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第一节 微分法在几何上的应用 一、空间曲线的切线与法平面 二、 曲面的切平面与法线 三、 小结 设空间曲线的方程 一、空间曲线的切线与法平面 (1)式中的三个函数均可导. 割线 的方向向量为: 或者 对应于 考察割线趋近于极限位置切线的过程 割线 的方程为: 曲线在M处的切线的方向向量为 切线方程为 法平面：过M点且与切线垂直的平面. 例1 求曲线 在(1,1,1)点处的切线及 法平面方程。 解 故切线方程为 法平面方程 解 切线方程 例2 法平面方程 给出曲线的参数方程求切线及法平面方 程的步骤： （1）给出参数值求出对应的点；给出 点的坐标求出对应的参数。 （2）求切向量； （3）写出切线及法平面方程。 1.空间曲线方程为 法平面方程为 特殊地： 2.空间曲线方程为 切线方程为 法平面方程为 所求切线方程为 法平面方程为 设曲面方程为 曲线在M0处的切向量 在曲面上任取一条 通过点M0的曲线 二、曲面的切平面与法线 则 令 切平面方程为 则 两边关于 求导数并取 得 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法 向量. 法线方程为 曲面在M0处的法向量即 特殊地：空间曲面方程为 曲面在M处的切平面方程为 曲面在M处的法线方程为 令 切平面 上点的 竖坐标 的增量 因为曲面在M0处的切平面方程为 其中 解 切平面方程为 法线方程为 解令 切平面方程 法线方程 解 设 为曲面上的切点, 切平面方程为 依题意，切平面方程平行于已知平面，得 因为 是曲面上的切点， 所求切点为 满足曲面方程 切平面方程(1) 切平面方程(2) 所以 空间曲线的切线与法平面 曲面的切平面与法线 （当空间曲线方程为一般式时， 求切向量注意采用推导法） （求法向量的方向余弦时注意符号） 三、小结 思考题 思考题
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