2016年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）含答案解析.doc

2016年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若复数z满足z（i1）=（i+1）2（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）a1b1cidi2设全集u=r，a=x|0，ua=x|1x1，则m的值为（）a1b0c1d23已知命题：px（0，），sinx+cosx1恒成立，命题q：x（0，），使2x3x，则下列结论中正确的是（）a命题“pq”是真命题b命题“p（q）”是真命题c命题“（p）q”为真命题d命题“（p）（q）”是真命题4等比数列an中，sn表示其前n项和，a3=2s2+1，a4=2s3+1，则公比q为（）a2b3c2d35执行如图所示的程序框图，如果输入的t2，2，则输出的s属于（）a6，2b5，1c4，5d3，66将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位后，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，则|的最小值为（）a b c d7在边长为2的正方形ap1p2p3中，点b、c分别是边p1p2、p2p3的中点，沿ab、bc、ca翻折成一个三棱锥pabc，使p1、p2、p3重合于点p，则三棱锥pabc的外接球的表面积为（）a4b6c12d248如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kxy的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）a1b2c3d49多项式（x2x+2）5展开式中x3的系数为（）a200b160c120d4010从底面为直角三角形的直三棱柱的9条棱中任取两条，则这两条棱互相垂直的概率为（）a b c d11如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）a1b c d212已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间m上的函数，若对任意的xm，存在常数x0m，使得f（x）f（x0），g（x）g（x0），且f（x0）=g（x0），则称f（x）与g（x）在区间m上是“相似函数”若f（x）=ax2+2（a1）x2lnx+b（a，br）与g（x）=x+在区间，2上是“相似函数”，则a，b的值分别是（）aa=1，b=1ba=1，b=1ca=1，b=1da=1，b=1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设向量，是夹角为的单位向量，若=+2， =，则|+|=14已知函数f（x）=是定义在（1，1）上的奇函数，则f（）=15已知各项都为正数的数列an的前n项和sn满足sn=数列bn满足bn=，则数列bn的前n项和tn=16已知圆c的方程为（x1）2+y2=1，p是椭圆+=1上一点，过点p作图c的两条切线，切点为a，b，则的最小值是三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知（2ca）cosb=bcosa，且b=6（1）求角b的大小；（2）设abc的两条中线ae、cf相交于点d，求四边形bedf面积的最大值18模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否则为非优秀，统计成绩后，得到如下的22列联表，已知在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为 优秀非优秀合计甲班20乙班40合计100（1）请完成上面的22列联表；（2）根据列联表的数据，若按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？（3）在“优秀”的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生人数的分布列和数学期望参考公式与临界值表：k2=p（k2k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.82819如图，在四棱锥pabcd中，pc底面abcd，abcd是直角梯形，abad，abcd，ab=2ad=2cd=2e是pb的中点（）求证：平面eac平面pbc；（）若二面角pace的余弦值为，求直线pa与平面eac所成角的正弦值20已知椭圆c： +=1（ab0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2（）求椭圆c的标准方程；（）设不过原点o的直线l与椭圆c交于两点m、n，且直线om、mn、on的斜率依次成等比数列，求omn面积的取值范围21已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若任意x（0，1），f（x）（a，b）恒成立，求ba的最小值选做题：请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，已知ab是圆o的直径，c、d是圆o上的两个点，ceab于e，bd交ac于g，交ce于f，cf=fg（）求证：c是劣弧的中点；（）求证：bf=fg选修4-4：坐标系与参数方程23在平面直角坐标系xoy中，已知直线l：（t为参数）经过椭圆c：（为参数）的右焦点f（1）求m，n的值；（2）设直线l与椭圆相交于a，b两点，求|fa|fb|的取值范围选修4-5：不等式选讲24设函数f（x）=|2x1|+|ax1|（a0）（1）当a=2时，解不等式4f（x）f（0）（2）若对任意xr，不等式4f（x）f（0）恒成立，求实数a的取值范围2016年江西省九江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1若复数z满足z（i1）=（i+1）2（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）a1b1cidi【考点】复数代数形式的混合运算【分析】根据复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法即可求出【解答】解：z（i1）=（i+1）2（i为虚数单位），z=1i，故选：b2设全集u=r，a=x|0，ua=x|1x1，则m的值为（）a1b0c1d2【考点】补集及其运算【分析】根据a的补集及全集u=r，确定出a，进而求出m的值【解答】解：全集u=r，ua=x|1x1，a=x|x1或x1，由a中不等式变形得：（x1）（x+m）0，解得：xm或x1，则m=1，故选：c3已知命题：px（0，），sinx+cosx1恒成立，命题q：x（0，），使2x3x，则下列结论中正确的是（）a命题“pq”是真命题b命题“p（q）”是真命题c命题“（p）q”为真命题d命题“（p）（q）”是真命题【考点】复合命题的真假【分析】分别判断出命题p，q的真假，从而得到答案【解答】解：命题：p：x（0，），sinx+cosx=sin（x+）（1，；p真，命题q：x（0，），1，3x2x，故q是假命题，故pq假，a错误，p（q）真，b正确，（p）q假，c错误，（p）（q）假，d错误；故选：b4等比数列an中，sn表示其前n项和，a3=2s2+1，a4=2s3+1，则公比q为（）a2b3c2d3【考点】等比数列的通项公式【分析】由a3=2s2+1，a4=2s3+1，两式相减可得：a4a3=2a3，即可得出【解答】解：由a3=2s2+1，a4=2s3+1，两式相减可得：a4a3=2a3，可得q=3，故选：d5执行如图所示的程序框图，如果输入的t2，2，则输出的s属于（）a6，2b5，1c4，5d3，6【考点】程序框图【分析】根据程序框图，结合条件，利用函数的性质即可得到结论【解答】解：若0t2，则不满足条件输出s=t33，1，若2t0，则满足条件，此时t=2t2+1（1，9，此时不满足条件，输出s=t3（2，6，综上：s=t33，6，故选：d6将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位后，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，则|的最小值为（）a b c d【考点】函数y=asin（x+）的图象变换【分析】由函数y=asin（x+）的图象变换规律可得函数解析式为：y=sin（2x+），其周期t=，由题意可得（，0），（，0）两点在函数图象上，可得：sin（+）=0，sin（+）=0，从而解得=k+，=k，（kz），即可得解|的最小值【解答】解：将函数y=sin（2x+）的图象向左平移个单位后，可得函数解析式为：y=sin（2x+），其周期t=，其图象离原点最近的两个零点到原点的距离相等，（，0），（，0）两点在函数图象上，可得：sin（2（）+=sin（+）=0，sin（2+）=sin（+）=0，解得：=k+，=k，（kz），|的最小值为：故选：b7在边长为2的正方形ap1p2p3中，点b、c分别是边p1p2、p2p3的中点，沿ab、bc、ca翻折成一个三棱锥pabc，使p1、p2、p3重合于点p，则三棱锥pabc的外接球的表面积为（）a4b6c12d24【考点】球的体积和表面积【分析】根据题意，得折叠成的三棱锥pabc三条侧棱pa、pb、pc两两互相垂直，可得三棱锥pabc的外接球的直径等于以pa、pb、pc为长、宽、高的长方体的对角线长，由此结合ap=2、bp=cp=1算出外接球的半径r=，结合球的表面积公式即可算出三棱锥pabc的外接球的表面积【解答】解：根据题意，得三棱锥pabc中，ap=2，bp=cp=1pa、pb、pc两两互相垂直，三棱锥pabc的外接球的直径2r=可得三棱锥pabc的外接球的半径为r=根据球的表面积公式，得三棱锥pabc的外接球的表面积为s=4r2=4（）2=6故选：b8如果实数x，y满足不等式组，目标函数z=kxy的最大值为6，最小值为0，则实数k的值为（）a1b2c3d4【考点】简单线性规划【分析】首先作出其可行域，再由题意讨论目标函数在哪个点上取得最值，解出k【解答】解：作出其平面区域如右图：a（1，2），b（1，1），c（3，0），目标函数z=kxy的最小值为0，目标函数z=kxy的最小值可能在a或b时取得；若在a上取得，则k2=0，则k=2，此时，z=2xy在c点有最大值，z=230=6，成立；若在b上取得，则k+1=0，则k=1，此时，z=xy，在b点取得的应是最大值，故不成立，故选b9多项式（x2x+2）5展开式中x3的系数为（）a200b160c120d40【考点】二项式系数的性质【分析】（x2x+2）5=（x2x+2）（x2x+2）（x2x+2）（x2x+2）（x2x+2），分类讨论：三个括号取2，一个括号取x2，一个括号取x，得x3的系数为两个括号取2，三个括号取x，得x3的系数为即可得出【解答】解：（x2x+2）5=（x2x+2）（x2x+2）（x2x+2）（x2x+2）（x2x+2），三个括号取2，一个括号取x2，一个括号取x，得x3的系数为=160两个括号取2，三个括号取x，得x3的系数为=40展开式中x3的系数为200，故选：a10从底面为直角三角形的直三棱柱的9条棱中任取两条，则这两条棱互相垂直的概率为（）a b c d【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数，再求出这两条棱互相垂直包含的基本事件个数，由此能求出这两条棱互相垂直的概率【解答】解：从底面为直角三角形的直三棱柱的9条棱中任取两条，基本事件总数n=，这两条棱互相垂直包含的基本事件个数m=36+2+2=22，这两条棱互相垂直的概率p=故选：c11如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的各个面中最大面的面积为（）a1b c d2【考点】简单空间图形的三视图【分析】由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，求出面积，即可得出结论【解答】解：由题意，几何体为有一侧棱垂直于底面的三棱锥，有3个面是全等的等腰直角三角形，面积为=2，另一侧面是等边三角形，边长为2，面积为=2，所以该几何体的各个面中最大面的面积为2，故选：d12已知函数f（x）和g（x）是两个定义在区间m上的函数，若对任意的xm，存在常数x0m，使得f（x）f（x0），g（x）g（x0），且f（x0）=g（x0），则称f（x）与g（x）在区间m上是“相似函数”若f（x）=ax2+2（a1）x2lnx+b（a，br）与g（x）=x+在区间，2上是“相似函数”，则a，b的值分别是（）aa=1，b=1ba=1，b=1ca=1，b=1da=1，b=1【考点】函数的值域【分析】由基本不等式求得g（x）的最小值及取最小值时x0的值，再利用导数求得使f（x）取得最值时的a值，然后再代入f（x0）=2求得b值【解答】解：当x，2时，g（x）=x+2，当且仅当x=1时取等号，x0=1，g（x0）=2；f（x）=2ax+2（a1）=，x，2，当a0时，f（x）0，故函数f（x）在，2上单调递减，不合题意；当a0时，由f（x）0，得0，f（x）0，得x，故函数f（x）在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，依题意得，即a=1，解得：b=1故选：a二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13设向量，是夹角为的单位向量，若=+2， =，则|+|=sqrt3【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据平面向量的线性运算，求出+，再利用数量积求模长【解答】解：向量，是夹角为的单位向量，且=+2， =，+=2+；=+4+=412+411cos+12=3，|+|=故答案为：14已知函数f（x）=是定义在（1，1）上的奇函数，则f（）=2【考点】函数奇偶性的性质【分析】根据函数奇偶性的性质建立方程关系进行求解即可【解答】解：f（x）=是定义在（1，1）上的奇函数，f（0）=0，即=0，则f（x）=，f（x）=f（x），=，整理得bx=bx恒成立，则b=0，则f（x）=，则f（）=，故答案为：215已知各项都为正数的数列an的前n项和sn满足sn=数列bn满足bn=，则数列bn的前n项和tn=fracn2n+1【考点】数列的求和【分析】由条件可得a1=1，再将n换为n1，两式相减可得anan1=1，再由等差数列的通项公式可得an=n，则bn=（），再由数列的求和方法：裂项相消求和即可得到所求和【解答】解：sn=，当n1时，sn1=，两式相减可得，2an=（anan1）（an+an1）+anan1，即为an+an1=（anan1）（an+an1），由an0，可得anan1=1，当n=1时，a1=s1=，解得a1=1，则an=1+n1=n，bn=（），则bn的前n项的和tn=（1+）=（1）=故答案为：16已知圆c的方程为（x1）2+y2=1，p是椭圆+=1上一点，过点p作图c的两条切线，切点为a，b，则的最小值是2sqrt23【考点】椭圆的简单性质【分析】设apb=2，令|2=x，由向量数量积公式得到=x+3，由此能求出的最小值【解答】解：如图所示，设apb=2，=|cos2=|2（2cos21）=|2（21），令|2=x，得=x+3，x（1，9，23，当且仅当x=时，取等号，故的最小值是23三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c，已知（2ca）cosb=bcosa，且b=6（1）求角b的大小；（2）设abc的两条中线ae、cf相交于点d，求四边形bedf面积的最大值【考点】正弦定理；余弦定理【分析】（1）由题意和正弦定理以及三角函数公式可得cosb=，可得b=；（2）由余弦定理和基本不等式可得ac36，由重心的性质和不等式的性质可得【解答】解：（1）在abc中（2ca）cosb=bcosa，由正弦定理可得（2sincsina）cosb=sinbcosa，2sinccosb=sinacosb+sinbcosa=sin（a+b），2sinccosb=sinc，约去sinc可得cosb=，b=；（2）由余弦定理可得36=a2+c22accosb=a2+c2ac2acac，ac36，当且仅当a=c=6时取等号，如图d为abc重心，四边形bedf面积s=sabc=acsinb=ac3，四边形bedf面积的最大值为3，18模拟考试后，某校对甲、乙两个班的数学考试成绩进行分析，规定：不少于120分为优秀，否则为非优秀，统计成绩后，得到如下的22列联表，已知在甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为 优秀非优秀合计甲班203050乙班104050合计3070100（1）请完成上面的22列联表；（2）根据列联表的数据，若按97.5%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”？（3）在“优秀”的学生人中，用分层抽样的方法抽取6人，再平均分成两组进行深入交流，求第一组中甲班学生人数的分布列和数学期望参考公式与临界值表：k2=p（k2k）0.1000.0500.0250.0100.001k2.7063.8415.0246.63510.828【考点】独立性检验的应用【分析】（1）设乙班优秀的人数为x人，根据甲、乙两个班全部100人中随机抽取1人为优秀的概率为列出方程，求出方程的解得到x的值，确定出乙班与甲班的总人数，填写表格即可；（2）把a，b，c，d的值代入k2=，计算得到结果，即可作出判断；（3）求出分层抽样中甲乙两班的优秀人数，确定出的值，进而确定出的分布列，即可求出数学期望e【解答】解：（1）设乙班优秀的人数为x人，根据题意得： =，解得：x=10，乙班总人数为10+40=50（人），甲班总人数为10050=50（人），填表如下：优秀非优秀合计甲班203050乙班104050合计3070100故答案为：30；50；10；50；30；70；（2）k2=4.762，4.7625.024，没有达到可靠性要求，不能认为“成绩与班级有关系”；（3）在抽取的6人中，甲班为6=4（人），乙班为6=2（人），=1，2，3，p（=1）=，p（=2）=，p（=3）=，即的分布列为： 123 p则数学期望e=1+2+3=219如图，在四棱锥pabcd中，pc底面abcd，abcd是直角梯形，abad，abcd，ab=2ad=2cd=2e是pb的中点（）求证：平面eac平面pbc；（）若二面角pace的余弦值为，求直线pa与平面eac所成角的正弦值【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定【分析】（）证明平面eac平面pbc，只需证明ac平面pbc，即证acpc，acbc；（）根据题意，建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出面pac的法向量=（1，1，0），面eac的法向量=（a，a，2），利用二面角pa ce的余弦值为，可求a的值，从而可求=（2，2，2），=（1，1，2），即可求得直线pa与平面eac所成角的正弦值【解答】（）证明：pc平面abcd，ac平面abcd，acpc，ab=2，ad=cd=1，ac=bc=，ac2+bc2=ab2，acbc，又bcpc=c，ac平面pbc，ac平面eac，平面eac平面pbc（）如图，以c为原点，取ab中点f，、分别为x轴、y轴、z轴正向，建立空间直角坐标系，则c（0，0，0），a（1，1，0），b（1，1，0）设p（0，0，a）（a0），则e（，），=（1，1，0），=（0，0，a），=（，），取=（1，1，0），则=0，为面pac的法向量设=（x，y，z）为面eac的法向量，则=0，即取x=a，y=a，z=2，则=（a，a，2），依题意，|cos，|=，则a=2于是=（2，2，2），=（1，1，2）设直线pa与平面eac所成角为，则sin=|cos，|=，即直线pa与平面eac所成角的正弦值为20已知椭圆c： +=1（ab0）的长轴长是短轴长的两倍，焦距为2（）求椭圆c的标准方程；（）设不过原点o的直线l与椭圆c交于两点m、n，且直线om、mn、on的斜率依次成等比数列，求omn面积的取值范围【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程【分析】（）由已知得，由此能求出椭圆c的标准方程（）设直线l的方程为：y=kx+m，联立，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0，由此根的判别式、韦达定理、等比数列、弦长公式，结合已知条件能求出omn面积的取值范围【解答】解：（）由已知得，解得a=2，b=1，c=，椭圆c的标准方程为（）由题意可设直线l的方程为：y=kx+m（k0，m0），联立，消去y并整理，得：（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）=0，则=64k2m216（1+4k2）（m21）=16（4k2m2+1）0，此时设m（x1，y1）、n（x2，y2），则，x1x2=，于是y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2，又直线om、mn、on的斜率依次成等比数列，=k2，由m0得：k2=，解得k=，又由0 得：0m22，显然m21（否则：x1x2=0，则x1，x2中至少有一个为0，直线om、on中至少有一个斜率不存在，矛盾）设原点o到直线l的距离为d，则somn=|mn|d=|x1x2|=|m|=，故由m得取值范围可得omn面积的取值范围为（0，1）21已知函数f（x）=（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若任意x（0，1），f（x）（a，b）恒成立，求ba的最小值【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）根据函数的单调性，求出f（x）的范围，问题转化为e2xax10在x（0，1）恒成立，令h（x）=e2xax1，根据函数的单调性求出其范围即可【解答】解：（1）f（x）=，（x0），令g（x）=（2x1）e2x+1，（x0），则g（x）=4xe2x，当x（0，+）时，g（x）0，g（x）在（0，+）递增，g（x）g（0）=0，f（x）0，f（x）在（0，+）递增，当x（，0）时，g（x）0，g（x）在（，0）递减，g（x）g（0）=0，f（x）0，f（x）在（，0）递增，综上，函数f（x）在（，0），（0，+）递增；（2）由（1）得；f（x）在（0，1）递增，f（x）f（1）=e21，任意x（0，1），f（x）b恒成立，则be21，要使任意x（0，1），f（x）a恒成立，只需e2xax10在x（0，1）恒成立，令h（x）=e2xax1，则h（x）=2e2xa，x（0，1），a2时，h（x）0，h（x）在（0，1）递增，h（x）h（0）=0，符合题意，a2e2时，h（x）0，h（x）在（0，1）递减，h（x）h（0）=0，不符合题意，2a2e2时，h（x）0，解得：0xln，h（x）0，解得： lnx1，h（x）在（0， ln）递减，故任意x（0， ln），h（x）h（0）=0，不符合题意，综上，a2，bae23，故ba的最小值是e23选做题：请考生在第22-24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分选修4-1：几何证明选讲22如图，已知ab是圆o的直径，c、d是圆o上的两个点，ceab于e，bd交ac于g，交ce于f，cf=fg（）求证：c是劣弧的中点；（）求证：bf=fg【考点】与圆有关的比例线段【分析】（i）要证明c是劣弧bd的中点，即证明弧bc与弧cd相等，即证明cab=dac，根据已知中cf=fg，ab是圆o的直径，ceab于e，我们易根据同角的余角相等，得到结论（ii）由已知及（i）的结论，我们易证明