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分 部 积 分 法 问题 解决思路利用两个函数乘积的求导法则. 分部积分公式 跳转 设函数uu(x)及vv(x)具有连续导数那么， 两个函数乘积的导数公式为 (u v)u v u v ， 移项得 u v (u v)u v 对这个等式两边求不定积分，得 这个公式称为分部积分公式 即 该公式还可以写为： 跳转 用法： 关键： 选择要得当， 一般说来，下列函数： 等等的不定积分要应用分部积分法。 第一换元法是分部积分的基础 如何选取 是问题的关键。 类型一： 若被积函数是幂函数和正(余)弦函数 或幂函数和指数函数的乘积,这里考虑设 幂函数为 , 使其降幂一次(假定幂指数 是正整数) 例1 求积分 解（一）令 解（二） 令 显然， 选择不当，积分更难进行. 练 习 例2 求积分 解: 例3 求积分 解 （再次使用分部积分法） 练 习 类型二： 若被积函数是幂函数和对数函数 的乘积，就考虑设对数函数为 . 例4 求积分 解 练 习 类型三： 若被积函数是幂函数和反三角函数 的乘积，就考虑设反三角函数为 . 例5 求积分 解令 例6 求积分 解 若被积函数是指数函数和三角函数的乘积， 设三角函数或指数函数是 ，都可以，但是切 记不要来回换，设的函数要统一，很可能会出 现循环，需要设所求得不定积分为一常数，解 方程求结果. 但是由于指数函数的特殊性，通常设三角 函数是 ，解题更加方便。 类型四： 例7 求积分 解 注意循环形式 说明: 也可设 为三角函数 , 但两次 所设类型必须一致 . 不定积分 形如 的选取可任意，但若连用两次分部积分法， 的选取前后要一致。 练 习 解 注意循环形式 解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 顺序, 前者为 后者为 例8. 求 解: 令, 则 原式 = 反: 反三角函数 对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数 例9. 求 解: 令, 则 原式 = 有些题，更多的是需要先运用第一、 第二换元法，才能运用分部积分法。 例10. 求 解: 令则 第二换元法+分部积分法 例11.求 解: 令则 原式 = 解 例12. 已 知 的一个原函数是 求 解: 说明: 此题若先求出再求积分反而复杂. 内容小结 分部积分公式 1. 使用原则 :易求出,易积分 2. 使用经验 : “反对幂指三” , 前 u 后 3. 题目类型 : 分部化简 ; 循环解出; 练 习 思考题 在接连几次应用分部积分公式时， 应注意什么？ 思考题解答 注意前后几次所选的 应为同类型函数. 例 第一次时若选 第二次时仍应选 求积分 1. 求 解: 原式
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