求比较静态导数。假设，从(134)可知，和代入并简化，有比较静态也可以用来估计任何参数的变化对的影响。但是，由于它们仅描述需求和供给曲线的截距和斜率，因此，它们通常没有什么实际的经济意义。但是在其他某种例子中，如收入决定模型，参数通常有经济意义，而且存在它们本身的比较静态导数。例2 现假定一个一般模型，商品的供求只由一般函数给出： 均衡价格水平可由需求等于供给时得到：或者等价地，超额需求等于零， (135)这时，只能利用隐函数求导法则求比较静态导数，假定，由(135)，和代入， 根据供给定律，我们总是期望。如果商品是正常商品，那么且。代入上式，在正常商品情况下有如果商品是劣质品，但不是吉芬商品，那么且，因此；如果商品是吉芬商品，那么和，导数的符号不定，取决于分母的符号。例3假设一个两部门经济的收入决定模型，这个经济中，消费依赖于收入，投资是自控的，因此当时，产生均衡(a)求出均衡收入水平的显示表达式(b)利用比较静态估计自控投资的改变对均衡收入的影响(c)从隐函数找到同样的比较静态导数解：(a) 由 代入 (1313) (1314)(b)自控投资的变化对的影响是因为(c) 把(13. 13)式都移到左边，我们得到隐函数 (1315) 在通常假定下根据隐函数法则 这里和因此，四、含有多个内生变量的比较静态在含有多个内生变量的经济模型中，比较静态要求每一个内生变量都有惟一的均衡条件成立有个内生变量的系统一定有个均衡条件要想刻画某个外生变量对任何或所有内生变量的影响，首先求出每个均衡条件关于该外生变量的全导数，然后再联立求出所要求的偏导数如果函数有连续导数，且由所有函数的关于外生变量的偏导数组成的雅可比行列式不为零，则由隐函数定理：内生变量的最优值可以表示为外生变量的函数，而且比较静态导数可由克莱姆法则求得。例3 为了表示的简化，假定模型只有两个内生变量和两个外生变量，且为隐式广义函数，在函数中先列写内生变量，再列写外生变量，用分号把前者和后者分开（当然，模型可以很容易扩展到任意多个局内变量和任何多个局外变量，这里不必等于） 为求得系统关于外生变量的比较静态偏导数，首先求出两个函数关于的全导数用短横表示均衡值，代入、整理并用矩阵记号表示为假设所有函数有连续一阶和二阶导数，而且所有函数()的关于所有内生变量()的由全部一阶偏微分构成的雅可比行列式不等于零，即利用克莱姆法则求解关于的比较静态导数特别地，假定，则该比较静态导数为 (13.6)因此，为了求解比较静态导数，我们用向量替换的第一列，构造一个新矩阵，然后代入上式(136) 同样地， 用类似方法，可以得到关于的偏导数例4 假设产品市场(曲线)和货币市场(曲线)的均衡分别由下面式子给出 (137) (138)这里，=货币需求，=货币供给，=自控消费，=价格水平，它使成为货币实际供给而不是名义供给为了简化，让保持不变的变化对和的均衡水平的影响用比较静态分析说明如下：(a)求出均衡条件(137)、(138)关于所需的外生变量的导数，这里的外生变量是(b)整理并用矩阵形式表示 (c)接着，检验以确定雅可比行列式，使隐函数定理成立应用符号， 因此，所以隐函数定理的条件得到满足(d)通过用向量替换矩阵的第1列来构造一个新的矩阵，并代入(136)来求解一阶偏微分，.因此，即，自控消费的增加将导致收入的均衡水平的增加。(e)通过用向量替代的第二列构造，并代入(136)，求解第二个偏微分和即，的增加也将导致利率的均衡水平的增加。的改变对和影响请见下题例4（+）例4（+） 假定例4中模型利用比较静态分析，货币供应的变化对和的均衡水平的影响，要求是常量。解：求出关于的全导数，把它们设置为矩阵形式这里接着，构造一个新矩阵行列式，求解一阶微分。和即，货币供应的增加会导致收入的均衡水平的增加。对于，和即，的增加将导致均衡利率的下降。五、优化问题的比较静态经济学家除了关注模型的外生变量对内生变量均衡值的影响外，还经常对外生变量对优化问题的最优值的影响感兴趣。由于最优值是由一阶条件得到的，所以只要将比较静态技术应用到一阶条件上就能办到。而一阶条件是由一阶导数构成，可见优化问题的比较静态与二阶导数和海赛行列式有密切关系。例5 一个价格接受的公司有严格凹的生产函数给定=产品价格，=资本的租用率，=工资，它的利润函数是 为了得到一阶优化条件，如果我们求导数和，并把它们表示为隐函数，有这里，把一阶导数和赋值为利润函数的最优值通过这些一阶条件，我们可以利用如下的比较静态，决定外生变量的变化对内生变量的最优值的影响：(a)求出一阶条件关于任意一个外生变量的全导数，并写成大家所熟悉的矩阵形式。首先研究资本的租用率对内生变量的影响，并注意到一阶导数和都是和的函数，有或特殊地，设二阶充分条件满足，即，那么这里我们注意到，当从一阶优化条件的一阶微分求比较静态导数时，有，为了优化一个(22)系统，我们也要求(b) 因为，且假定一阶和二阶微分连续，则隐函数原理的条件成立，于是我们可以利用克莱姆法则来求得所有的导数这里，因为我们假定生产函数是严格凹的，意味着在整个定义域都有，我们也从微观经济学原理知道，追求利润最大化的公司仅在成本的边际投入生产率下降处进行生产因此在生产的最优水平点，同样地，我们有 为了确定这个比较静态导数的符号，需要知道交叉偏微分的符号，它表示资本变化对劳动力的边际生产率的影响如果假定它是正的，则分子的符号是负的所以，利率的增加将导致劳动力使用的下降，至于工资变化对，的影响，见下题。例6 返回到例5的模型，这里的一阶条件是 (a)用矩阵形式表示函数关于工资的全微分然后求出下列偏导数并注明其符号。(b) (c) 解：（a）(b)对于，的符号取决于的符号假定资本的边际生产率因劳动力的增加而增加，则，意味着资本的最优水平可能随着工资的增长而下降(c)对于，因