《初等解析函数》PPT课件.ppt

1 2-3 初等解析函数 一、指数函数 二、对数函数 三、幂函数 四、根式函数 五、三角函数和双曲函数 六* 、反三角函数和反双曲函数 2 1. 指数函数 定义 显然 为简便，常用下面记号 与指数函数符号一致 与Euler公式相一致 但也有不妥之处 3 定理 指数函数具有如下性质： 4 例 1 解 5 例 2 解 求出下列复数的辐角主值: 6 例 3 解 从而，有 7 因为多值函数的多值性是由辐角函数的多值性引起来的， 我们先研究辐角函数： 辐角函数Argz: 先来看一下使辐角函数为多值的原因。 对于确定的 ，若设 ，则 可取这些值: ，而能取 以外的那些 值即 的原因是:在复平面上存在一条从 出发绕原点连续变动一周后又能回到 的简单闭 曲线 因此，为使取不到 这些值,只须将复平面从原点起 沿正实轴剪开即可 8 定义 设函数f(z) 为多值函数,若当变点 z从起始点 出发绕 一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始 点 时,函数从一个枝变到另一个枝,则称a为函数 的 枝点 显然,当变点z 从起始点1 出绕一条包围原点 的简单闭 曲线按逆时针方向连续变动一周再回到起始点1时，Argz 从 （k确定为一整数） , 变到 ,依定义可 知，原点为函数Argz的一个枝点。 9 2. 对数函数 这样 或 因此 定义 10 11 例 4 解 注: 在实函数中, 负数无对数, 而复变数对数函 数是实对数函数的拓广. 12 例 5 解 13 解 14 15 对数函数的性质 对于某一固定分支, 有 16 3. 幂函数 注: 定义 17 例7 解 例8 解 18 注： 解 问题在什么地方？ 表达式？ 19 幂函数的解析性 它的各个分支在除去原点和负实轴的复平面 内解析, 20 4. 根式函数 定义 设 ，称满足 （ n为不小于2的正整数)的 为z的n次根式函数，或简称根式函数，记作 根式函数为多值函数,它不是解析函数. 对于每一个确定的 都有n个不同的 与之对应，即 有 k=0,1, ,n-1 根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n个 单值函数 21 称用来剪开复平面，从而使多值函数能分 出单值枝的割线（或割痕）为该多值函数的枝 割线由此可知, 复平面上从原点起始的正实 轴便是函数Argz, Lnz的枝割线. 同时,由枝割线所起的作用可知,在扩充复 平面上, 任意一条从原点起始伸向无穷远点的 射线都是它们的枝割线 22 由此可见: 一般而言，其支割线不是唯一的 ，而且支割线的形状可以是多种多样的 为确定起见，我们一般只选从原点起始的正 实轴或者负实轴为函数的枝割线. 根式函数的每个单值分枝在从原点起始沿 正实轴剪开的复平面上为解析函数. 23 5. 三角函数和双曲函数 将两式相加与相减, 得 下面把余弦函数和正弦函数的定义推广到自变 数取复值的情况. 24 25 26 为周期的周期函数. 27 正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函 数. 双曲正弦函数和双曲余弦函数在复平面内 也都是解析函数 28 一些常用的重要公式： 29 但与实函数完全不同的是：sin z, cos z 无界 30 例10 解 31 解 例11 32 例12 解 33 6 *.反三角函数和反双曲函数 两端取对数得 定义 ： 34 反正弦函数 反正切函数 35 解 例9. 36 本章主要内容 复 变 函 数 连续 初等解析函数 判 别 方 法 可导 解析 指数函数 对数函数 三角函数 双曲函数 幂 函 数 反三角函数 37 本章要注意的几点： 导数的概念 解析的充要条