数学物理方法第二版武仁著北京大学出版社课后答案习题01-04.pdf

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()() 111 1212 11 NNNn zAzAzAzAzAzA nn + +? () 1 11 12 12 21 1N NNn zAzAzA zAzAzA NnN + + ，则存在，当()() 22 000 zzxxyy=+（即arg 22 z ）为半径的圆变 为w平面上的椭圆，焦点为i，长短半轴分别为ch及sh。 令 i ze =，则圆方程为e=。 () 11 cossincossin 22 ii we eeeeieeie =+ shcoschsini=+ 令wxiy=+， 则shcosx=，chsiny=， 消去得 22 22 1 shch xy +=， 即以i为 焦点，ch及sh为长短半轴的椭圆。 52 设()(),wu x yiv x y=+解析， 且0 dw dz ， 试证曲线族() 1 ,u x yC=，() 2 ,v x yC=（ 1 C， 2 C为任意实常数）互相正交。 设 1 n， 2 n为过点(), x y的两曲线在该点的法向量，即 1 , uu xy = n， 2 , vv xy = n。 则 12 0 u vuvu uu u xxyyxyyx =+= += n n，即两曲线正交。 课后答案网 53判断下列函数是单值的还是多值的： （1）1zz+； （2） 1 1 ln z+ ； （3）cosz； （4）lnsin z； （5） cosz z ； （6） sinz z 。 明显（1）（4）都是多值函数。 用w表示z的两个平方根，即zw=或w。取zw=，则 coscoszw wz =，取 zw= ，则 ()coscoscoswzw wwz = ，即 cosz z 为多值函数，同样可得， sinz z 为单值函数。 54找出下列函数的枝点，并讨论z绕各个枝点移动一周回到原处函数值的变化。若同时绕 两个，三个枝点，又会出现怎样的情况？ （1） 3 1z； （2） 2 1zz+； （3） za zb ； （4） 1 1 ln z+ ； （5） cosz z ； （6） 32 4z ； （7）() 2 3 1zz +； （8） () 2 ln1z +。 （1）() 22 3 33 11 ii wzzzeze = ， 当z逆时针绕 1 点一圈 （不包围 2 3 i e 和 2 3 i e ） 回到原处， 因子1z顺时针绕 0 点旋转， 另外两个因子 2 3 i ze 和 2 3 i ze 不变，故w顺时针绕 0 点旋转。当z逆时针绕 2 3 i e （或 2 3 i e ）点一圈（不包围另外两点） 回到原处，w逆时针绕 0 点旋转。所以 1， 2 3 i e 为枝点。若z逆时针绕 1 和 2 3 i e 两点一 圈（不包围 2 3 i e ）回到原处，w不变，同样的，z逆时针绕任意两个枝点一圈（不包围另 一个枝点）回到原处，w都不变。若z逆时针绕这三个枝点一圈回到原处，w顺时针绕 0 点旋转，所以也是枝点。 （2）枝点是1； （3）枝点是a，b（z绕b逆时针一圈回到原处，因子 1 zb 顺时针绕 0 点旋转） ； （4）枝点是 0，； （5）枝点是 0，； （6）枝点是2，； （7）枝点是 0，-1； （8）枝点是i，； 课后答案网 55函数1wzz=+，规定( )21w=，是分别求当z沿着图中的 1 C和 2 C连续变化时 ()3w 之值。 若规定2z=处()arg12z=， 则有( )21w=。z沿 1 C连续变化到-3 时，()arg13z=， 所以() 3 2 33432 i wei = += 。沿 2 C有()332wi= +。 56规定函数 3 2wz z=在下图割线上岸的幅角为 0，试求该函数在割线下岸3z=处的 数值，又问，这个函数有几个单值分枝：求出在其他分枝中割线下岸3z=处的函数值。 2z在割线上岸幅角为 0，下岸为2，所以( ) 2 3 33 i we =。 有三个单值分枝。规定割线上岸幅角为2，则下岸为4，( ) 4 3 33 i we =， 规定割线上岸幅角为4，则下岸为6，( )33w=。 57函数()()wzazb=的割线有多少种可能的做法？试在两种不同做法下讨论单值 分枝的规定。设, a b为实数，且ab。 , a b为枝点，连接, a b的任意线段都可作为割线，所以有无穷种做法。 其中两种做法： 课后答案网 （1） 规定割线上岸()()argargzazb+=和3可得两个单枝分枝。 （2） 可规定正实轴割线上岸()()argargzazb+分别为 0，2。 58规定函数 2 22wzz=+，( )02w=。求当z由原点出发沿圆()12zi+=逆 时针方向通过 x 轴时的函数值。又当z回到原点时函数之值如何？ ()() 44 22 ii wzeze =。 只 要 规 定0z =时 () 4 3 arg2 4 i ze = ， () 4 3 arg2 4 i ze =就 有( )02w=。 当z沿 圆 逆 时 针 到 达2z =时 ， () 4 arg2 4 i ze = ， () 4 arg2 4 i ze =，所以( ) 44 2222 ii wee =。 当z回 到 原 点 时 ， () 4 5 arg2 4 i ze =， () 4 3 arg2 4 i ze =， 所 以 课后答案网 ( ) 5434 02222 iii weee = 。 59 函数 () 2 ln 1wz=， 规定( )00w=， 试讨论当z分别限制在以下两图中变化时，( )3w 之值。 （a）()()ln11wzz=+ 。规定0z =时()arg 10z=，()arg10z +=就有( )00w=。 z从 下 半 平 面 到 达3z =时 有()arg 1z=，()arg10z +=， 所 以 ( )() 0 3ln 243ln2 ii weei =+。 （ b ）z从 上 半 平 面 到 达3z =时 有()arg 1z= ，()arg10z +=， 所 以 ( )() 0 3ln 243ln2 ii weei =。 60函数() 3 4 1wzz=在割线上岸函数值与下岸函数值有何不同？割线如下图。 若割线上岸上一点z由左边 （曲线 1 C） 绕到割线下岸同一处 （记为z） ， 则z的辐角增加2， 即 2i zze = ，1z的辐角不变，即()11zz = 。所以 ()() 33 224 4 11 ii wzzzezwe =。 课后答案网 若z由右边（曲线 2 C）绕到割线下岸同一处，则z的辐角不变，1z的辐角减小2， () 3 232 4 1 ii wzz ewe = 。 61规定0arg2z， 存在0， 使当tz ，存在 1 0（与()arg za无关） ，使 1 za ，存在0M （与arg z无关） ，当zM时，( ) 21 zf zK ，在 R C上有zRM=，所以 ( )()( )() 2121 21 RR CC dz f z dziKzf zK z ，当1zM时， 有 ( ) 1 f z z =，( ) ( )( )( ) ( ) 00 10 ff zf F zf zzM + +，即( )F z有界，根 据 Liouville 定理，( )F z为常数。由于( ) ( )( )0 limlimlim0 zzz f zf F z zz =，所以 ( )0F z =。由此得，0z 时，( ) ( )( )0 0 f zf F z z =，( )( )0f zf=，即( )f z为常 数。 90( )f z在全平面解析，且( )1f z，证明( )f z为常数。 证：令( ) ( ) 1 F z f z =，因为( )1f z ，所以( )f z没有零点，则( )F z没有奇点，即( )F z 在全平面解析。( ) ( ) 1 1F z f z =，即( )F z有界，根据 Liouville 定理，( )F z为常数， 则( )f z为常数。 课后答案网 91求sin z在闭区域0Re2z，0Im2z中的最大值。 由最大模原理，在边界上寻找最大值。 在0y=，02x上，sinsinzx=，最大值为 1； 在2x=，02y上，()( )sinsin 2sinshziyiyy=+=，最大值为sh2； 在2y=，02x上， ()()() 22 sinsin2ch2 sinsh2 cosch2 sinsh2 coszxixixxx=+=+=+， 可求出最大值为ch2； 在0x =，02y上，( )sinsinshziyy=，最大值为sh2； 所以最大值为ch2。 92函数( )f z在G内解析，且 0 z为G内一点，有() 0 0fz，试证明： ()( )() 00 2 C idz fzf zf z = ? 。其中C是以 0 z为圆心的一个足够小的圆。 证：令( ) ( )() () 0 0 0 0 0 , 1 , zz zz f zf z F x zz fz = = ， 0 zz时( )F x显然是可导的，对于 0 zz=点， ( )()()()( )() ()()( )() 00 0000 0000 limlim zzzz F zF zzzfz