[中考]第16讲二次函数.doc

中考总复习第一轮 1/5/2019第16讲二次函数一、【知识要点】1.定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.2.二次函数的性质（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.（2）函数的图像与的符号关系. 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是轴的抛物线的解析式形式为.3.二次函数 的图像是对称轴垂直x轴的抛物线.4.二次函数用配方法可化成：的形式，其中.5.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：；.6.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. 的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线.7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （1）公式法：，顶点是，对称轴是直线. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(,)，对称轴是直线. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.9.抛物线中，的作用 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧. （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）： ，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴；,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .10.几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()11.用待定系数法求二次函数的解析式 （1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式. （2）顶点式：.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式：.12.直线与抛物线的交点 （1）轴与抛物线得交点为(0, ). （2）与轴垂直的直线与抛物线有且只有一个交点(,). （3）抛物线与轴的交点：二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定： 有两个交点抛物线与轴相交； 有一个交点（顶点在轴上）抛物线与轴相切； 没有交点抛物线与轴相离. （4）平行于轴的直线与抛物线的交点：同一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为，则横坐标是的两个实数根. （5）一次函数的图像与二次函数的图像的交点，由方程组 的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时与有两个交点; 方程组只有一组解时与只有一个交点；方程组无解时与没有交点. （6）抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为，由于、是方程的两个根，故 二、【典型例题】（一）考查二次函数的定义、性质1. 已知点A、B、C在函数上，则、的大小关系是（ ）.A. B. C. D.2. 二次函数y=ax2+bx+c的图像如图，则点M（b，）在（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限3. 已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，则下列结论：a、b同号；当x=1和x=3时，函数值相等；4a+b=0；当y=-2时，x的值只能取0.其中正确的个数是（ ）A1个 B2个 C3个 D4个4. （2009年广西南宁）已知二次函数（）的图象如图所示，有下列四个结论：，其中正确的个数有（ ）A1个 B2个 C3个 D4个5. (2009年鄂州)已知=次函数yax+bx+c的图象如图则下列5个代数式：ac，a+b+c，4a2b+c，2a+b，2ab中，其值大于0的个数为（ ） A2 B 3 C4 D56. （2009年黄石市）已知二次函数的图象如图所示，有以下结论：；其中所有正确结论的序号是（ ）AB C D（二）综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像7. （2009湖北省荆门市）函数y=ax1与y=ax2bx1（a0）的图象可能是（ ）C8. （2009年烟台市）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致为（ ）（三）考查用待定系数法求二次函数的解析式四类函数各自所具有的特点，如下表：函数种类解析式图象待定系数适用条件解决问题的工具正比例函数y=kx(k0)直线k已知正比例函数图象上的任意一点的坐标一元一次方程一次函数y=kx+b(k0)直线k、b已知一次函数图象上的任意两点的坐标二元一次方程组反比例例函数y= (k0)双曲线K已知反比例函数图象上的任意一点的坐标一元一次方程二次函数一般式y=ax2+bx+c(a0)抛物线a、b、c已知抛物线上任意三点的坐标三元一次方程组顶点式y=a(x-h)2+k(a0)抛物线a已知顶点坐标(或对称轴)和抛物线上任意一点的坐标一元一次方程*双根式y=a(x-x1)(x-x2)(a0)抛物线a已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标和抛物线上的任意一点的坐标一元一次方程(1)利用概念定系数(使待定的系数越少越好)；(2)构造关于“系数”的方程；利用函数的定义(注意题目的隐含条件)；利用函数图象上点的坐标满足此函数解析式构造方程(注意转化点的坐标)；利用题目的条件直接构造方程(用含有待定系数的代数式表示点的坐标)；利用几何中公式、定理做为等量关系构造方程；(用含有待定系数的代数式表示线段长)；利用图形中的等量关系构造方程9. 已知抛物线过点，求抛物线的解析式.（答案：）10. 已知抛物线的顶点坐标为且经过点，求抛物线的解析式.（答案：）11. 已知抛物线与轴的两个交点横坐标是，与轴交点的纵坐标是，求抛物线的解析式.（答案：）12. 抛物线经过点和，且以直线为对称轴，求其解析式.（答案：）13. （2009年兰州）二次函数的图象如图12所示，点位于坐标原点， 点， 在y轴的正半轴上，点， 在二次函数位于第一象限的图象上，若,，都为等边三角形，则的边长 . （四）考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值14. 二次函数的图象的开口方向是 ，配方为的形式为 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ，当_时，函数的最_值为_，与轴的交点坐标为_，与轴的交点坐标为_；将图像向上平移3个单位后的函数解析式是_；将图像向下平移5个单位后的函数解析式是_；将图像向左平移1个单位后的函数解析式是_；将图像向右平移2个单位后的函数解析式是_；15. （2009威海）二次函数的图象的顶点坐标是（）A B C D16. （2009年孝感）将函数的图象向右平移a个单位，得到函数的图象，则a的值为A1B2C3 D4 （五）考查代数与几何的综合能力，常见的作为专项压轴题。二次函数与圆结合的综合题17. 我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线.如图12，点A、B、C、D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为(0，-3)，AB为半圆的直径，半圆圆心M的坐标为(1,0)，半圆半径为2.(1) 请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；(2)你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；(3)开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式.AOBMDC图12yx解：(1)解法1：根据题意可得：A(-1,0)，B(3,0)；则设抛物线的解析式为(a0) 又点D(0，-3)在抛物线上，a(0+1)(0-3)=-3，解之得：a=1 y=x2-2x-3 自变量范围：-1x3 解法2：设抛物线的解析式为(a0) 根据题意可知，A(-1,0)，B(3,0)，D(0，-3)三点都在抛物线上 ，解之得：y=x2-2x-33分自变量范围：-1x34分AOBMDC解图12yxE (2)设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM， 在RtMOC中，OM=1，CM=2，CMO=60,OC= 在RtMCE中，OC=2，CMO=60，ME=4 点C、E的坐标分别为(0，)，(-3,0) 切线CE的解析式为(3)设过点D(0，-3)，“蛋圆”切线的解析式为：y=kx-3(k0) 9分 由题意可知方程组只有一组解 即有两个相等实根，k=-211分 过点D“蛋圆”切线的解析式y=-2x-312分18. 如图，直线分别与x轴、y轴交于点A、B，E经过原点O及A、B两点（1）C是E上一点，连结BC交OA于点D，若CODCBO，求点A、B、C的坐标；（2）求经过O、C、A三点的抛物线的解析式：（3）若延长BC到P，使DP2，连结AP，试判断直线PA与E的位置关系，并说明理由 解：（1）连结EC交x轴于点N（如图） A、B是直线分别与x轴、y轴的交点 A（3，0），B又CODCBO CBOABC C是的中点 ECOA 连结OE C点的坐标为（） （2）设经过O、C、A三点的抛物线的解析式为 C（） 为所求（3） ， BAO30，ABO50由（1）知OBDABD ODOBtan301 DA2 ADCBDO60，PDAD2 ADP是等边三角形 DAP60 BAPBAODAP306090即PAAB即直线PA是E的切线19. （09湖南怀化）如图11，已知二次函数的图象与轴相交于两个不同的点、，与轴的交点为设的外接圆的圆心为点（1）求与轴的另一个交点D的坐标；（2）如果恰好为的直径，且的面积等于，求和的值 解 （1）易求得点的坐标为由题设可知是方程即 的两根，所以，所（1分）如图3，P与轴的另一个交点为D，由于AB、CD是P的两条相交弦，设它们的交点为点O，连结DB，AOCDOC，则（2分）由题意知点在轴的负半轴上，从而点D在轴的正半轴上，所以点D的坐标为（0，1）（3分）（2）因为ABCD， AB又恰好为P的直径，则C、D关于点O对称，所以点的坐标为，即（4分）又，所以解得（6分）OABClyx20. （2009威海）如图，在直角坐标系中，点A,B,C的坐标分别为（-1，0），（3，0）。（0，3），过A,B,C三点的抛物线的对称轴为直线，D为对称轴上一动点（1） 求抛物线的解析式；（2） 求当AD+CD最小时点的坐标；（3） 以点为圆心，以为半径作A证明：当AD+CD最小时，直线BD与A相切写出直线BD与A相切时，D点的另一个坐标：_解：（1）设抛物线的解析式为1分将代入上式，得解，得2分抛物线的解析式为即3分（2）连接，交直线于点点与点关于直线 对称，OABClyxDE4分由“两点之间，线段最短”的原理可知：此时最小，点的位置即为所求5分设直线的解析式为，由直线过点，得 解这个方程组，得直线的解析式为6分由（1）知：对称轴为，即将代入，得点的坐标为（1，2）7分说明：用相似三角形或三角函数求点的坐标也可，答案正确给2分（3）连接设直线与轴的交点记为点由（1）知：当最小时，点的坐标为（1，2）8分与相切9分11分 二次函数与直角三角形结合的综合题21. 已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C是否存在实数a，使得ABC为直角三角形若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由解：依题意，得点C的坐标为（0，4） 设点A、B的坐标分别为（，0），（，0）， 由，解得， 点A、B的坐标分别为（-3，0），（，0） ， ，当时，ACB90 由， 得 解得 当时，点B的坐标为（，0）， 于是 当时，ABC为直角三角形当时，ABC90由，得解得当时，点B（-3，0）与点A重合，不合题意当时，BAC90由，得解得不合题意综合、，当时，ABC为直角三角形22. (2009年宁德市)如图，已知抛物线C1：的顶点为P，与x轴相交于A、B两点（点A在点B的左边），点B的横坐标是1（1）求P点坐标及a的值；（4分）（2）如图（1），抛物线C2与抛物线C1关于x轴对称，将抛物线C2向右平移，平移后的抛物线记为C3，C3的顶点为M，当点P、M关于点B成中心对称时，求C3的解析式；（4分）（3）如图（2），点Q是x轴正半轴上一点，将抛物线C1绕点Q旋转180后得到抛物线C4抛物线C4的顶点为N，与x轴相交于E、F两点（点E在点F的左边），当以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形时，求点Q的坐标（5分）yxAOBPM图1C1C2C3图（1）yxAOBPN图2C1C4QEF图（2）解：（1）由抛物线C1：得顶点P的为（-2，-5） 点B（1，0）在抛物线C1上yxAOBPM图(1)C1C2C3HG 解得，a （2）连接PM，作PHx轴于H，作MGx轴于G点P、M关于点B成中心对称PM过点B，且PBMBPBHMBGMGPH5，BGBH3顶点M的坐标为（4，5） 抛物线C2由C1关于x轴对称得到，抛物线C3由C2平移得到抛物线C3的表达式为 （3）抛物线C4由C1绕点x轴上的点Q旋转180得到顶点N、P关于点Q成中心对称 由（2）得点N的纵坐标为5yxAOBPN图(2)C1C4QEFHGK设点N坐标为（m，5） 作PHx轴于H，作NGx轴于G 作PKNG于K 旋转中心Q在x轴上EFAB2BH6 FG3，点F坐标为（m+3，0） H坐标为（2，0），K坐标为（m，-5），根据勾股定理得 PN2NK2+PK2m2+4m+104 PF2PH2+HF2m2+10m+50 NF252+3234 当PNF90时，PN2+ NF2PF2，解得m，Q点坐标为（，0） 当PFN90时，PF2+ NF2PN2，解得m，Q点坐标为（，0）PNNK10NF，NPF90综上所得，当Q点坐标为（，0）或（，0）时，以点P、N、F为顶点的三角形是直角三角形 23. 已知二次函数的图象如图所示（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q当点N在线段BM上运动时（点N不与点B，点M重合），设NQ的长为l，四边形NQAC的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围； （3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）将OAC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）解：（1）设抛物线的解析式， 其顶点M的坐标是 （2）设线段BM所在的直线的解析式为，点N的坐标为N（t，h）， 解得， 线段BM所在的直线的解析式为 ，其中 s与t间的函数关系式是，自变量t的取值范围是（3）存在符合条件的点P，且坐标是，设点P的坐标为P，则，分以下几种情况讨论：i）若PAC90，则 解得：，（舍去） 点ii）若PCA90，则 解得：（舍去） 点iii）由图象观察得，当点P在对称轴右侧时，所以边AC的对角APC不可能是直角（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这边OA（或边OC）的对边上，如图a，此时未知顶点坐标是点D（1，2）， 以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图b，此时未知顶点坐标是E，F二次函数与相似24. (2009年达州)如图11，抛物线与轴相交于A、B两点（点A在点B右侧），过点A的直线交抛物线于另一点C，点C的坐标为（-2，6）.(1)求a的值及直线AC的函数关系式；(2)P是线段AC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点M，交x轴于点N.求线段PM长度的最大值；在抛物线上是否存在这样的点M，使得CMP与APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程）；如果不存在，请说明理由. 解：（1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)a=-2 抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(x-1)与x轴交于B（-3，0）、A（1，0）设直线AC为y=kx+b，则有0=k+b6=-2k+b解得 k=-2，b=2直线AC为y=-2x+2 （2）设P的横坐标为a(-2a1)，则P（a,-2a+2），M（a,-2a2-4a+6） PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92=-2a+122+92当a=-12时，PM的最大值为92 M1（0，6） ；M2（-14，678） 25. 如图：抛物线经过A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知AD = AB（D在线段AC上），有一动点P从点A沿线段AC以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q以某一速度从点B沿线段BC移动，经过t 秒的移动，线段PQ被BD垂直平分，求t的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M，使MQ+MC的值最小？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由。（注：抛物线的对称轴为）（1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4) 因为B（0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为解法二：设抛物线的解析式为，依题意得：c=4且 解得 所以 所求的抛物线的解析式为（2）连接DQ，在RtAOB中，所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD =7 5 = 2因为BD垂直平分PQ，所以PD=QD，PQBD，所以PDB=QDB因为AD=AB，所以ABD=ADB，ABD=QDB，所以DQAB所以CQD=CBA。CDQ=CAB，所以CDQ CAB 即所以AP=AD DP = AD DQ=5 = ， 所以t的值是（3）答对称轴上存在一点M，使MQ+MC的值最小理由：因为抛物线的对称轴为所以A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线对称连接AQ交直线于点M，则MQ+MC的值最小过点Q作QEx轴，于E，所以QED=BOA=900 DQAB， BAO=QDE， DQE ABO 即 所以QE=，DE=，所以OE = OD + DE=2+=，所以Q（，）设直线AQ的解析式为则 由此得 所以直线AQ的解析式为 联立由此得 所以M则：在对称轴上存在点M，使MQ+MC的值最小。 二次函数与矩形结合的综合题（多数为轴对称变换）26. OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，OA10，OC6（1）如图，在AB上取一点M，使得CBM沿CM翻折后，点B落在x轴上，记作B点，求B点的坐标；（2）求折痕CM所在直线的解析式；（3）作BG/AB交CM于G，若抛物线过点G，求抛物线解析式，并判断以原点O为圆心，OG为半径的圆与抛物线除交点G外，是否还有交点？若有，请直接写出交点坐标. 第（1）问，通过对称和勾股定理进行求解；第（2）问，引进字母，建立方程求解第（2）问中，设AMx，则MBBM6x，AB1082，因为AMB是直角三角形，所以x222（6x）2，解得x，所以，M的坐标为（10，），于是问题迎刃而解，CM所在直线的解析式为 此题第(2)问通过引进未知数、列出方程进行求解，十分方便，比较好的体现出方程思想 第（3）问，有交点（-8，）设G（8，a）， ， 故G（8，）.，.因此抛物线与圆除交点G外，另有一个关于y轴的对称点，其坐标为（-8，）.27. （2009重庆綦江）如图，已知抛物线经过点，抛物线的顶点为，过作射线过顶点平行于轴的直线交射线于点，在轴正半轴上，连结（1）求该抛物线的解析式；（2）若动点从点出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线运动，设点运动的时间为问当为何值时，四边形分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若，动点和动点分别从点和点同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿和运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动设它们的运动的时间为，连接，当为何值时，四边形的面积最小？并求出最小值及此时的长xyMCDPQOAB解：（1）抛物线经过点，1分二次函数的解析式为：3分（2）为抛物线的顶点过作于，则，xyMCDPQOABNEH4分当时，四边形是平行四边形5分当时，四边形是直角梯形过作于，则（如果没求出可由求）6分当时，四边形是等腰梯形综上所述：当、5、4时，对应四边形分别是平行四边形、直角梯形、等腰梯形7分（3）由（2）及已知，是等边三角形则过作于，则8分=9分当时，的面积最小值为10分此时11分28. （2009年黄石市）正方形在如图所示的平面直角坐标系中，在轴正半轴上，在轴的负半轴上，交轴正半轴于交轴负半轴于，抛物线过三点（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）是抛物线上间的一点，过点作平行于轴的直线交边于，交所在直线于，若，则判断四边形的形状；（3分）（3）在射线上是否存在动点，在射线上是否存在动点，使得且，若存在，请给予严格证明，若不存在，请说明理由（4分）OyxBEADCF解：（1）依条件有，OyxBEADCFNMQ由知由得将的坐标代入抛物线方程，得抛物线的解析式为3分（2）设，设，则，（舍去）此时点与点重合，则为等腰梯形3分（3）在射线上存在一点，在射线上存在一点使得，且成立，证明如下：当点如图所示位置时，不妨设，过点作，垂足分别为HNADCBMP若由得：BADMCQHPNBANDMCQHP，又2分当点在如图所示位置时，过点作，垂足分别为同理可证又，1分当在如图所示位置时，过点作，垂足为，延长线，垂足为同理可证1分注意：分三种情况讨论，作图正确并给出一种情况证明正确的，同理可证出其他两种情况的给予4分；若只给出一种正确证明，其他两种情况未作出说明，可给2分，若用四点共圆知识证明且证明过程正确的也没有讨论三种情况的只给2分.二次函数与几何最值结合的综合题（多为轴对称变换）29. 已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点。（1）求此抛物线的解析式；（2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析式；（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点(设为点E)，再到达抛物线的对称轴上某点(设为点F)，最后运动到点A。求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。 30. 如图，在平面直角坐标系中，RtAOB的顶点坐标分别为A(-2,0)，O(0,0)，B(0,4)。把AOB绕点O按顺时针方向旋转90，得到COD。（1）求C、D两点的坐标；（2）求经过A、B、D三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中的抛物线的对称轴上取两点E、F（点E在点F的上方），且EF=1，使四边形ACEF的周长最小，求出E、F两点的坐标。 31. 已知抛物线如图1所示，现将以y轴为对称轴进行翻折，得到新的抛物线.(1)求抛物线的解析式；(2)在图1中，将OAC补成矩形,使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，请直接(不需要写过程)写出矩形的周长； (3)如图2，若抛物线的顶点为M，点P为线段BM上一动点(不与点M、B重合)，PNx轴于N，请求出PC+PN的最小值。图2图132. 已知：抛物线与x轴的一个交点为A（1，0）（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的解析式；（3）E是第二象限内到x轴、y轴的距离的比为52的点，如果点E在（2）中的抛物线上，且它与点A在此抛物线对称轴的同侧，问：在抛物线的对称轴上是否存在点P，使APE的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由解法一：（1）依题意，抛物线的对称轴为x2 抛物线与x轴的一个交点为A（1，0）， 由抛物线的对称性，可得抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）（2） 抛物线与x轴的一个交点为A（1， 0）， t3a D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且点C在抛物线 上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面积为9， a1 所求抛物线的解析式为或（3）设点E坐标为（，）.依题意， 且 设点E在抛物线上，解方程组 得 点E与点A在对称轴x2的同侧， 点E坐标为（，）设在抛物线的对称轴x2上存在一点P，使APE的周长最小 AE长为定值， 要使APE的周长最小，只须PAPE最小 点A关于对称轴x2的对称点是B（3，0）， 由几何知识可知，P是直线BE与对称轴x2的交点设过点E、B的直线的解析式为， 解得 直线BE的解析式为 把x2代入上式，得 点P坐标为（2，）设点E在抛物线上， 解方程组 消去，得 0 . 此方程无实数根综上，在抛物线的对称轴上存在点P（2，），使APE的周长最小解法二：（1） 抛物线与x轴的一个交点为A（1，0）， t3a 令 y0，即解得 ， 抛物线与x轴的另一个交点B的坐标为（3，0）（2）由，得D（0，3a） 梯形ABCD中，ABCD，且点C在抛物线上， C（4，3a） AB2，CD4 梯形ABCD的面积为9， 解得OD3 a1 所求抛物线的解析式为或（3）同解法一得，P是直线BE与对称轴x2的交点 如图，过点E作EQx轴于点Q设对称轴与x轴的交点为F由PFEQ，可得 点P坐标为（2，）以下同解法一.考查二次函数与一元二次方程的关系结合的综合题33. 已知抛物线.（1） 求证此抛物线与x轴有两个不同的交点；（2） 若m是整数，抛物线与x轴交于整数点，求m的值；（3） 在（2）的条件下，设抛物线的顶点为A，抛物线与x轴的两个交点中右侧交点为B. 若m为坐标轴上一点，且MA=MB，求点M的坐标.解：（1）证明：令，则.因为 =，1分所以此抛物线与x轴有两个不同的交点. 2分 （2）因为关于x的方程的根为， 由m为整数，当为完全平方数时，此抛物线与x轴才有可能交于整数点. 设（其中n为整数），3分 则 因为与的奇偶性相同， 所以或 解得 . 经过检验，当时，方程有整数根. 所以. 5分 （3）当m=2时，此二次函数解析式为 ，则顶点坐标为. 抛物线与x轴的交点为、. 设抛物线的对称轴与x轴交于点，则. 在直角三角形中，由勾股定理，得. 由抛物线的对称性可得，. 又，即. 所以ABO为等腰直角三角形. 6分 则. 所以为所求的点. 7分 若满足条件的点在y轴上时，设坐标为， 过A作ANy轴于N，连结、，则. 由勾股定理，有；， 即. 解得y=1. 所以为所求的点. 8分 综上所述，满足条件的M点的坐标为（1，0）或（0，1）.34. (2009年肇庆市)已知一元二次方程的一根为 2 （1）求关于的关系式； （2）求证：抛物线与轴有两个交点； （3）设抛物线的顶点为 M，且与 x 轴相交于A（，0）、B（，0）两点，求使AMB 面积最小时的抛物线的解析式（1）解：由题意，得，即（2 分） （2）证明：一元二次方程的判别式，