巧用圆锥曲线极坐标方程解题.pdf

第6聊 高中毅学教 与学 巧用圆锥曲线极坐标方程解题 姜 文 ( 贵州省贵州师范大学数学与计算机科学学院， 5 5 0 0 0 1 ) 圆锥曲线的焦点弦问题是高考考查的热 点， 也是重点， 这类问题运算的繁琐使得考生 望而生畏 圆锥 曲线 的极 坐标 方 程 给解 决 这 一 类 问题带来方便 ， 下面举 例说 明， 旨在抛 砖 引玉 一 、圆锥 曲线 的统一极坐标 方程 如图 1 ， 以定点 0为极点， 使极轴 0 所在 的直线垂直 于定直线 z 且 的反 向延 长线交 z 于点a 设 p( p ， 0 )为圆锥曲线上的任意一点， 贝 i o p i =p ， p o x =0 ， i p i= i o a l + p c o s 0=p+ p c o s 0 ， 根据圆锥 曲线 的统一定义 有 一! 一 。 解得p= 式即为圆锥曲线的极坐标方程， 其中p 是焦点到准线的距离， e 为离心率 ， 焦点位于 极点， 极轴是圆锥曲线的对称轴 当01 时， 式表示以右焦点为极点 的双曲线的右支 ， 若 允许 p 1时， 式表示 以左焦 点为极点的双曲线的左支， 若允许 p 0 y 2 = 3a +2 6+ 2 = 1 0+ 2 1 0+( ) +( ) = 1 0 + 3 a +2 b = 2 0 y , 2 0 =2 , 5 评注 本 题 将解 析 式 两 边平 方 构 造 出 和为定值” ， 为利用基本不等式创造了条件 1 5 高中数学教 与学 2 0 1 5生 p= ， l a m ! 、 、 、l 图 3 图 4 其 中p是焦点到准线的距 离 ， e 为离 心率 ， 焦点位于极点 当01时， 式表示以上焦点为极点的双陆线的上支 ， 若允许p b 0 ) 的 离 心 率 为 ， 过 椭 a d 圆右焦点f作两条互相垂直的弦 与 c d， 当 直线 a b的斜率为0时 ， 弦 a b的长为 4 ( 1 ) 求 椭圆的方程 ； ( 2 ) 若 i a bi + l c dl ： ， 求直线 a b的 方程 高中数学教与学 l ， c 图 7 有时问题不能直接用极坐标解答 ， 但只 要稍作转化即可 请看下面的例题 ： 例 3 ( 2 0 1 4年全 国高考题 ) 设 f ， 是 椭圆c ： + 告 = 1 a b 0 ) 的 左， 右焦点， 是 c上一点且 mf ： 与 轴垂直 ， 直线 mf 与 c的另一个交点为 _ 若直线 mn在 y轴上 的 截距为2 ， 且 i mn i =5 i f 。 j 7 ， i ， 求 a ， b的值 解 以 f 。 为极点， f 。 为极轴建立极坐 标 系 ， 设 f 。 f 2= ， 则 m( p 。 ， 0 ) ， n( p ： ， 0+ 叮 r ) ， 椭圆的极坐标方程为p=r= = _ 所以p 。 = ，p z= 而 一 翌 一 1 +e c o s 0 由 i mn i ：5 l f 。 i 可得 l mf 。 i ：4 i 。i ， 即p 。 =4 p ： 故 m( o ， 4 ) ， 代人椭 圆方程 ， 可得 b =4 a ， 又 t a n 0 = 三 ， 从 而 c 0 s 0 = ，其中c 为半焦距 由p ，=4 p 得 e c o s 2 + c = ，将 e = 詈 ， c 0 啪= 志代 人 化 简 得 2 5 c 一9 0 c 一3 6 0 = 0 ( ) 由 b =4 a ， 得 c =a 一 4 a ， 代人 ( ) 式 化 简得 4a 一41 a +9 1 = 0 解得 a=7 ， 从而 b=2 以上从解题 的角度