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河南省 2014 年普通高校等学校 选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试 高等数学 河南省 2014 年普通高校等学校 选拔优秀本科毕业生本科阶段学习考试 高等数学 一选择题（每小题 2 分，共 60 分） 1.函数 2 ( )sin9ln(1)f xxx的定义域是（） A.(1,3B.(1,) C. 3, D. 3,1) 2.已知 2 (2 )2fxxx, 则( )f x （） A. 2 1 1 4 x B. 2 1 1 4 x C. 2 1 4 xxD. 1 1 4 x 3.设( )f x的定义域为R, 则( )( )()g xf xfx.( ) A.是偶函数B.是奇函数 C.不是奇函数也不是偶函数D.是奇函数也是偶函数 4.已知 2 2 4 lim4 2 x ax x , 则（） A.1a B.0a C.1a D.2a 5.1x 是函数 2 2 1 2 x y xx 的（） A.跳跃间断点B.可去间断点 C.连续点D.第二类间断点 6.当 x0 时，比1 cosx高阶的无穷小是（） A. 2 1 1x B. 2 ln(1)x C.sin xD. 3 arctan x 7.已知( )lnf xx,则 22 0 ()( ) lim 2 h fxhfx h = （） A. 2 ln x x B ln x x C.- 2 1 x D. 1 x 8.曲线 sin 2cos yt xt (t 为参数） 。在 2 t 对应点处切线的方程为（） A.1x B.1y C.1yxD.1yx 9.函数( )(1)(2)(3)(4)f xx xxxx，则方程( )0fx 实根的个数为（） A.2B.3 C.4D.5 10.设( )yy x是由方程 x yxye确定的隐函数。则 dy dx A. 1 1 xy x B. 2 1 yxy x C.1 1 y x D. 1 2 x xxy 11.已知函数( )f x在区间0,a（a0)上连实，(0)f0 且在（0，a)上恒有( )fx0, 设 1 0 ( ) a Sf x dx, 2 (0)Saf, 1 S与 2 S的关系是（） A. 1 S 2 SD.不确定 12. 曲线 3 1yx() A.无拐点B有一个拐点 C.有两个拐点D.有三个拐点 13. 曲线 y= 1 2x 的渐近线的方程为（） A.0,1xyB1,0xy C.2,1xyD.2,0xy 14.设( )F x是( )f x的一个原函数则() xx ef edx = () A.() x F ecB.() x F ec C.() x F ecD.() x F ec 15.设( )f x在, a b上连续，则由曲线( )yf x与直线 x=a, x=b,y=0 所围成平面图形的面 积为 （） A( ) b a f x dx B.( ) b a f x dx C.( ) b a f x dx D.( )( ) ()f bf aba 16. 设( )f x是连实函数，满足( )f x= 2 1 sin 1 x x _ 1 1 ( ),f x dx 则lim( ) x f x = （） A.0B.- 6 C. 3 D 6 17. 设( )f x= 0 (1)sin, x ttdt 则 ( ) fx= () A.sincosxxxB.(1)cosxxC.sincosxxxD.(1)sinxx 18. 下列广义积分收敛的是 （） A. 2 ln xdx x B. 1 1 dx x C. 2 1 1 1dxx D. 1 cosxdx 19.微方程0 dxdy yx 的通解是（） A. 22 25xyB.34xycC. 22 xycD. 22 7yx 20 解常微方程 2 x yyyxe的过程中，特解一般应设为（） A. 2 =) x yAxBx e 半 （B.= x yAxe 半 C.= x yAe 半 D. 2 =() x yx eAxB 半 21. 已知 a,b,c 为非零向量，且0a b，0b c则（） A.a b 且bcB.abb c且C.a cbc 且D.acb c且 22、直线 L:= 3-25 xyz 与平面：641010xyz 的位置关系是（） A、L 在上B、L 与平行但无公共点 C、L 与相交但不垂直D、L 与垂直 23、在空间直角坐标系内，方程 22 2-y =1x表示的二次曲面是（） A、球面 B、双曲抛物面 C、圆锥面 D、双曲柱面 24、极限 0 y0 2 lim +1-1 x xy xy =（） A、0B、4C、 1 4 D、- 1 4 25、点（0,0）是函数zxy的（） A、驻点B、极值点C、最大值点D、间断点 26、设( , )21Dx yxy，则 + D xy y dxdy =（） A、0B、-1C、2D、1 27、设 ,f x y 为连续函数， 122- 0010 ,+, xx dxf x ydydxfx y dy 交换积分次序后得 到（） A、 2 1 0 2 , y y dyf x y dx B、 2 00 , y dyf x y dx C、 12- 0 , y y dyf x y dx D、 2 0 2 2 , y y dyf x y dx 28、L 为从（0,0）经点（0，1）到点（1,1）的折线，则 2 + L x dy ydx =（） A、1B、2C、0D、-1 13. 下列级数条件中收敛的是（） A、 2 n=1 2n-1 n +1 B、 n n n=1 1 - 3 （1）C、 2 2 n=1 n +n+1 n -n+1 D、 n n=1 1 - n （1） 30、级数 2 n=1 1 4n -1 的和是（） A、1B、2C、 1 2 D、 1 4 二、填空题（每题 2 分，共 20 分） 31、设 -1 = -1 xx fx xx （0,1），则 f x=_. 32、设连续函数 f x满足 2 2 0 ( )( )f xxf x dx,则 2 0 ( )f x dx =_. 33、已知 ,1 ln1 x a x xx f x ， ，若函数 f x在1x 连续，则 a=_. 34、设 33 (1)12fxx 是 01f ，则 f x=_. 35、不定积分cos2xdx =_. 36、若向量0,1,1 ;1,0,1 ;1,1,0abc则a b c=_. 37、微分方程 “ 4 40yyy的通解 y x=_. 38、设 arctan 222 ( , )ln()cos y x f x yexyxy，则 (1,0) x f=_. 39、函数 222 , ,f x y zxyz在点（1，1,1）处方向导数的最大值为_. 40、函数 1 1 2 f x x 的幂级数展开式是_. 三、计算题（每题 5 分，共 50 分） 41、求极限 2 0 (1) lim 1tan - 1 x x x e xx 42、设 n a为曲线 n yx与 1( 1,2,3,4.) n yxn 所围的面积， 判定级数 1 n n na 的敛散性 43.求不定积分 2 1 xdx x . 44.计算定积分 4 0 2xdx . 45.解方程 3 xyyx . 46.已知函数( , )zf x y由方程20 xyz eze 所确定，求dz. 47.已知点(4, 1,2), (1,2, 2),(2,0,1)ABC求ABC的面积. 48.计算二重积分 22 ln D xy dxdy ,其中 22 ( , )14Dx yxy. 49.计算曲线积分 22 (1)(1)yxdxxydy 其中 L 是圆 22 1xy（逆时针方向）. 50.试确定幂级数 0 1 n n x n 的收敛域并求出和函数 . 四应用题（每小题 7 分，共 14 分） 51.欲围一个面积 150 平方米的矩形场地，所用材料的造价其正面每平方米 6 元，其余三面 是每平方 3 元，问场地的长，宽各为多少时，才能使造价最低？ 52.已知 D 是抛物线 L: 2 2yx和直线 1 2 x 所围成的平面区域，试求： （1）区域 D 的面积 （2）区域 D 绕 Ox 轴旋转所形成空间旋转体体积. 五证明题（6 分） 53.设 2 eabe证明 22 2 4 lnln()baba e 2014 专升本真题答案 一选择题 1-10A C B A B D B B C B 11-20 C B D B C B D C C D 21-30 B D D B A A C A D C 二填空题 31. 1 x 32. 8 9 33.134. 2 1xx 35. 1 sin2 2 xc36.237. 22 12 xxx c ec e 38.239.2 340. 0 2n n n x , 1 1 (, ) 2 2 x 41. 2 0 3 0 3 0 3 0 3 0 3 2 0 2 2 0 2 2 0 (1) 1tan1 1tan1 ( 1tan1) 1tan(1) ( 1tan1) tan 2 tan 6 sec1 6 tan 6 6 lim lim lim lim lim lim lim lim x x x x x x x x x x e xx x xx xxx xx xxx xx x xx x x x x x x 42.解：由题意知 1 12 1 1 0 0 111 ( 1212(1)(2) nn nn n xx axxdx nnnnnn ） 11 3 11 2 3 2 3 111 2 (1)(2)(1)(2) 1(1)(2) lim10 1 (1)(2) 1 (1)(2) nn nn n nn n nnn nn na nnnn n nnn nn n n n a nn n 故此级数为正项级数且u 由正项级数比较判别法的极限形式知 故与级数的敛散性相同 且为收敛级数，故为收敛级数即级数收敛 43. 2 22 1 22 2 1 1 2 2 2 11 (1) 2 11 1 (1)(1) 2 1 (1) 1 1 2 1 2 xdx d x xx xd x x cxc 44. 4 0 2xdx 44 02 24 22 02 2(2) 22 22 224 xdxxdx xx xx 45. 原方程可化为 2 1 yyx x 为一阶线性齐次微分方程，由公式知，其通解为 11 2 ln2ln 2 2 3 1 (+c) 2 = 2 xx xx dxxedxc ex edxc xxdxc x xxdxc x x x cx y=e 46. . 2 ,2 2 2 22 xyz xyxyz xyZ xy x z z xy y z z xyxy zz ze FyeFxeFe Fzye xFe F zxe yFe zz dzdxdy xy yexe dxdy ee 解：令F(x,y,z)=e则 故 所以 47.解： AB=3,34 ，AC=2,11 ， AB*AC=3341,5,3 211 ijk AB AC = 222 15335 ABC的面积等于 1 2 AB AC = 35 2 48.在极坐标下 22 22 01 2 2 1 22 2 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 2 22 1 2 lnln . 2ln 2 2.lnln 22 1 22ln. 2 2 4 ln2 2 4 ln2 4 3 4 ln 2 x r r rr xy dxdydrdr r d rr ld r dr rdr r l 49.由格林公式知 22 22 22 22 22 21 2 00 1 3 4 1 0 (1)(1) (1)(1) 1 (1)(1) () ( 2 2 4 2 x o yxdxxydy xyyx dxdyy xy yxdxdy xydxdy drrdr r dr r l ，其中D：x 用极坐标计算） 50.解：幂级数 0 1 n n x n 中 1 1 n a n 有公式知 1 1 2 limlim1 1 1 n nn n a n a n 故收敛半径 1 1R ，收敛区间为( 1,1) 1x 时，幂级数为 0 ( 1) 1 n n n 收敛； 1x 时，幂级数为 0 1 1 n n 发散； 故幂级数 0 1 n n x n 的收敛域为 1,1) 设幂级数 0 1 n n x n 的和函数为( )s x，即 0 ( ) 1 n n x s x n 则 1 0 ( ) 1 n n x xs x n 由 1 00 1 11 n n nn x x nx 则 1 (1) 00 0 11 (1)ln 111 n xx x n x dxdx nxx 故 (1) ( )ln x xs x 即 (1) 1 ( )ln x s x x 51.解：设场地的长为x，宽为y，高为h。造价为 S,面积为A,则由题意知150Axy。 63(2)96Sxhyx hxyyh问题转化为在条件150xy 下求96Shyh的最小值 构造函数( , , )96(150)L x yxhyhxy 由 90 60 1500 Lxhy Lyhx Lxy 解得10,15xy 故由实际意义知当场地的长为 10 米，宽为 15 米时造价最低。 52、解：D 的图形如图所示： （1）区域 D 的面积 2 1 1 2 1 1 3 1 1 1 1 ( 1) 22 1 2