《行列式展开定理》PPT课件.ppt

机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学科学学院 陈建华 线性代数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.3 行列式展开定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.计算 解: (化上三角形法) D 57 复习 ? ? ！ 机动 目录 上页 下页 返回 结束 本节内容 余子式、代数余子式 行列式按行（列）展开定理 Laplace 定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.aij的余子式：在 中划去元素aij 所在的第i 行和第 j 列元素，得到的n-1阶行列式。记作：Mij 2.元素aij的代数余子式： 例如，在 中， M32 Aij(1)i+jMij A23 =(-1)2+3M23= 一、余子式和代数余子式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、行列式按某行(列)展开定理 ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin a1jA1j+a2jA2j+anjAnj 行 列 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路: 先证特殊情形再证一般情形；一般情形的证明通过转 化为特殊情形完成. 证：先证 ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin 机动 目录 上页 下页 返回 结束 次证 i 行逐一向下交换经 ni 次至末行 j 列逐一向右交换经 nj 次至末列 思路： 化归为情形 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)ij aij Mij aijAij (1)ij aij Mnn 由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 最后 证毕 ai1Ai1+ai2Ai2+ainAin 由 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例1.计算行列式 解法1：化上三角形法 解法2：降阶法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 D 57 = (-1)1+1 = (-1)3+1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 利用行列式按行(列)展开定理计算行列式时,一般利用 有较多0的行(列)展开,对一般的数字行列式,可将某行 (列)化到只剩一非零元时降阶处理. = 10 = (-1)2+2 =5(-1)2+3 例2：计算 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例3 计算行列式 首列元素全是1,第一行乘以(1)加到下面各行只能使 下面元素变为0,其它元素却没有规律，不可取。 分析 利用相邻两行元素较接近的特点:从首行起,每行加其 下行的(1)倍,按首列展开后再使用该手法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = (1)n+1x n-2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4 计算4阶范德蒙 (Vandermonde)行列式 分析 相邻两行元素较接近! 末行始, 后一行加上其 前行的( x1)倍, a11下面元素都变为0,按首列展开， 按首列展开后提取各列公因子得3阶范德蒙行列式。 再从末行始, 后一行加上其前行的( x2)倍， 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解： 机动 目录 上页 下页 返回 结束 = (x2x1)(x3x1)(x4x1)(x3x2)(x4x2)(x4x3) 连乘积记号 机动 目录 上页 下页 返回 结束 可以证明n 阶“范德蒙行列式” 机动 目录 上页 下页 返回 结束 3.推论 : 行列式某一行(列)的各元素与另一行 (列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零. 第s行 理解： 第s行 0 ai1As1+ai2As2+ainAsn=0 (is) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 综合定理及推论得 “代数余子式的 重要性质 ” : a1jA1t+a2jA2t+anjAnt=0 (jt) 对于行列式的列，类似地有： 行列 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5 设 =0 ，计算A41+A42+A43+A44. =a31A41+a32A42+a33A43+a34 A44 分析: A41+A42+A43+A44 巧用第3行的四个1 机动 目录 上页 下页 返回 结束 分析注意到第二、四行元素的特点,利用行列式按某行展开定 理的推论,将A31+A32+A33与A34+A35分别看成整体，列方程组求解. 解: ，求(1) A31+A32+A33 (2) A34+A35 例6 设 a21A31+a22A32+a23A33+a24 A34+ a25A350 a41A31+a42A32+a43A33+a44 A34+ a45A350 2(A31+A32+A33 ) +( A34+A35 ) 0 (A31+A32+A33 )+2( A34+A35 ) 0 A31+A32+A33=0 A34+A35 =0 思考:如何求 A41+A42+A43? 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解: 例7 设，计算 A41+A42+A43+A44 a31A41+a32A42+a33A43+a34 A440 a41A41+a42A42+a43A43+a44 A44D A41+A42+2A43+3 A440 2A41+2A42+3A43+4 A44D 两式相减得 A41+A42+A43+A44D=6 思考： 其它解法 A41+A42+A43+A44 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.几个概念 (1) k 阶子式：任选k行k列 k阶行列式，记作 M . (aij是行列式的一阶子式) (2) k 阶子式的余子式：划去k阶子式所在的k行k列 nk阶行列式，记M (3) k 阶子式的代数余子式: 三、拉普拉斯定理 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注2:行列式按行(列)展开是拉普拉斯定理 k=1的情形 2. 拉普拉斯定理 的所有k 阶子式(共 个)与各自的代数余子式的乘 积之和等于D. 即： 行列式D中任意选定k行(1kn),这k行元素组成 DM1 A1M2 A2Mt At ( ) 注1:拉普拉斯定理是将行列式按某k行(列)展开 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例8 用拉普拉斯定理计算行列式 解： 1(3)(15)(1)(4)(9)(8) 9 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例9 计算行列式 解： 法二 按第五列展开后再按第一列展开 (教材例1-11,P17) 法一 按三、四、五行展开 = 1080 机动 目录 上页 下页 返回 结束 应用拉普拉斯定理易得行列式计算中的常用结论: 按前k行展开 讨论 完成 机动 目录 上页 下页 返回 结束 乘法公式 设 则 (证明见2.3节，p55-56) 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业: P21 习题1.3 1,2,3,4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题 例 计算 解: 从而解得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解析几何中的行列式 机动 目录 上页 下页 返回 结束 范德蒙 法国数学家，就对行列式本身而言，他是这门理论的奠 基人在行列式的发展史上，他是把行列式理论与线性方程 组求解相分离的第一人范德蒙自幼在父亲的指导下学习音 乐，但对数学有浓厚的兴趣，后来终于成为法兰西科学院院 士特别地，他给出了用二阶子式