新人教版八年级上数学知识点复习提纲.pdf

第十一章：三角形 1. 三角形的概念 由不在同一条直线上的三条线段首尾依次相接所组成的图形叫做三角形。 2.三角形按边分类 3. 三角形三边的关系（重点） 三角形的任意两边之和大于第三边。 三角形的任意两边之差小于第三边。（这两个条件满足其中一个即可） 用数学表达式表达就是：记三角形三边长分别是 a，b，c，则 abc 或 cba. 已知三角形两边的长度分别为 a，b，求第三边长度的范围：|ab|cab 4. 三角形的高 从ABC 的顶点向它的对边 BC 所在的直线画垂线，垂足为 D，那么线段 AD 叫做ABC 的边 BC 上 的高。 三角形的三条高的交于一点，这一点叫做“三角形的垂心”。 5. 三角形的中线 连接ABC 的顶点 A 和它所对的对边 BC 的中点 D，所得的线段 AD 叫做ABC 的边 BC 上的中线。 三角形三条中线的交于一点，这一点叫做“三角形的重心”。 三角形的中线可以将三角形分为面积相等的两个小三角形。 6. 三角形的角平分线 A 的平分线与对边 BC 交于点 D，那么线段 AD 叫做三角形的角平分线。 要区分三角形的“角平分线”与“角的平分线”，其区别是：三角形的角平分线是条线段；角的平分线是 条射线。 三角形三条角平分线的交于一点，这一点叫做“三角形的内心”。 7. 三角形具有稳定性 8. 四边形及多边形不具有稳定性 要使多边形具有稳定性，方法是将多边形分成多个三角形，这样多边形就具有稳定性了。 9. 三角形的内角和定理 三角形的内角和为 180，与三角形的形状无关。 10. 直角三角形两个锐角的关系 直角三角形的两个锐角互余（相加为 90）。 有两个角互余的三角形是直角三角形。 11. 三角形外角的意义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角。 12. 三角形外角的性质 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 13.2 个基本图形 14. 多边形的概念 在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形，多边形中相邻两边组成的角叫做它的 内角。多边形的边与它邻边的延长线组成的角叫做外角。 连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 一个 n 边形从一个顶点出发的对角线的条数为（n3）条，其所有的对角线条数为 1/2 n（n-3）。 15. 凸多边形 画出多边形的任何一条边所在的直线，如果多边形的其它边都在这条直线的同侧，那么这个多边形 就是凸多边形。 16. 正多边形 各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形。（两个条件缺一不可，除了三角形以外，因为若三角 形的三内角相等，则必有三边相等，反过来也成立） 要求会的题型：要求会的题型： 告诉多边形的边数，求多边形过一个顶点的对角线条数或求多边形全部对角线的条数 方法： 一个 n 边形从一个顶点出发的对角线的条数为 （n3） 条， 其所有的对角线条数为 1/2 n （n-3） 。 将边数带入公式即可。 17. n 边形的内角和定理 n 边形的内角和为 （n-2）180 18. n 边形的外角和定理 多边形的外角和等于 360，与多边形的形状和边数无关。 第十二章全等三角形复习 一、全等三角形 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。 2、全等三角形有哪些性质 （1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。 （2）：全等三角形的周长相等、面积相等。 （3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。 3、全等三角形的判定 边边边：三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”) 边角边:两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”) 角边角:两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”) 角角边:两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”) 斜边.直角边：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”) 4、证明两个三角形全等的基本思路： 二、角的平分线： 1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。 三、学习全等三角形应注意以下几个问题： （1):要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义； （2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上； （3）：“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等； （4）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角” 、“公共边”、“对顶角” 第十三章轴对称 一、轴对称图形 1. 把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。 这条直线就是它的对称轴。这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线 对称。这条直线叫做对称轴。折叠后重合的点是对应点,叫做对称点 3、轴对称图形和轴对称的区别与联系 4.轴对称的性质 关于某直线对称的两个图形是全等形。 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。 二、线段的垂直平分线 1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。 2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等 3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上 三、用坐标表示轴对称小结： 在平面直角坐标系中，关于 x 轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于 y 轴对称的点横坐标互为相 反数,纵坐标相等. 点（x, y）关于 x 轴对称的点的坐标为_. 点（x, y）关于 y 轴对称的点的坐标为_. 2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等 四、（等腰三角形)知识点回顾 1.等腰三角形的性质 .等腰三角形的两个底角相等。（等边对等角） .等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。（三线合一） 2、等腰三角形的判定： 如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。（等角对等边） 五、（等边三角形）知识点回顾 1.等边三角形的性质： 等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于 600 。 2、等边三角形的判定： 三个角都相等的三角形是等边三角形。 有一个角是 600 的等腰三角形是等边三角形。 3.在直角三角形中，如果一个锐角等于 300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 第十四章第十四章整式乘除与因式分解整式乘除与因式分解 一回顾知识点 1、主要知识回顾： 幂的运算性质： amanam n （m、n 为正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加 n m a amn（m、n 为正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘 nn n baab （n 为正整数） 积的乘方等于各因式乘方的积 nm aa am n （a0，m、n 都是正整数，且 mn） 同底数幂相除，底数不变，指数相减 零指数幂的概念： a01（a0） 任何一个不等于零的数的零指数幂都等于 l 负指数幂的概念： a p p a 1 （a0，p 是正整数） 任何一个不等于零的数的p（p 是正整数）指数幂，等于这个数的 p 指数幂的倒数 也可表示为： pp n m m n （m0，n0，p 为正整数） 单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加 单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它 的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式的法则： 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加 2、乘法公式： 平方差公式：（ab）（ab）a2b2 文字语言叙述：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差 完全平方公式：（ab）2a22abb2 （ab）2a22abb2 文字语言叙述：两个数的和（或差）的平方等于这两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的 2 倍 3、因式分解： 因式分解的定义 把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解 掌握其定义应注意以下几点： （1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式，这三个要素缺一不可； （2）因式分解必须是恒等变形； （3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止 弄清因式分解与整式乘法的内在的关系 因式分解与整式乘法是互逆变形，因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差的形 式 二、熟练掌握因式分解的常用方法二、熟练掌握因式分解的常用方法 1、提公因式法 （1）掌握提公因式法的概念； （2）提公因式法的关键是找出公因式，公因式的构成一般情况下有三部分：系数一各项系数的最 大公约数；字母各项含有的相同字母；指数相同字母的最低次数； （3）提公因式法的步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式需注意的是， 提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项 （4）注意点：提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；如果多项式的第一项的 系数是负的，一般要提出“”号，使括号内的第一项的系数是正的 2、公式法 运用公式法分解因式的实质是把整式中的乘法公式反过来使用； 常用的公式： 平方差公式：a2b2 （ab）（ab） 完全平方公式：a22abb2（ab）2 a22abb2（ab）2 第十六章第十六章分式分式 1. 分式的定义：分式的定义：如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 B A 叫做分式。 2. 分式有意义、无意义的条件分式有意义、无意义的条件： 分式有意义的条件：分式的分母不等于 0； 分式无意义的条件：分式的分母等于 0。 3.3. 分式值为零的条件：分式值为零的条件： 当分式的分子等于 0 且分母不等于 0 时，分式的值为 0。 （分式的值是在分式有意义的前提下才可以考虑的，所以使分式A B 为 0 的条件是 A0，且 B0.） （分式的值为 0 的条件是：分子等于 0，分母不等于 0，二者缺一不可。首先求出使分子为 0 的字母 的值，再检 验这个字母的值是否使分母的值为 0.当分母的值不为 0 时，就是所要求的字母的值。） 4. 分式的基本性质：分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于 0 的整式，分式的值不变。 用式子表示为（0C），其中 A、B、C 是整式 注意：（1）“C 是一个不等于 0 的整式”是分式基本性质的一个制约条件； （2）应用分式的基本性质时，要深刻理解“同”的含义，避免犯只乘分子（或分母）的错误； （3）若分式的分子或分母是多项式，运用分式的基本性质时，要先用括号把分子或分母括上，再 乘或除以同一 整式 C； （4）分式的基本性质是分式进行约分、通分和符号变化的依据。 5.5.分式的通分：分式的通分： 和分数类似，利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分 母分式化成 相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。 通分的关键是确定几个式子的最简公分母。几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的 积作为公分 母，这样的分母就叫做最简公分母。求最简公分母时应注意以下几点： （1）“各分母所有因式的最高次幂”是指凡出现的字母（或含字母的式子）为底数的幂选取指数最 大的； （2）如果各分母的系数都是整数时，通常取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； （3）如果分母是多项式，一般应先分解因式。 6.6.分式的约分：分式的约分： 和分数一样，根据分式的基本性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，这样的 分式变形叫 做分式的约分。约分后分式的分子、分母中不再含有公因式，这样的分式叫最简公因式。 约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。 CB CA B A CB CA B A （1）约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分；分子、分母是多项式时，通常将分 子、分母 分解因式，然后再约分； （2）找公因式的方法： 当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂， 它们的积就 是公因式； 当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。 易错点：（1）当分子或分母是一个式子时，要看做一个整体，易出现漏乘（或漏除以）； （2）在式子变形中要注意分子与分母的符号变化，一般情况下要把分子或分母前的“” 放在 分数线前； （3）确定几个分式的最简公分母时，要防止遗漏只在一个分母中出现的字母； 7.7.分式的运算：分式的运算： 分式乘法法则：分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 分式除法法则：分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 用式子表示是： 提示：（1）分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，可先将分子、分母分别相乘，然后约去公因 式，化为最简 分式；若分子、分母是多项式，先把分子、分母分解公因式，看能否约分，然后再相乘； （2）当分式与整式相乘时，要把整式与分式的分子相乘作为积的分子，分母不变 （3）分式的除法可以转化为分式的乘法运算； （4）分式的乘除混合运算统一为乘法运算。 分式的乘除法混合运算顺序与分数的乘除混合运算相同，即按照从左到右的顺序，有括 号先算括号 里面的； 分式的乘除混合运算要注意各分式中分子、分母符号的处理，可先确定积的符号； 分式的乘除混合运算结果要通过约分化为最简分式（分式的分子、分母没有公因式）或 整式的形式。 分式乘方法则：分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母各自乘方。 用式子表示是：（其中 n 是正整数） 注意：（1）乘方时，一定要把分式加上括号； （2）分式乘方时确定乘方结果的符号与有理数乘方相同，即正分式的任何次幂都为正；负分 式的偶次幂 为正，奇次幂为负； （3）分式乘方时，应把分子、分母分别看做一个整体； （4）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算乘除，有多项式 时应先分解 因式，再约分。 分式的加减法则：分式的加减法则： 法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。 bc ad c d b a d c b a bd ac d c b a ; n n n b a b a )( 用式子表示为：a b c b ac b 法则：异分母的分式相加减，先通分，转化为同分母分式，然后再加减。 用式子表示为： a b c d ad bd bc bd adbc bd 注意：（1）“把分子相加减”是把各个分子的整体相加减，即各个分子应先加上括号后再加减，分 子是单项式时括 号可以省略； （2）异分母分式相加减，“先通分”是关键，最简公分母确定后再通分，计算时要注意分式中 符号的处理， 特别是分子相减，要注意分子的整体性； （3）运算时顺序合理、步骤清晰； （4）运算结果必须化成最简分式或整式。 分式的混合运算分式的混合运算: : 分式的混合运算，关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除及乘方的混合运算一样，先算 乘方，再算 乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的，计算结果要化为整式或最简分式。 8.8. 任何一个不等于零的数的零次幂等于 1， 即)0( 1 0 aa；当 n 为正整数时， n n a a 1 （)0a 注意：当幂指数为负整数时，最后的计算结果要把幂指数化为正整数。 9.9. 整数指数幂：整数指数幂： 若 m、n 为正整数，a0，a m a mn a m a m.an 1 a n 又因为 a m a mnammnan,所以 an1 a n 一般地，当 n 是正整数时，a n1 a n （a0），即 a n（a0）是 an的倒数，这样指数的取值范围 就推广到全体 整数。整数指数幂可具有下列运算性质：(m,n 是整数) （1）同底数的幂的乘法： nmnm aaa ； （2）幂的乘方： mnnm aa)(; （3）积的乘方： nnn baab)(； （4）同底数的幂的除法： nmnm aaa ( a0)； （5）商的乘方： n n n b a b a )(；(b0) 规定：a 01（a0），即任何不等于 0 的零次幂都等于 1. 10.10. 分式方程：分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程叫做分式方程。 分式方程的解法： （1）解分式方程的基本思想方法是：分式方程 整式方程. （2）解分式方程的一般方法和步骤： 去分母 转化 去分母：即在方程的两边都同时乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，依据是等式的基 本性质； 解这个整式方程； 检验：把整式方程的解代入最简公分母，使最简公分母不等于 0 的解是原方程的解，使最简公 分母等于 0 的解不是原方程的解，即说明原分式方程无解。 注意： 去分母时，方程两边的每一项都乘以最简公分母，不要漏乘不含分母的项； 解分式方程必须要验根，千万不要忘了！ 解分式方程的步骤解分式方程的步骤 ： (1) 能化简的先化简；(2)方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；(3)解整式方程；(4)验根 分式方程检验方