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概率统计试题（文数） 1.、 是常数，关于的一元二次方程有实数解记为事 件 若、 分别表示投掷两枚均匀骰子出现的点数 求； 若、，且，求 2.某高校在 2009 年的自主招生考试成绩中随机抽 取 100 名学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的 频率分布表如下左图所示.（）请先求出频率分 布表中、 位置相应的数据，再在答题纸上完成 下列频率分布直方图；（）为了能选拔出最优 秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第 3、4、5组 中用分层抽样抽取 6 名学生进入第二轮面试，求 第 3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面 试？（）在（）的前提下，学校决定在 6 名 学生中随机抽取 2 名学生接受 a 考官进行面试， 求：第 4组至少有一名学生被考官 a 面试的概率？ a b x 0 2 3)( 2 ab xbax a a b )(ap rarb66ba66ba )(ap 组号分组频数频率 第1组50.050 第2组0.350 165,160 170,165175,170180,175180,185 频率分布直方图频率分布直方图 频率频率 组距组距 成绩成绩 0 0. .0808 0 0. .0707 0 0. .0606 0 0. .0505 0 0. .0404 0 0. .0303 0 0. .0202 0 0. .0101 185185180180175175170170165165160160 3.(满分12分) 在一个盒子中装有标号为 1、 2、 3、 4的四个球，现从中一次性取出两个球，每 个小球被取出的可能性相等 (1)求取出的两个球上标号为相邻整数的概率； (2)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率 4.某校对高三年级的学生进行体检，现将 高三男生的体重（单位：）数据进行 整理后分成六组，并绘制频率分布直 方图（如图所示）已知图中从左到 右第一、第六小组的频率分别为、，第 一、第二、第三小组的频率成等比数列， 第三、 第四、 第五、 第六小组的频率成等 差数列，且第三小组的频数为 100， 则该校高三年级的男生总数为（ ） a480 b440 c420 d400 5.一汽车厂生产 a,b,c 三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量 如下表(单位:辆): 轿车 a轿车 b轿车c 舒适型100150z 标准型300450600 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50辆,其中有 a 类轿车 10 辆. （1）求z 的值. kg0.160.07 80757065605550 频率 组距 分数 0.04 0.035 0.03 0.025 0.02 0.015 0.01 0005 100908070605040 （2）用分层抽样的方法在 c 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本.将该样本看成一个总体, 从中任取2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率; （3）用随机抽样的方法从 b 类舒适型轿车中抽取 8 辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这 8 辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个数,求该 数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率. 6.统计某校 1000 名学生的数学会考成绩，得到样本频率分布直方图 如右图示，规定不低于 60 分为及格，不低于 80 分为优秀，则及 格人数是 ；优秀率为 7.把一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为，第二次出现的点数 记为。已知直线：，直线：，试求： （）直线、相交的概率； （）直线、平行的概率； 8.如图，一只蚂蚁在边长分别为 3，4，5 的三角形区域内随机爬 行，则其恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率为（ ）. a b c d 9.从某地区 15000 位老人中随机抽取 500 a b 1 l22yx 2 l4byax 1 l2l1l2l 12 3 1 6 1 121 a b c 3 4 5 人，其生活能否自理的情况如下表所示：则该地区生活不能自理的老人中男性比女性约多 人。 10.从某学校高三年级 800 名学生中随机抽取 50 名测量身高，据测量被抽取的学生的身高 全部介于 155cm 和 195cm 之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组第二组；第 八组，右图是按上述分组方法得到的条形图. () 根据已知条件填写下面表格： 组 别 12345678 样 本数 () 估计这所学校高三年级 800名学生中身高在 180cm 以上（含 180cm）的人数； )155,160)160,165190,195 () 在样本中，若第二组有 1 人为男生，其余为女生，第七组有 1 人为女生，其余 为男生，在第二组和第七组中各选一名同学组成实验小组，问：实验小组中恰为一男一女 的概率是多少？ 11.已知集合，在平面直角坐标系中，点的坐标 xa，ya。计算： （1）点正好在第二象限的概率； （2）点不在x 轴上的概率； （3）点正好落在区域上的概率。 12.设方程的系数和分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数 ()求方程有两个不等实根的概率； 4, 2,0,1,3,5a= -(),m x y m m m8 0 0 0 xy x y +- 2 0xbxc+= b c 2 0xbxc+= 0 月收入（元） /频率 组距 4000350030002500200015001000 0.0008 0.0004 0.0003 0.0001 ()求方程没有实根的概率； 13.在国庆 60 周年前夕，我市物价部门对本市五个商场销售的某件商品一天的销售量及其 价格进行调查。五个商场的售价 x 元和销售量 y件之间的一组数据如下表： 价格x99.5 1010.511 销售量 y11108 65 通过分析，发现销售量 y 对商品的价格 x 具有线性相关关系，那么销售量 y 对商品价 格x 的回归直线方程为： a b c d 14.右图是某市有关部门根据 对某地干部的月收入情况调 查后画出的样本频率分布直 方图， 已知图中第一组的频数为400 0.请根据该图提供的信息解答 下列问题：（图中每组包括 左端 点，不包括右端点，如第一 组表示收入在 1）样本中月收入在的人数有 人（2）为了分析干部的收入与年龄、职业等方面的关 系，必须从样本的各组中按月收入再用分层抽样方法抽出人作进一步分析，则月收入在的 2 0xbxc+= $ 338yx= -+ $ 322yx=- $ 3.224yx=- $ 3.240yx= -+ )1500,1000 2500,3500)1001500, 2000) 这段应抽 人（3）估计样本数据的中位数为 15.我市高三年级一模考试后，市教研室为了解情况，随机抽取 200 名考生的英语成绩统计 如下表： 英语成绩759090105105120120135135150 考生人数2030804030 （1）列出频率分布表 （2）画出频率分布直方图及折线图 （3）估计高三年级英语成绩在 120分以上的概率 16.小明、 小华用 4张扑克牌（分别是黑桃 2、 黑桃 4，黑桃 5、 梅花 5）玩游戏，他们将扑克牌 洗匀后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回，各抽一张。 （）若小明恰好抽到黑桃 4； 请绘制出这种情况的树状图 求小华抽出的牌的牌面数字比 4大的概率。 （）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之，则 小明负，你认为这个游戏是否公平，说明你的理由。 o 19题图 181716 151413秒 频率 组距 0.06 0.08 0.16 0.32 0.38 17.某班名学生在一次百米测试中，成绩全部介于秒与秒之间，将测试结果按如下方式 分成五组：第一组，第二组，第五组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直 方图。 （）若成绩大于或等于秒且小于秒 认为良好，求该班在这次百米测试中 成绩良好的人数； （）若从第一、五组中随机取出两个成绩， 求这两个成绩的差的绝对值大于的概率。 501318 13,14)14,15)17,18 1416 1 18.某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出 60 名学生，将其成绩（均为整数）分成六 段，后画出如下部分频率分布直方图.观察图形的信息，回答下列问题： （）求第四小组的频率，并补全这个频率分布直方 图； () 估计这次考试的及格率（60 分及以上为及格）和 平均分； 概率统计试题（文数） 1.方程有实数解，即 1 分 依题意，、 、 、 、 、 ，、 、 、 、 、 ，所以，“投掷两枚均匀骰子出现的点数”共有种结果(列表) 2 分 当且仅当“且、”，或“且、”，或“且”时， 50,4060,50100,90 0) 2 3(4)( 2 ab ba 12 22 ba 1a 2 3 4 5 6 1b2 3 4 5 6 3666 1a1b2 3 2a1b2 3a1b 12 22 ba12 22 ba 30) 123(36 6 5 36 30 )(ap 不成立5 分，所以满足的结果有种5分，从而6 分 在平面直角坐标系中，直线与围成一个正方形7 分 正方形边长即直线与之间的距离为8 分 正方形的面积10分，圆的面积为10分 圆在正方形内部12分，所以12分 2.（）由题可知， 第2 组的频数为 人, -1分 第3 组的频率为, -2 分 频率分布直方图如下: -5分 （）因为第3、4、5 组共有60 名学生,所以 利用分层抽样在60名学生中抽取6 名学生,每组分别为: 第3 组:人, 第 4 组:人, aob 6ba6ba 6ba6ba 26 2 66 d 72 2 ds12 22 ba12 / s 6 6 72 1272 )( / s ss ap 0.35 10035 30 0.300 100 = 30 63 60 20 62 60 频率分布直方图频率分布直方图 频率频率 组距组距 成绩成绩 0 0. .0808 0 0. .0707 0 0. .0606 0 0. .0505 0 0. .0404 0 0. .0303 0 0. .0202 0 0. .0101 185185180180175175170170165165160160 第5 组:人, - 8分 所以第3、4、5 组分别抽取3人、2 人、1人。 180,185 123 ,a a a 12 ,b b 1 c （）设第3 组的3位同学为,第 4组的 2 位同学为,第5 组的1位同学为, 则从六位同学中抽两位同学有 15 种可能如下: 其中第 4 组的 2 位同学为至少有一位同学入 选的有: 9中可能, 所以其中第4组的2 位同学为至少有一位同学入选的概率为 - 12 分 3. 解：结果有以下 6 种：（1，2），（1，3），（1，4）（2，3）,（2，4）, （3，4）。 -4 分 12 (,),a a 13 (,),a a 11 (,),a b 12 (,),a b 11 (,),a c 23 (,),a a 21 (,),a b 22 (,),a b 21 (,),a c 31 (,),a b 32 (,),a b 31 (,),a c 12 (,),b b 11 (,),b c 21 (,),b c 12 ,b b 11 (,),a b 12 (,),a b 21 (,),a b 22 (,),a b 31 (,),a b 12 (,),b b 32 (,),a b 11 (,),b c 21 (,),b c 12 ,b b 93 155 = （1）、取出的两个球上标号为相邻整数的结果有以下 3 种 （1，2），（2，3）， （3，4）-6 分 故所求概率p= 答：取出的两个球上标号为相邻整数的概率是-8 分 （2）、 取出的两个球上标号之和能被 3整除的结果为（1，2），（2，4）共两种-10分 故所求概率p=。答：取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率取-12 分 4.d. 5.解: (1).设该厂本月生产轿车为 n 辆,由题意得,所以 n=2000. z=2000-100-300-150-450- 600=400 3分 (2) 设所抽样本中有 m 辆舒适型轿车,因为用分层抽样的方法在 c 类轿车中抽取一个容量为 5 的样本,所以,解得 m=2 也就是抽取了 2 辆舒适型轿车,3 辆标准型轿车,分别记作 s1,s2;b1,b2,b3,则从中任取 2 辆的所有基本事件为(s1, b1), (s1, b2) , (s1, b3) (s2 ,b1), (s2 ,b2), (s2 ,b3),( (s1, s2),(b1 ,b2), (b2 ,b3) ,(b1 ,b3)共 10 个,其中至少有 1 辆舒适型轿车 的基本事件有 7 个基本事件: (s1, b1), (s1, b2) , (s1, b3) (s2 ,b1), (s2 ,b2), (s2 ,b3),( (s1, s2),所以从中任取 2辆,至少有 1辆舒适型轿车的概率为. 7 分 (3)样本的平均数为, 那么与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的数为 9.4, 8.6, 9.2, 8.7, 9.3, 9.0 这 6 个数,总 的个数为8,所以该数与样本平均数之差的绝对值不超过 0.5 的概率为.12 分 6.不及格的人数是：人，及格人数是：人；优秀率： 7.解（）（a,b）所有可能的情况共有 66=36 种情况（如下图） （1，1）（1，2）（1，3）（1，4）（1，5）（1，6） （2，1）（2，2）（2，3）（2，4）（2，5）（2，6） （3，1）（3，2）（3，3）（3，4）（3，5）（3，6） （4，1）（4，2）（4，3）（4，4）（4，5）（4，6） （5，1）（5，2）（5，3）（5，4）（5，5）（5，6） （6，1）（6，2）（6，3）（6，4）（6，5）（6，6） 2 分 2 1 6 3 2 1 3 1 6 2 3 1 5010 100300n = + 400 10005 m = 7 10 1 (9.48.69.29.68.79.39.08.2)9 8 x=+= 75. 0 8 6 ()0.005 100.015 101000200创=1000 200800-=0.01 20 100%20%=创 （1，2）、（2，4）、（3，6）三种 故p6 分 （）（1，2）、（3，6）两种10分 12 8.d 9.60 10.解: （）由条形图得第七组频率为 1 分 第七组的人数为3 人 组别12345678 样本 中人数 241 0 1 0 1 5 432 （）由条形图得前五组频率为 (0.008+0.016+0.04+0.04+0.06)5=0.82， 4 分 后三组频率为 10.82=0.18 5 分 估计这所学校高三年级身高在 180cm 以上（含 180cm）的人数 8000.18=144（人） 7 分 有而相交与ababll2,2 21 12 11 36 3 1)( 21 相交l、l 共有平行与, 2 2 2 4 21 21 a abba ll 18 1 36 2 )/( 21 llp 1 (0.04 20.08 20.2 20.3)0.06,0.06 503-= 3 分 () 第二组四人记为、，其中a为男生，b、c、d 为女生，第七组三人记为 1、2、3， 其中1、2 为男生，3为女生，基本事件列表如下： abcd 11a1b1c1d 22a2b2c2d 33a3b3c3d 所以基本事件有 12 个 10 分 a b c d 7 12 恰为一男一女的事件有 1b，1c，1d，2b，2c，2d，3a；共 7 个 因此实验小组中，恰为 一男一女的概率是. 12分 11.解：满足条件的点共有个 1 分 （1）正好在第二象限的点有 , 3分 故点正好在第二象限的概率p1=. 4 分 （2）在x轴上的点有, 6 分 故点不在x 轴上的概率 p2=1=. 8 分 （3）在所给区域内的点有, 10分 故点在所给区域上的概率 11分 答：（1）点正好在第二象限的概率是，（2）点不在 x 轴上的概率是，（3）点在所给区域 上的概率 12 分 12.（i）基本事件总数为(列表)1 分 若使方程有两个不等实根，则，即.2 分 当时，当时，；当时，； 当时， 当时，； 当时，, 目标事件个数为4+4+3+2+2+2=17. 因此方程 有两个不等实根的概率为.7 分 m6636 ( 4,1)-( 4,3)-( 4,5)-( 2,1)-( 2,3)-( 2,5)- m61 366 = ( 4,0)-( 2,0)-(0,0)(1,0)(3,0)(5,0) m6 36 5 6 ()1,1()1,3()1,5()3,1()3,3()5,1 m 3 61 366 p= m1 6 m5 6 m1 6 6 636 04 2 cbcb2 1c=3,4,5,6b=2c=3,4,5,6b=3c=4,5,6b= 4c=5,6b=5c=5,6b=6c=5,6b= 2 0xbxc+= 36 17 2 0xbxc+=04 2 cbcb2 (ii) 若方程有两个相等实根，则，即.8 分 又，所有满足该条件的b,c 只有两组，当时，b=2；当时，b=4； 因此方程 有两个相等实根的概率为. 所以，方程没有实根的概率是12分 13.d 14.2000、20、175 15.（1）频率分布表 成绩频数频率 7590200.10 90105300.15 105120800.40 120135400.20 130150300.15 合计2001.00 5 分 （2）画出频率分布直方图及折线图5分 （3）估计120分以上的概率为 0.15+0.20=0.354 分 16.解：（） 小明抽出的牌 小华抽出的牌 结果 2 （4，2） 4 5 （4，5） 3分 5 （4，5） 由可知小华抽出的牌面数字比 4大的概率