《函数的微分》PPT课件.ppt

问题的提出 实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量. 2.5 函数的微分 再例如, 既容易计算又是较好的近似值 问题:这个线性函数(改变量的主要部分)是否 所有函数的改变量都有?它是什么?如何求? 一、微分的定义 定义: 设函数y=f (x)在某区间I内有定义, x0及x0+x 在区间I内, 如果存在与x无关的常数A, 使得 y = f (x0+x) f (x0) = Ax + o(x) 成立, 则称函数函数y y= =f f ( (x x) )在点在点x x 0 0 处可处可微微, 并且称A A x x为函为函 数数y y= =f f ( (x x) )在点在点x x 0 0 处处相应于自变量增量相应于自变量增量 x x的微分的微分, 记作 d y, 即d y = Ax. 微分d y叫作函数增量y的线性主部微分的实质. 由定义知: (1) d y是自变量的改变量x的线性函数; (2) 当 时，yd y=o(x)是x的高阶无穷小; (3) 当A0时,当 时，y与d y是等价无穷小; 实际上 (4) A是与x无关的常数, 但与f (x0)和x0有关; (5) 当|x|很小时, yd y=Ax(线性主部). 二、可微的条件 定理: 函数f (x)在点x0处可微的充分必要条件是函 数f (x)在点x0处可导, 且d y = f (x0)x. 定理表明: 可导可微, 且f (x0)=A. 在f (x0)0的条件下, 当x0时, yd y, 且 y y d d y y既是既是 x x的的高阶无穷小高阶无穷小, , 又是又是d d y y的高阶无穷小的高阶无穷小. 因此d y 也是y的主要部分. 由于自变量对自己的导数等于1, 所以通常把自变 量的增量x称为自变量的微分, 记作d x, 即d x=x. 所以, dy=f (x)dx. 从而 即函数的微分函数的微分d d y y与与自变量的微分自变量的微分d d x x之商就等于该之商就等于该 函数的导数函数的导数, 因此导数也叫做“微商微商”. 三、微分的几何意义 M T ) P N 则y是曲线C上关于点M的纵 坐标的增量, 当|x|很小时, 在点M的附近用切线的增量近似代 替曲线的增量. 设曲线C的方程为y=f (x), 曲线C上的点M处有切线. MM点处的切线对应点点处的切线对应点MM的纵的纵 坐标的增量坐标的增量. . 而d d y y是是曲线曲线C C在在 四、微分的求法 求法: 计算函数的导数, 乘以自变量的微分. 1.基本初等函数的微分公式 2. 函数和、差、积、商的微分法则 3. 复合函数的微分法则 结论: 无论x是自变量还是中间变量, 函数 y=f (x) 的微分形式总有: 一阶微分形式 的不变性 例3: 例4: 例5: 例6: 例1: 例2: 1. 函数的近似计算 （3）计算 附近的函数值 （2）计算增量的函数值 即 (4) 在(3)式中取 ,且x 接近0,于是得 五、微分在近似计算中的应用 （1）计算增量 应用(4)式可得以下公式(下面都假定 是较小的数值) 举例例 计算 的近似值 六、小结 微分学所要解决的两类问题: 函数的变化率问题导数的概念 函数的增量问题微分的概念 求导数与微分的方法,叫做微分法. 导数与微分的联系: 可导可微 1. 函数f (x)在点x0处的导数是一个数值数值f f ( (x x 0 0 ); ); 而 函数f (x)在点x0处的微分dy=f (x0)x=f (x0)(xx0)是 x x或或x x的一个线性函数的一个线性函数. 2. 从几何意义上看,导数f (x0)是曲线 y=f (x)在点 M(x0,f(x0)处切线的斜率斜率; 而微分dy=f (x0)x是曲线 y=f (x)在点M(x0,f(x0)处切线上纵坐标的增量切线上纵坐标的增量. 导数与微分的区别导数与微分的区别: 思考题 因为一元函数 y=f (x)在点x0的可微性与可导性是 等价的, 所以有人说“微分就是导数, 导数就是微分”,这 种说法对吗？ 思考题解答 说法不对. 从概念上讲, 微分是从求函数增量引出线性主部 而得到的, 导数是从函数变化率问题归纳出函数增量 与自变量增量之比的极限, 它们是完全不同的概念. 一、主要内容 导 数 基本公式 求 导 法 则 高阶导数 微 分 关 系 高阶微分 习 题 课 二、典型例题 例1: 例2: 例3: 求下列函数的导数 例4: 设f (x)可导, F(x)=f (x)(1+|sinx|), 则f (0)=0是 F(x)在x=0处可导的_条件. A.充分必要; B.充分非必要; C.必要非充分; D.非充分非必要. 例5: 设函数y=y(x)由方程y=tan(x+y)确定, 求 例6: 例7: 例8: 设(x)在x=a处连续,讨论fi(x)在x=