天一中学16-17高一上期末数学试卷含解析.pdfVIP

【菁英学堂】内部教材 第 1页（共 15页） 江苏省天一中学江苏省天一中学 2016-2017 学年高一（上）期末数学试卷学年高一（上）期末数学试卷 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 56 分）分） 1已知集合 A=1，2，6，B=2，3，6，则 AB= 2函数 y=3cos（2x+）的最小正周期为 3sin（1740）= 4已知 =（x+1，2） ， =（4，7） ，且 与 的夹角为锐角，则 x 的取值范围为 5已知（0，） ，若函数 f（x）=cos（2x+）为奇函数，则= 6已知 f（x）=，则 f（ ）的值为 7将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原 来的 倍（纵坐标不变） ，则所得的图象的函数解析式为 8已知 cos=，（，2） ，则 tan（）= 9设函数 f（x）=，其中 a0，若 f（x）的值域为 R，则实数 a 的取值范围是 10设为锐角，若 cos（+）= ，则 sin（2+）的值为 11函数 f（x）=logcos（2x）的单调递增区间为 12已知平面上的向量、满足，=2，设向量，则的最小 值是 13已知 P（x0，y0）是单位圆上任一点，将射线 OP 绕点 O 顺时针转到 OQ 交单位圆与点 Q（x1， y1） ，若 my0y1的最大值为 ，则实数 m= 14已知定义在 R 上的函数 f（x）存在零点，且对任意 m，nR 都满足 f f（m）+f（n）=f2（m） +2n，则函数 g（x）=|ff（x）4|+log3x1 的零点个数为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 64 分）分） 15如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A，B，C 均为O 上的点，其中 A（ ， ） ，C（1，0） ，点 B 在第二象限 【菁英学堂】内部教材 第 2页（共 15页） （1）设COA=，求 tan2的值； （2）若AOB 为等边三角形，求点 B 的坐标 16已知函数 f（x）=ax2，其中 aR （1）若 a=1 时，求函数 f（x）的零点； （2）当 a0 时，求证：函数 f（x）在（0，+）内有且仅有一个零点 【菁英学堂】内部教材 第 3页（共 15页） 17如图，在ABC 中，已知 AB=2，AC=6，BAC=60，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且=2， =5， （1）若=+，求证：点 F 为 DE 的中点； （2）在（1）的条件下，求的值 18已知向量 =（sinx， ） ， =（cosx，1） （1）当 时，求 cos2xsin2x 的值； （2）设函数 f（x）=2（ + ） ，已知 f（）=，（，） ，求 sin的值 【菁英学堂】内部教材 第 4页（共 15页） 19如图，函数 y=2cos（x+） （0，0）的图象与 y 轴交于点（0，） ，周期是 （1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心； （2）已知点 A（，0） ，点 P 是该函数图象上一点，点 Q（x0，y0）是 PA 的中点，当 y0=，x0， 时，求 x0的值 20已知关于 x 的函数 f（x）=x22ax+2 （1）当 a2 时，求 f（x）在 ，3上的最小值 g（a） ； （2）如果函数 f（x）同时满足： 函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； 在函数的定义域内存在区间p，q，使得函数在区间p，q上的值域为p2，q2则我们称函数 f （x）是该定义域上的“闭函数” （i）若关于 x 的函数 y=+t（x1）是“闭函数”，求实数 t 的取值范围； （ii）判断（1）中 g（a）是否为“闭函数”？若是，求出 p，q 的值或关系式；若不是，请说明理由 【菁英学堂】内部教材 第 5页（共 15页） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共一、填空题（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 56 分）分） 1已知集合 A=1，2，6，B=2，3，6，则 AB=1，2，3，6 【考点】并集及其运算 【分析】利用并集定义求解 【解答】集合 A=1，2，6，B=2，3，6，AB=1，2，3，6故答案为：1，2，3，6 2函数 y=3cos（2x+）的最小正周期为 【考点】余弦函数的图象 【分析】根据余弦函数 y=Acos（x+）的最小正周期为 T=，求出即可 【解答】函数 y=3cos（2x+）的最小正周期为 T=故答案为： 3sin（1740）= 【考点】运用诱导公式化简求值 【分析】原式先利用奇函数的性质化简，将角度变形后利用诱导公式计算即可得到结果 【解答】原式=sin1740=sin（536060）=sin60=，故答案为： 4已知 =（x+1，2） ， =（4，7） ，且 与 的夹角为锐角，则 x 的取值范围为（ ，+） 【考点】平面向量数量积的运算 【分析】令0 即可解出 x 的范围，再排除掉共线的情况即可 【解答】若，则 8+7（x+1）=0，x=， 与 的夹角为锐角，x =4（x+1）14=4x10， 与 的夹角为锐角， 0，即 4x100，x，故答案为（ ，+） 5已知（0，） ，若函数 f（x）=cos（2x+）为奇函数，则= 【菁英学堂】内部教材 第 6页（共 15页） 【考点】余弦函数的图象 【分析】根据余弦函数的图象和性质即可得到结论 【解答】若函数 f（x）=cos（2x+）为奇函数，则=+k，kZ， 又（0，） ，所以=故答案为： 6已知 f（x）=，则 f（ ）的值为1 【考点】函数的值 【分析】由题意 f（ ）=f（ ）+ =sin（）+ ，由此能求出结果 【解答】f（x）=， f（ ）=f（ ）+ =sin（）+ =sin+ =1故答案为：1 7将函数的图象上的所有点向右平移个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原 来的 倍（纵坐标不变） ，则所得的图象的函数解析式为y=sin4x 【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换 【分析】按照左加右减的原则，求出函数所有点向右平移个单位的解析式，然后求 出将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍时的解析式即可 【 解 答 】 将 函 数的 图 象 上 的 所 有 点 向 右 平 移个 单 位 ， 得 到 函 数 =sin2x， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变） ， 则所得的图象的函数解析式为 y=sin4x 故答案为：y=sin4x 8已知 cos=，（，2） ，则 tan（）= 【菁英学堂】内部教材 第 7页（共 15页） 【考点】同角三角函数基本关系的运用 【分析】利用同角三角函数的基本关系求得 sin的值，可得 tan的值，再利用诱导公式，两角和差的 正切公式求得要求式子的值 【解答】cos= ，（，2） ，（，2） ，sin= ， tan= ，则 tan（）=tan（+）= ，故答案为： 9设函数 f（x）=，其中 a0，若 f（x）的值域为 R，则实数 a 的取值范围是7，+ ） 【考点】函数的值域 【分析】根据指数函数性质可知 y=3x+4a， （x3）是增函数，其值域 y27+4a，y=2x+a2（x3）也 是增函数，其值域 y9+a2要使 f（x）的值域为 R，只需 9+a227+4a 即可，从而可得实数 a 的取值 范围 【解答】函数 f（x）=，其中 a0，令 y1=3x+4a， （x3）是增函数，其值域 y127+4a， y2=2x+a2（x3）也是增函数，其值域 y29+a2 要使 f（x）的值域为 R，只需 9+a227+4a 解得：a7 或 a3 a0， 实数 a 的取值范围是7，+） 故答案为：7，+） 10设为锐角，若 cos（+）= ，则 sin（2+）的值为 【考点】三角函数中的恒等变换应用；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数；二倍角的正 弦 【分析】先设=+，根据 cos求出 sin，进而求出 sin2和 cos2，最后用两角和的正弦公式得到 sin（2+）的值 【解答】设=+， 【菁英学堂】内部教材 第 8页（共 15页） sin=，sin2=2sincos=，cos2=2cos21=， sin（2+）=sin（2+）=sin（2）=sin2coscos2sin= 故答案为： 11函数 f（x）=logcos（2x）的单调递增区间为（k+，k+） （kZ） 【考点】对数函数的图象与性质 【分析】先根据余弦函数的单调性判断出单调递减时 2x的范围，进而求得 x 的范围，求得函数 f（x）的单调递增区间即可 【解答】对于函数 g（x）=cos（2x）的单调减区间为 2k2x2k+， 即 k+xk+，而 cos（2x）0， 故函数 g（x）的单调减区间为（k+，k+） （kZ） ， 根据复合函数的同增异减的原则，得：f（x）在（k+，k+） （kZ）递增， 故答案为： （k+，k+） （kZ） 12已知平面上的向量、满足，=2，设向量，则的最小 值是2 【考点】向量的模 【分析】利用勾股定理判断出 PA，与 PB 垂直，得到它们的数量积为 0；求的平方，求出范围 【解答】， =0 =34 故答案为 2 【菁英学堂】内部教材 第 9页（共 15页） 13已知 P（x0，y0）是单位圆上任一点，将射线 OP 绕点 O 顺时针转到 OQ 交单位圆与点 Q（x1， y1） ，若 my0y1的最大值为 ，则实数 m= 【考点】任意角的三角函数的定义 【分析】设 P（cos，sin） ，则 Q（cos（+） ，sin（+） ） ，则 my0y1=msinsin（+） ，整 理后利用辅助角公式化积，再由 my0y1的最大值为 ，列关于 m 的等式求得 m 的值 【解答】设 P（cos，sin） ，则 Q（cos（+） ，sin（+） ） ，即 y0=sin，y1=sin（+） ， 则 my0y1=msinsin（+）=（m ）sincos= sin（+） ， my0y1的最大值为 ， = ，解得 m=故答案为 14已知定义在 R 上的函数 f（x）存在零点，且对任意 m，nR 都满足 f f（m）+f（n）=f2（m） +2n，则函数 g（x）=|ff（x）4|+log3x1 的零点个数为3 【考点】根的存在性及根的个数判断；函数零点的判定定理 【分析】令 f（m）=0 得出 ff（n）=2n，从而得出 g（x）=|2x4|+log3x1，分别作出 y=1log3x 和 y=|2x4|的函数图象，根据函数图象的交点个数判断 g（x）的零点个数 【解答】设 m 为 f（x）的零点，则 f（m）=0，ff（n）=2n，ff（x）=2x， g（x）=|2x4|+log3x1， 令 g（x）=0 得 1log3x=|2x4|，分别作出 y=1log3x 和 y=|2x4|的函数图象，如图所示： 【菁英学堂】内部教材 第 10页（共 15页） 由图象可知 y=1log3x 和 y=|2x4|的函数图象有 3 个交点， g（x）=|2x4|+log3x1 有 3 个零点故答案为 3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 6 小题，共小题，共 64 分）分） 15如图，在平面直角坐标系 xoy 中，A，B，C 均为O 上的点，其中 A（ ， ） ，C（1，0） ，点 B 在第二象限 （1）设COA=，求 tan2的值； （2）若AOB 为等边三角形，求点 B 的坐标 【考点】任意角的三角函数的定义；三角函数的化简求值 【分析】 （1）由题意，cos= ，sin= ，tan= ，再利用二倍角公式，即可求 tan2的值； （2）利用三角函数的定义，即可求点 B 的坐标 【解答】 （1）由题意，cos= ，sin= ，tan= ，tan2=； （2）AOB 为正三角形， cos（+60）=，sin（+60）=， B（，） 16已知函数 f（x）=ax2，其中 aR （1）若 a=1 时，求函数 f（x）的零点； （2）当 a0 时，求证：函数 f（x）在（0，+）内有且仅有一个零点 【考点】根的存在性及根的个数判断 【分析】 （1）当 a=1 时，函数 f（x）=x2，令x2=0，可得函数 f（x）的零点 （2）当 a0 时，若 x0，由函数 f（x）=0 得：ax2+2ax1=0，进而可证得 f（x）在（0，+）上有 唯一零点 【菁英学堂】内部教材 第 11页（共 15页） 【解答】 （1）当 a=1 时，函数 f（x）=x2，令x2=0，可得可得 x=0，或 x2+2x1=0， 解得 x=0，或 x=1，或 x=1+ 综上可得，当 a=1 时，函数 f（x）的零点为 x=0，或 x=1，或 x=1+ （2）证明：当 a0 时，x0，由函数 f（x）=0 得：ax2+2ax1=0， 记 g（x）=ax2+2ax1，则 g（x）的图象是开口朝上的抛物线， 由 g（0）=10 得：函数 g（x）在（0，+）内有且仅有一个零点 函数 f（x）在（0，+）上有唯一零点 17如图，在ABC 中，已知 AB=2，AC=6，BAC=60，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且=2， =5， （1）若=+，求证：点 F 为 DE 的中点； （2）在（1）的条件下，求的值 【考点】平面向量数量积的运算；平面向量的基本定理及其意义 【分析】 （1）用，表示出，即可得出结论； （2）用表示出，再计算 【解答】 （1）=+，=+， 又=2，=5，=+， F 为 DE 的中点 （2）由（1）可得= （） ， =2，=5，= =（）=+= 4+26cos60= 18已知向量 =（sinx， ） ， =（cosx，1） （1）当 时，求 cos2xsin2x 的值； 【菁英学堂】内部教材 第 12页（共 15页） （2）设函数 f（x）=2（ + ） ，已知 f（）=，（，） ，求 sin的值 【考点】平面向量数量积的运算；平面向量共线（平行）的坐标表示；三角函数中的恒等变换应用 【分析】 （1）根据向量关系的坐标关系进行转化，结合三角函数的性质进行求解即可 （2）根据向量数量积的公式求出函数 f（x）的解析式，结合三角函数的公式进行化简求解 【解答】 （1）因为 ab，所以 cosx+sinx=0，所以 tanx= 故 cos2xsin2x= （2）f（x）=2（ + ） =2sinxcosx +2（cos2x+1）=sin2x+cos2x+ =sin（2x+）+ ， 因为 f（）= ，所以 f（）=sin（+）+ =，即 sin（+）=， 因为（，） ，所以+， 故 cos（+）=， 所以 sin=sin+=sin（+）cos（+）= 19如图，函数 y=2cos（x+） （0，0）的图象与 y 轴交于点（0，） ，周期是 （1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心； （2）已知点 A（，0） ，点 P 是该函数图象上一点，点 Q（x0，y0）是 PA 的中点，当 y0=，x0， 时，求 x0的值 【考点】由 y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式；余弦函数的图象 【分析】 （1）由图象与 y 轴交于点（0，） ，周期是可得和的值，从而可得函数解析式，根据 余弦函数的性质可求函数图象的对称轴方程和对称中心 （2）点 Q（x0，y0）是 PA 的中点，点 A（，0） ，利用中点坐标求出 P 的坐标，点 P 是该函数图象 【菁英学堂】内部教材 第 13页（共 15页） 上一点，代入函数解析式，化简，根据 y0=，x0，求解 x0的值 【解答】 （1）由题意，周期是，即 由图象与 y 轴交于点（0，） ，=2cos，可得 cos=， 0，=故得函数解析式 f（x）=cos（2x+） 由 2x+=k，可得对称轴方程为：x=， （kZ） 由 2x+=k，可得对称中心为（，0） ， （kZ） （2）由题意：点 Q（x0，y0）是 PA 的中点，点 A（，0） ， P 的坐标为（，2y0） ， 由 y0=，可得：P 的坐标为（ ，） ， 又点 P 是该函数图象上一点， =2cos2，整理可得：cos（）=， x0， ， 故有：=或=，解得：x0=或 20已知关于 x 的函数 f（x）=x22ax+2 （1）当 a2 时，求 f（x）在 ，3上的最小值 g（a） ； （2）如果函数 f（x）同时满足： 函数在整个定义域上是单调增函数或单调减函数； 在函数的定义域内存在区间p，q，使得函数在区间p，q上的值域为p2，q2则我们称函数 f （x）是该定义域上的“闭函数” （i）若关于 x 的函数 y=+t（x1）是“闭函数”，求实数 t 的取值范围； （ii）判断（1）中 g（a）是否为“闭函数”？若是，求出 p，q 的值或关系式；若不是，请说明理由 【考点】二次函数的性质 【分析】 （1）对于函数 f（x）=x22ax+2=（xa）2+2a2，根据对称轴，分类讨论即可， 【菁英学堂】内部教材 第 1