初三二次函数试题与几何综合分类练习(含答案).pdf

1 二次函数试题与几何综合分类练习 解答题解答题： （二次函数与三角形）（二次函数与三角形） 1、已知：二次函数 y= x 2+bx+c，其图象对称轴为直线 x=1，且经过点（2， ） （1）求此二次函数的解析式 （2）设该图象与 x 轴交于 b、c 两点（b 点在 c 点的左侧） ，请在此二次函数 x 轴下方的图象上确定一点 e，使ebc 的面积最 大，并求出最大面积 2、如图，在平面直角坐标系中，抛物线与 x 轴交于 a、b 两点（a 在 b 的左侧） ，与 y 轴交于点 c (0，4)，顶点为（1， 9 2） （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的对称轴与轴交于点 d，试在对称轴上找出点 p，使cdp 为等腰三角 形，请直接写出满足条件的所有点 p 的坐标 （3）若点 e 是线段 ab 上的一个动点（与 a、b 不重合） ，分别连接 ac、bc，过点 e 作 efac 交线段 bc 于点 f， 连接 ce， 记cef 的面积为 s， s 是否存在最大值？ 若存在，求出 s 的最大值及此时 e 点的坐标；若不存在，请说明理由 3、如图，一次函数 y4x4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 a、c 两点，抛物线 y4 3x 2bx c 的图象经过 a、c 两点，且与 x 轴交于点 b （1）求抛物线的函数表达式； （2）设抛物线的顶点为 d，求四边形 abdc 的面积； （3）作直线 mn 平行于 x 轴，分别交线段 ac、bc 于点 m、n问在 x 轴上是否存在点 p，使 得pmn 是等腰直角三角形？如果存在， 求出所有满足条件的 p 点的坐标； 如果不存在， 请说明理由 bx y o (第 2 题图) c ad bx y o (第 3 题图) c a 2 c o a y x d b c o a y x d b m n l:xn （二次函数与四边形）（二次函数与四边形）4、已知抛物线 2 17 2 22 yxmxm (1)试说明：无论 m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点； (2)如图，当该抛物线的对称轴为直线 x=3 时，抛物线的顶点为点 c，直线 y=x1 与抛物线交于 a、b 两点，并与它的对称轴交 于点 d 抛物线上是否存在一点 p 使得四边形 acpd 是正方形？若存在，求出点 p 的坐标；若不存在，说明理由； 平移直线 cd，交直线 ab 于点 m，交抛物线于点 n，通过怎样的平移能使得 c、d、m、n 为顶点的四边形是平行四边形 5、如图，抛物线 ymx211mx24m (m0) 与 x 轴交于 b、c 两点（点 b 在点 c 的左侧） ，抛物线另有一点 a 在第一象限内， 且bac90 （1）填空：ob_，oc_； （2）连接 oa，将oac 沿 x 轴翻折后得odc，当四边形 oacd 是菱形时，求此时抛物线的解析式； （3）如图 2，设垂直于 x 轴的直线 l：xn 与（2）中所求的抛物线交于点 m，与 cd 交于点 n，若直线 l 沿 x 轴方向左右平移， 且交点 m 始终位于抛物线上 a、c 两点之间时，试探究：当 n 为何值时，四边形 amcn 的面积取得最大值，并求出这个 最大值 3 6、如图所示，在平面直角坐标系中，四边形 abcd 是直角梯形，bcad，bad=90，bc 与 y 轴相交于点 m，且 m 是 bc 的中点，a、b、d 三点的坐标分别是 a（1 0 ，） ，b（1 2 ，） ，d（3，0） 连接 dm，并把线段 dm 沿 da 方向平 移到 on若抛物线 2 yaxbxc经过点 d、m、n （1）求抛物线的解析式 （2）抛物线上是否存在点 p，使得 pa=pc，若存在，求出点 p 的坐标；若 不存在，请说明理由 （3）设抛物线与 x 轴的另一个交点为 e，点 q 是抛物线的对称轴上的一个 动点，当点 q 在什么位置时有|qe-qc|最大？并求出最大值 7、已知抛物线 2 23 (0)yaxaxa a与 x 轴交于 a、b 两点（点 a 在点 b 的左侧） ，与 y 轴交于点 c，点 d 为抛物线 的顶点 （1）求 a、b 的坐标； （2）过点 d 作 dh 丄 y 轴于点 h，若 dh=hc，求 a 的值和直线 cd 的解析式； （3）在第（2）小题的条件下，直线 cd 与 x 轴交于点 e，过线段 ob 的中点 n 作 nf 丄 x 轴，并交直线 cd 于点 f，则直线 nf 上是否存在点 m，使得点 m 到直线 cd 的距离等于点 m 到原点 o 的距离？若存在，求出点 m 的坐标；若不存在，请说明 理由 4 （二次函数与圆） 8、如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过 m（1，0）和 n（3，0）两点，且与 y 轴交于 d（0，3） ， 直线 l 是抛物线的对称轴1）求该抛物线的解析式 2）若过点 a（1，0）的直线 ab 与抛物线的对称轴和 x 轴围成的三角形面积为 6，求此直线的解析式 3）点 p 在抛物线的对称轴上，p 与直线 ab 和 x 轴都相切，求点 p 的坐标 9、如图，y 关于 x 的二次函数 y=（x+m） （x3m）图象的顶点为 m， 图象交 x 轴于 a、b 两点，交 y 轴正半轴于 d 点以 ab 为直径作圆，圆心 为 c定点 e 的坐标为（3，0） ，连接 ed （m0） （1）写出 a、b、d 三点的坐标； （2）当 m 为何值时 m 点在直线 ed 上？判定此时直线与圆的位置关系； （3）当 m 变化时，用 m 表示aed 的面积 s，并在给出的直角坐标系中 画出 s 关于 m 的函数图象的示意图。 10、已知抛物线 2 yaxbxc的对称轴为直线2x ，且与 x 轴交于 a、b 两点与 y 轴交于点 c其中 ai(1，0)，c(0，3) （1） （3 分）求抛物线的解析式； （2）若点 p 在抛物线上运动（点 p 异于点 a） （4 分）如图 l当pbc 面积与abc 面积 相等时求点 p 的坐标； （5 分）如图 2当pcb=bca 时，求直线 cp 的解析式。 5 答案： 1、解解： （1）由已知条件得， （2 分） 解得 b= ，c= ，此二次函数的解析式为 y= x 2 x ； （1 分） （2） x 2 x =0，x 1=1，x2=3， b（1，0） ，c（3，0） ，bc=4， （1 分） e 点在 x 轴下方，且ebc 面积最大，e 点是抛物线的顶点，其坐标为（1，3） ， （1 分） ebc 的面积= 43=6 （1 分） 2、 （1）抛物线的顶点为（1， 9 2） 设抛物线的函数关系式为 ya ( x1)29 2 抛物线与 y 轴交于点 c (0，4)，a (01)29 24 解得 a1 2 所求抛物线的函数关系式为 y1 2( x1) 29 2 （2）解：p1(1， 17)，p2(1， 17)， p3(1，8)，p4(1，17 8 )， （3）解：令1 2( x1) 29 20，解得 x 12，x14 抛物线 y1 2( x1) 29 2与 x 轴的交点为 a (2，0) c (4，0) 过点 f 作 fmob 于点 m， efac，befbac，mf oc eb ab 又oc4，ab6，mfeb aboc 2 3eb 设 e 点坐标为 (x， 0)， 则 eb4x， mf2 3 (4x)ssbcesbef1 2 eb oc1 2 eb mf1 2 eb(oc mf)1 2 (4x)42 3 (4x)1 3x 22 3x 8 3 1 3( x1) 23 a1 30，s 有最大值 当 x1 时，s最大值3 此时点 e 的坐标为 (1，0) 3、 （1）一次函数 y4x4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 a、c 两点， a (1，0)c (0，4)把 a (1，0) c (0，4)代入 y4 3x 2bxc 得 4 3bc0 c4 解得 b8 3 c4 y4 3x 28 3x4 （2）y4 3x 28 3x4 4 3( x1) 216 3 顶点为 d（1，16 3 ） bx y o (第 3 题图) c a d e 6 设直线 dc 交 x 轴于点 e由 d（1，16 3 ）c (0，4) 易求直线 cd 的解析式为 y4 3x4 易求 e（3，0） ，b（3，0）sedb1 26 16 3 16 seca1 2244 s四边形abdcsedbseca12 （3）抛物线的对称轴为 x1 做 bc 的垂直平分线交抛物线于 e， 交对称轴于点 d3易 求 ab 的解析式为 y 3x 3 d3e 是 bc 的垂直平分线d3eab 设 d3e 的解析式为 y 3xb d3e 交 x 轴于（1，0）代入解析式得 b 3,y 3x 3 把 x1 代入得 y0d3(1，0),过 b 做 bhx 轴，则 bh1 11 在 rtd1hb 中，由勾股定理得 d1h 11d1（1， 11 3）同理可求其它点的坐标。 可求交点坐标 d1（1， 11 3）, d2（1，2 2）, d3(1，0), d4(1,11 3)d5（1，2 2） 4、(1)= 217 42 22 mm = 2 47mm= 2 443mm= 2 23m，不管 m 为何实数， 总 有 2 2m0，= 2 23m0，无论 m 为何实数，该抛物线与 x 轴总有两个不同的交点 (2) 抛物线的对称轴为直线 x=3，3m ， 抛物线的解析式为 2 15 3 22 yxx= 21 32 2 x，顶点 c 坐标为（3，2） ， 解方程组 2 1, 15 3 22 yx yxx ，解得 1 1 1 0 x y 或 2 2 7 6 x y ，所以 a 的坐标为（1，0） 、b 的坐标为（7，6） ， 3x 时 y=x1=31=2，d 的坐标为（3，2） ，设抛物线的对称轴与x轴的交点为 e，则 e 的坐标 为（3，0） ，所以 ae=be=3，de=ce=2， 1假设抛物线上存在一点 p 使得四边形 acpd 是正方形，则 ap、cd 互 相垂直 平分且相等，于是 p 与点 b 重合，但 ap=6，cd=4，apcd， 故抛物线上不存在一点 p 使得四边形 acpd 是正方形 2()设直线 cd 向右平移n个单位（n0）可使得 c、d、m、n 为顶 点的四边形是平行四边形，则直线 cd 的解析式为 x=3n，直线 cd 与直线 y=x1 交于点 m（3n，2n） ，又d 的坐标为（3，2） ，c 坐标为（3，2） ，d 通过向下平移 4 个单位得到 c c、d、m、n 为顶点的四边形是平行四边形，四边形 cdmn 是平行四边形或四边形 cdnm 是平行 四边形 （）当四边形 cdmn 是平行四边形，m 向下平移 4 个单位得 n，n 坐标为（3n，2n） ， 又 n 在抛物线 2 15 3 22 yxx上， 215 233 3 22 nnn， 解得 1 0n （不合题意，舍去） ， 2 2n ， （）当四边形 cdnm 是平行四边形，m 向上平移 4 个单位得 n，n 坐标为（3n，6n） ， 又 n 在抛物线 2 15 3 22 yxx上， 215 633 3 22 nnn， 解得 1 117n （不合题意，舍去） ， 2 117n ， bx y o (第 3 题图) c a p mn 7 c o a y x d b e c o a y x d b m n l:xn e () 设直线 cd 向左平移n个单位（n0）可使得 c、d、m、n 为顶点的四边形是平行四边形，则直 线 cd 的解析式为 x=3n，直线 cd 与直线 y=x1 交于点 m（3n，2n） ，又d 的坐标为（3，2） ， c 坐标为（3，2） ，d 通过向下平移 4 个单位得到 c c、d、m、n 为顶点的四边形是平行四边形，四边形 cdmn 是平行四边形或四边形 cdnm 是平行 四边形 （）当四边形 cdmn 是平行四边形，m 向下平移 4 个单位得 n，n 坐标为（3n，2n ） ， 又 n 在抛物线 2 15 3 22 yxx上， 215 233 3 22 nnn ， 解得 1 0n （不合题意，舍去） ， 2 2n （不合题意，舍去） ， （）当四边形 cdnm 是平行四边形，m 向上平移 4 个单位得 n，n 坐标为（3n，6n） ， 又 n 在抛物线 2 15 3 22 yxx上， 215 633 3 22 nnn， 解得 1 117n ， 2 117n （不合题意，舍去） ， 综上所述，直线 cd 向右平移 2 或（117）个单位或向左平移（117 ）个单位，可使得 c、d、 m、n 为顶点的四边形是平行四边形 5、解： （1）ob3，oc8 （2）连接 od，交 oc 于点 e 四边形 oacd 是菱形 adoc，oeec1 2 84 be431 又bac90， acebaeae be ce ae ae2bece14 ae2 点 a 的坐标为 (4，2) 把点 a 的坐标 (4，2)代入抛物线 ymx211mx24m， 得 m1 2 抛物线的解析式为 y1 2x 211 2 x12 （3）直线 xn 与抛物线交于点 m 点 m 的坐标为 (n，1 2n 211 2 n12) 由（2）知，点 d 的坐标为（4，2） ， 则 c、d 两点的坐标求直线 cd 的解析式为 y1 2x4 点 n 的坐标为 (n，1 2n4) mn（1 2n 211 2 n12）（1 2n4） 1 2n 25n8 s四边形amcnsamnscmn1 2mnce 1 2（ 1 2n 25n8）4(n5)29 当 n5 时，s四边形amcn9 6、解： （1）bcad，b（-1，2） ，m 是 bc 与 x 轴的交点，m（0，2） ， dmon，d（3，0） ，n（-3，2） ，则 930 2 930 abc c abc ，解得 1 9 1 3 2 a b c ， 2 11 2 93 yxx ； （2）连接 ac 交 y 轴与 g，m 是 bc 的中点，ao=bm=mc，ab=bc=2，ag=gc，即 g（0，1） ， abc=90，bgac，即 bg 是 ac 的垂直平分线，要使 pa=pc，即点 p 在 ac 的垂直平分线上， 故 8 p 在直线 bg 上，点 p 为直线 bg 与抛物线的交点， 设直线 bg 的解析式为ykxb，则 2 1 kb b ，解得 1 1 k b ，1yx ， 2 1 11 2 93 yx yxx ，解得 1 1 33 2 23 2 x y ， 2 2 33 2 23 2 x y ， 点 p（33 2 23 2 ，）或 p（3-3 2 23 2 ，） ， （3） 22 11139 2() 93924 yxxx ， 对称轴 3 2 x ， 令 2 11 20 93 xx，解得 1 3x ， 2 6x ，e（6，0） ， 故 e、d 关于直线 3 2 x 对称， qe=qd， |qe-qc|=|qd-qc|， 要使|qe-qc|最大，则延长 dc 与 3 2 x 相交于点 q，即点 q 为 直线 dc 与直线 3 2 x 的交点， 由于 m 为 bc 的中点，c（1，2） ，设直线 cd 的解析式为 y=kx+b， 则 30 2 kb kb ，解得 1 3 k b ，3yx ， 当 3 2 x 时， 39 3 22 y ，故当 q 在（ 39 22 ，）的位置时，|qe-qc|最大， 过点 c 作 cfx 轴，垂足为 f，则 cd= 2222 222 2cfdf 7、解解： （1）由 y=0 得，ax2-2ax-3a=0， a0，x2-2x-3=0，解得 x1=-1，x2=3，点 a 的坐标（-1，0） ，点 b 的坐标（3，0） ； （2）由 y=ax2-2ax-3a，令 x=0，得 y=-3a，c（0，-3a） ， 又y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，得 d（1，-4a） ， dh=1，ch=-4a-（-3a）=-a，-a=1，a=-1，c（0，3） ，d（1，4） ， 设直线 cd 的解析式为 y=kx+b，把 c、d 两点的坐标代入得，解得， 直线 cd 的解析式为 y=x+3； （3）存在 由（2）得，e（-3，0） ，n（-，0）f（，） ，en=， 作 mqcd 于 q，设存在满足条件的点 m（，m） ，则 fm=-m， ef=，mq=om= 由题意得：rtfqmrtfne，=，整理得 4m2+36m-63=0，m2+9m=， m2+9m+=+（m+）2=m+=m1=，m2=-， 9 点 m 的坐标为 m1（，） ，m2（，-） 8、解： （1）抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过 m（1，0）和 n（3，0）两点，且与 y 轴交于 d（0，3） ， 假设二次函数解析式为：y=a（x1） （x3） ， 将 d（0，3） ，代入 y=a（x1） （x3） ，得：3=3a，a=1， 抛物线的解析式为：y=（x1） （x3）=x24x+3； （2）过点 a（1，0）的直线 ab 与抛物线的对称轴和 x 轴围成的三角形面积为 6， acbc=6， 抛物线 y=ax2+bx+c（a0）的图象经过 m（1，0）和 n（3，0）两点，二次函数对称轴为 x=2， ac=3，bc=4，b 点坐标为： （2，4） ，一次函数解析式为；y=kx+b， ，解得：，y= x+ ； （3）当点 p 在抛物线的对称轴上，p 与直线 ab 和 x 轴都相切， moab，am=ac，pm=pc， ac=1+2=3，bc=4，ab=5，am=3， bm=2， mbp=abc，bmp=acb， abccbm， ，pc=1.5，p 点坐标为： （2，1.5） 9、解： （1）a（m，0） ，b（3m，0） ，d（0，m） （2）设直线 ed 的解析式为 y=kx+b，将 e（3，0） ，d（0，m）代入得： 解得，k=，b=m直线 ed 的解析式为 y=mx+m 将 y=（x+m） （x3m）化为顶点式：y=（x+m）2+m 顶点 m 的坐标为（m，m） 代入 y=mx+m 得：m2=m m0，m=1所以，当 m=1 时，m 点在直线 de 上连接 cd，c 为 ab 中点，c 点坐标为 c（m，0） od=，oc=1，cd=2，d 点在圆上 又 oe=3，de2=od2+oe2=12，ec2=16，cd2=4，cd2+de2=ec2fdc=90直线 ed 与c 相切 （3