定积分的概念与可积条.ppt

第七 章 定积分 1 定积分的概念和可积条件 2 定积分的基本性质 3 微积分基本定理 4 定积分的应用 1、给出了定积分的概念和可积条件。 2、给出了定积分的基本性质。 3、给出了微积分基本定理及求定积分的常用方法。 教学内容： 4、给出了定积分的应用。 教学重点: 变限函数与定积分的概念；求定积分的方法。 要求: 1、理解变限函数与定积分的定义。 2、熟练掌握求定积分的方法，并会应用微积分知识解决 实际问题。 3、了解达布（Darboux）和及可积条件。 本章内容、要求及重点 第一节 定积分的概念和可积 条件 一、问题的提出 二、定积分的定义 三、存在定理 四、几何意义 五、小结 a bx y o 实例1 （求曲边梯形的面积） 一、问题的提出 a bx y o a bx y o 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积 （四个小矩形）（九个小矩形） 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 播放 曲边梯形如图所示， 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 实例2 （求变速直线运动的路程） 思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值 （1）分割 部分路程值某时刻的速度 （2）求和 （3）取极限 路程的精确值 二、定积分的定义 定义 被积函数 被积表达式 积分变量 记为 积分上限 积分下限 积分和 注意： 定理1 定理2 三、存在定理 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积 的负值 四、定积分的几何意义 几何意义： 例1 利用定义计算定积分 解 例2 利用定义计算定积分 解 证明利用对数的性质得 极限运算与对数运算换序得 故 五、小结 定积分的实质：特殊和式的极限 定积分的思想和方法： 分割化整为零 求和积零为整 取极限精确值定积分 求近似以直（不变）代曲（变） 取极限 作业：P285 1(1);2 ;6. 思考题 将和式极限： 表示成定积分. 思考题解答 原式 练 习 题 练习题答案 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程，注意当分割加细时， 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 附：可积条件 一个函数究竟要满足何种条件，才能可积？这是本节 所要讨论的的主要问题。 一、可积的必要条件 1. 思路与方案: 思路: 鉴于积分和与分法和介点有关, 先简化积分和. 用相 应于分法的“最大”和“最小”的两个“积分和”去双逼一般的积 分和 , 即用极限的双逼原理考查积分和有极限, 且与分法 及介 点 无关的条件 。 方案: 定义上和 和下和 ，研究它们的性质和当 时有相同极限的充要条件 . 2. 达布和: 由达布和定义可知，达布和未必是积分和 .但达布 和由分法 唯一确定. 则显然有： 定理4说明，单调函数即使有无限多个间断