离散时间风险模型下有限时间破产概率的近似（论文） .pdf

倡 2013 年2 月 第19 卷第1 期 安庆师范学院学报（自然科学版） journal of anqing teachers college（natural science edition） feb 2013 vol 19 no 1 离散时间风险模型下有限时间破产概率的近似 宗志迅，李志民，郭红财 （安徽工程大学 数学与应用数学学院，安徽 芜湖 ） 摘 要： 本文研究离散时间风险模型且个体净风险是重尾的有限时间内破产概率。 在考虑利率的个体净风险的分 布函数满足一些合理的假设条件下，利用随机变量加权和的概率方法，得到保险公司的有限时间破产概率近似表达式。 关键词： 个体净风险；重尾分布；亚指数分布；有限时间破产概率 中图分类号： 文献标识码： 文章编号： （） 引 言 鉴于亚指数分布族在风险理论中有重要的应 用，国内外不少学者对它做过大量的研究，风险独 立的情况下已经获得丰富的成果。文献 在更 新风险模型下假设风险变量的分布函数属于亚指 数分布族，给出带常利息力和常保费率的有限时 间和无限时间完全破产概率的近似表达式。文献 在假设分布函数fa（如果在（，） 上 的 一 分 布 函 数 是 亚 指 数 的 且 有 一 个 下 指数，称分布函数 f 是属于 a 族（通 过族 a 的定义知 a 是 s 的一个子族） 的条件下， 得到带常利息离散时间风险模型无限时间破产概 率的近似式，在风险相关的情形下，学者也取得了 不少的结果，文献 考虑不同风险变量的分布 函数都属于亚指数分布族，同时两分布函数的卷 积也属于亚指数分布族的条件下得到随机变量和 尾概率的近似式。 以上文献考虑的都是带常利息的风险模型， 本文在离散时间风险模型下，考虑利率是阶段性 变化的，同时假定个体净风险是相关的，对随机变 量的生存函数作一些合理的假定，在不同的重尾 分布族下求得有限时间破产概率的近似表达式。 相关定义和引理 考虑离散时间风险模型的一个递推表达式为 uiui （ ri） x，i ，（） ux代表保险公司的初始盈余，ri， 是从时刻i 到时刻i 的第i 个时间段的利率，xi 是该时间段的个体净风险，支撑为（ ，），fi 是随机变量 xi的分布函数。保险公司在此离散时 间风险模型下的有限时间区间，n 内的破产概 率定义为： （x，n） pr（un ux），x 如果令x ixi i k （ rk） ，sn n i x i，i ，n，x ，xn的分布函数分别为 f， f n。上述有限时间破产概率定义式也可以写成利 率贴现形式 （x，n） pr（sn x），x 。 定义 个体净风险是模型（） 中时刻 i 的 索赔额与时段 i 所收保费的差额。 定义 对于无穷小量 a（x） 和 b（x）， 当 x a（x） b（x） 时，记 a（x） 磦 b（x）； 当 x a（x） b（x） 时，记 a（x） 磥 b（x）； 当 x a（x） b（x） 和 x a（x） b（x） 同时满足 时，记 a（x） b（x）。 定义 称分布函数 f 属于 l 类（长尾 类），若对 橙y r 有： x f（x y） f（x） 倡收稿日期： 作者简介： 宗志迅，男，安徽六安人，硕士研究生，研究方向为金融数学与金融工程。 通讯作者： 李志民，男，安徽芜湖人，博士，安徽工程大学数学与应用数学学院副教授，研究方向为随机过程及应用。 定义 称定义在，） 上的分布函数f 属于 s（ ），（ ） 当且仅当 （） u f 倡（u） f（u） e xf（x） ； （） u f（u x） f（u） e x，橙x r。 注 当 ，即f 倡（x） f（x） 时， s（ ） s。通俗来讲，一个支撑为（ ，） 的分 布函数f如果满足f （x） f（x） （x）（x）是 示性函数） 属于亚指数分布族，即 f s。 定义 称分布函数 f 属于 d 类（占优分 布族），若对 橙t ，有： x f x t f（x） 引理 对两个独立随机变量 x 和y，如果x 的分布函数 f s，y是一个有上端点的非负随机 变量，满足： y p（y y） 则乘积变量 xy 的分布函数 h 属于 s。 证明 存在一函数g，对于一些常数c 使 g（a（ct） o（f（t） 得成立，其中a（t） （，） （，），即 t g（a（t） h（t） （） 根据条件设 a（t） d t， t d n t dn dndn ，d n t dn，n ， d， d t d f（u ） f（u） ，u t 依此类推，对于 n dn t dn f（u （n ） f（u） n ，u t 由以上的过程可以推出，当 t 时， a（t） ， t a（t） （） 因为 f s，所以 t f（t a（t） f（t） （） 联立（） ，（） 和（），得到 h s 。 假设 存在两个正数 x和 h，对 x ix， x jx， i n，饱 j 炒，n i 使 得不等式 pr（x ixi xjxj，j j） h fi（xi） 成立。 引理 假设随机变量 x，xn，x ， x n的分布函数分别是 f，fn，f，fn，如 果fks，f i倡fjs， kn， ijn， 假设 成立，那么 pr（snx） n k f k（x） 证明 假设有一些函数 a（ ） ，） ，） 满足 a（x） ，a（x） o（x），由标准的 截尾论证有 pr（snx） n k pr（snx，x kx a（x） i jnp r（xix a（x），xjx a（x） n k pr（sn x ka（x），xkx a（x） o（） n k f k（x） n k pr（x kx a（x） n k pr（sn x k a（x），xkx a（x） o（） n k f k（x） n k f k（x） 由此得 pr（snx） n k f k（x） （） 另因pr（snx） pr n k x k x，对每一 个非负的 x k，有 pr（snx） pr（ n k （x kx a（x） pr（snx， n k （x kx a（x） n k pr（x kx a（x） pr（snx，a（x） n k x kx a（x） 磦 n k f k（x） n k pr（snx，a（x） x kx a（x） n k f k（x） n k x a（x） a（x） pr（sn x kx y x ky）fk（y） n k f k（x） o（） n k f k（x） 得到 pr（snx） 磦 n k f k（x）（） 联立（） 和（） 有：pr（snx） n k f k（x） 主要结果和证明 在带阶段性利率的离散时间风险模型的情形下，考 安庆师范学院学报（自然科学版） 年 虑个体净风险是相关的，对其重尾分布函数作了一些合 理假设得到有限时间破产概率的近似表达式。 定理 假设随机变量x，xn，x ，xn的分 布 函 数 分 别 是 f，fn，f ，fn， 如 果 x ixjp r（ xixi xjxj） ，xi xj （xi，xj），fkdl，ijn，k ，n，那么 （x，n） n k f（ r）（ ri）x） 证明 由dl彻s 和引理知f kdl。 由文献知存在两个序列xl和b（xl）满足xl， b（xl） ，l 和f k（xl b（xl） fk（xl），k ， ，n，注意到 pr（snxl） pr（snxl，x （n）xlb（xl） pr（snxl，x （n）xlb（xl） pr（snxl，x （n）xlb（xl） pr（snxl， n k x kxlb（xl） n k pr（x k（xlb（xl） n k pr snx kb（xl），xkx l n j（xl） j（xl） 显然有j（xl） n k f k（xl）， j（xl） n k pr sn x kb（xl），xkx n kjnp rx j b（xl） n ，x kx n kjnp rx j b x n x kx n pr x kx n o（） n k f k（xl） 最后一步是由 d 族的定义得来。 因此得到： x pr（snx） n k f k（x） 由 f，fn l 和 x ixjp r（ xi xi xj xj） 得到： x pr（snx） n k f k（x） 于是 x pr（snx） n k f k（x） 重复以上步骤也能得到： x pr（snx） n k f k（x） 于是证明了 （x，n） pr（sn x） n i f（ r）（ ri）x） 同样考虑个体净风险的分布函数属于亚指数 分布族（d l 彻 s ） 的，放宽假设条件，进一步 研究有限时间破产概率，见以下定理。 定理 在假设成立的条件下，如果随机变 量 xk的分布函数fks，x i，xj的分布函数fi， f j满足 fi倡fj s，那么有限时间破产概率为 （x，n） n i f（ r）（ ri）x） 证明 由 fk s，rk ，k ，n， n （ r）（ rn） 满足引理 使 得 f k s 成立，得到有限时间破产概率 （x，n） pr（un ux） pr n i x iu ux pr n i x i（ r）（ ri） x n i pr（x i（ r）（ ri） x） n i f（ r）（ ri）x） 倒数第二步由引理 得，证明结束。 注 当 r，rn相等时，即利率是常利率 时，能得到类似文献 的结果。 参考文献： ， ， ， （）： - - ， ， （）： ， - ， ， （）： 陈琳，刘维奇 重尾分布族及其关系图 高校应用数学学 报， ， （）： ， ， ， ， （）： ， ， 第 期 宗志迅，李志民，等：离散时间风险模型下有限时间破产概率的近似 ， ， （）： ， ， ， ， （）： estimates of the ruin probability in the discrete time risk model - ， - ， - （ ， ， ， ， ） abstract： ， ， ， key words： ， ， ， （上接第 页） 结束语 给出一类带有形状参数的 型基函 数，并定义了带形状参数的 型曲线和张量 积 型曲面，该曲线可以精确表示抛物线、椭 圆弧等常见曲线，该曲面不仅可以精确表示椭球 面（球面）等二次曲面，而且不需要多片曲面的拼 接即可达到用户较满意的精度，因此本文所构造 的曲线与曲面是一种比较有效的曲线曲面造型方 法，在工程与实物造型中有一定的实用价值。 参考文献： 王国瑾， 汪国昭，郑建民计算机辅助几何设计北京： 高等教育出版社，柏林：施普林格出版，： ， - ， ， （）： 吴晓勤 带形状参数的 曲线 中国图象图形学报， ，（）： 刘植，陈晓彦等 一类形状可调的拟 曲线 中国图 象图形学报，（）： 丁敏，汪国昭 基于三角和代数多项式的 曲线 计算机学报，（）： 苏本跃，黄有度一类 型三角多项式曲线高等学 校计算数学学报， ，： ： ，： ， ，： ， - ，： ， ， - ，： ， ： ， ， ，： ， ， ： ， - - ， parameter bzier type curve surface and its application - ， - ， - （ ； ， ， ， ， ） abstract： ， - ， （） ， - ， ， key words： ； ， ， 安庆师范学院学报（自然科学版） 年 离散时间风险模型下有限时间破产概率的近似离散时间风险模型下有限时间破产概率的近似 作者：宗志迅， 李志民， 郭红财 作者单位：安徽工程大学 数学与应用数学学院,安徽 芜湖 241000 刊名： 安庆师范学院学报(自然科学版) 英文刊名：journal of anqing teachers college(natural science) 年，卷(期)：2013(1) 参考文献(8条)参考文献(8条) 1.d.g.konstantinides;k.w.ng;tang qihe the probabilities of absolute ruin in the renewal risk model with constant force of interest 2010(47) 2.tang qihe the ruin probability of a discrete time risk model un-der constant interest rate with heavy tails 2004(12) 3.jaap geluk;tang qihe asymptotic tail probabilities of sums of dependent subexponential random variables 2009(22) 4.陈琳;刘维奇 重尾分布族及其关系图期刊论文-高校应用数学学报 2009(02) 5.cline,d.b.h;samorodnitsky,g subexponentiality of the product of independent random variables 1994(01) 6.kong fanchao larg