四边形探究练习题四边形.doc

2013年四边形探究练习题参考答案与试题解析一解答题（共30小题）1（2012自贡）如图所示，在菱形abcd中，ab=4，bad=120，aef为正三角形，点e、f分别在菱形的边bc、cd上滑动，且e、f不与b、c、d重合（1）证明不论e、f在bc、cd上如何滑动，总有be=cf；（2）当点e、f在bc、cd上滑动时，分别探讨四边形aecf和cef的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值考点：菱形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质735497 分析：（1）先求证ab=ac，进而求证abc、acd为等边三角形，得4=60，ac=ab进而求证abeacf，即可求得be=cf；（2）根据abeacf可得sabe=sacf，故根据s四边形aecf=saec+sacf=saec+sabe=sabc即可解题；当正三角形aef的边ae与bc垂直时，边ae最短aef的面积会随着ae的变化而变化，且当ae最短时，正三角形aef的面积会最小，又根据scef=s四边形aecfsaef，则cef的面积就会最大解答：（1）证明：连接ac，如下图所示，四边形abcd为菱形，bad=120，1+eac=60，3+eac=60，1=3，bad=120，abc=60，abc和acd为等边三角形，4=60，ac=ab，在abe和acf中，abeacf（asa）be=cf；（2）解：四边形aecf的面积不变，cef的面积发生变化理由：由（1）得abeacf，则sabe=sacf，故s四边形aecf=saec+sacf=saec+sabe=sabc，是定值，作ahbc于h点，则bh=2，s四边形aecf=sbc=bcah=bc=4，由“垂线段最短”可知：当正三角形aef的边ae与bc垂直时，边ae最短故aef的面积会随着ae的变化而变化，且当ae最短时，正三角形aef的面积会最小，又scef=s四边形aecfsaef，则此时cef的面积就会最大scef=s四边形aecfsaef=42=点评：本题考查了菱形的性质、全等三角形判定与性质及三角形面积的计算，求证abeacf是解题的关键，有一定难度2（2012盐城）如图所示，已知a、b为直线l上两点，点c为直线l上方一动点，连接ac、bc，分别以ac、bc为边向abc外作正方形cadf和正方形cbeg，过点d作dd1l于点d1，过点e作ee1l于点e1（1）如图，当点e恰好在直线l上时（此时e1与e重合），试说明dd1=ab；（2）在图中，当d、e两点都在直线l的上方时，试探求三条线段dd1、ee1、ab之间的数量关系，并说明理由；（3）如图，当点e在直线l的下方时，请直接写出三条线段dd1、ee1、ab之间的数量关系（不需要证明）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质735497 专题：几何综合题分析：（1）由四边形cadf、cbeg是正方形，可得ad=ca，dac=abc=90，又由同角的余角相等，求得add1=cab，然后利用aas证得add1cab，根据全等三角形的对应边相等，即可得dd1=ab；（2）首先过点c作chab于h，由dd1ab，可得dd1a=cha=90，由四边形cadf是正方形，可得ad=ca，又由同角的余角相等，求得add1=cah，然后利用aas证得add1cah，根据全等三角形的对应边相等，即可得dd1=ah，同理ee1=bh，则可得ab=dd1+ee1（3）证明方法同（2），易得ab=dd1ee1解答：（1）证明：四边形cadf、cbeg是正方形，ad=ca，dac=abc=90，dad1+cab=90，dd1ab，dd1a=abc=90，dad1+add1=90，add1=cab，在add1和cab中，add1cab（aas），dd1=ab；（2）解：ab=dd1+ee1证明：过点c作chab于h，dd1ab，dd1a=cha=90，dad1+add1=90，四边形cadf是正方形，ad=ca，dac=90，dad1+cah=90，add1=cah，在add1和cah中，add1cah（aas），dd1=ah；同理：ee1=bh，ab=ah+bh=dd1+ee1；（3）解：ab=dd1ee1证明：过点c作chab于h，dd1ab，dd1a=cha=90，dad1+add1=90，四边形cadf是正方形，ad=ca，dac=90，dad1+cah=90，add1=cah，在add1和cah中，add1cah（aas），dd1=ah；同理：ee1=bh，ab=ahbh=dd1ee1点评：此题考查了正方形的性质与全等三角形的判定与性质此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法3（2012厦门）已知平行四边形abcd，对角线ac和bd相交于点o，点p在边ad上，过点p作peac，pfbd，垂足分别为e、f，pe=pf（1）如图，若pe=，eo=1，求epf的度数；（2）若点p是ad的中点，点f是do的中点，bf=bc+34，求bc的长考点：平行四边形的性质；角平分线的性质；三角形中位线定理；正方形的判定与性质735497 专题：几何综合题分析：（1）连接po，利用解直角三角形求出epo=30，再利用“hl”证明peo和pfo全等，根据全等三角形对应角相等可得fpo=epo，从而得解；（2）根据三角形中位线定理可得pfao，且pf=ao，然后根据两直线平行，同位角相等可得aod=pfd=90，再根据同位角相等，两直线平行可得peod，所以pe也是aod的中位线，然后证明四边形abcd是正方形，根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解解答：解：（1）如图，连接po，peac，pe=，eo=1，tanepo=，epo=30，peac，pfbd，peo=pfo=90，在rtpeo和rtpfo中，rtpeortpfo（hl），fpo=epo=30，epf=fpo+epo=30+30=60；（2）如图，点p是ad的中点，点f是do的中点，pf为aod中位线，pfao，且pf=ao，pfbd，pfd=90，aod=pfd=90，又peac，aep=90，aod=aep，peod，点p是ad的中点，pe是aod的中位线，pe=od，pe=pf，ao=od，且aood，平行四边形abcd是正方形，设bc=x，则bf=x+x=x，bf=bc+34=x+34，x+34=x，解得x=4，即bc=4点评：本题考查了平行四边形的性质，三角形的中位线定理，正方形的判定与性质，（2）中判定出平行四边形abcd是正方形是解题的关键6（2012青海）如图（*），四边形abcd是正方形，点e是边bc的中点，aef=90，且ef交正方形外角平分线cf于点f请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题（1）探究1：小强看到图（*）后，很快发现ae=ef，这需要证明ae和ef所在的两个三角形全等，但abe和ecf显然不全等（一个是直角三角形，一个是钝角三角形），考虑到点e是边bc的中点，因此可以选取ab的中点m，连接em后尝试着去证aemefc就行了，随即小强写出了如下的证明过程：证明：如图1，取ab的中点m，连接emaef=90 fec+aeb=90又eam+aeb=90 eam=fec点e，m分别为正方形的边bc和ab的中点am=ec又可知bme是等腰直角三角形ame=135又cf是正方形外角的平分线ecf=135aemefc（asa）ae=ef（2）探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点e是边bc的中点”改为“点e是边bc上的任意一点”，其余条件不变，发现ae=ef仍然成立，请你证明这一结论（3）探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点e是边bc的中点”改为“点e是边bc延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论ae=ef是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质735497 专题：阅读型分析：（2）在ab上截取am=ec，然后证明eam=fec，ame=ecf=135，再利用“角边角”证明aem和efc全等，然后根据全等三角形对应边相等即可证明；（3）延长ba到m，使am=ce，然后证明bme=45，从而得到bme=ecf，再利用两直线平行，内错角相等证明dae=bea，然后得到mae=cef，再利用“角边角”证明mae和cef全等，根据全等三角形对应边相等即可得证解答：（2）探究2，证明：在ab上截取am=ec，连接me，由（1）知eam=fec，am=ec，ab=bc，bm=be，bme=45，ame=ecf=135，aef=90，fec+aeb=90，又eam+aeb=90，eam=fec，在aem和efc中，aemefc（asa），ae=ef；（3）探究3：成立，证明：延长ba到m，使am=ce，连接me，bm=be，bme=45，bme=ecf=45，又adbe，dae=bea，又mad=aef=90，dae+mad=bea+aef，即mae=cef，在mae和cef中，maecef（asa），ae=ef点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，阅读材料，理清解题的关键是取am=ec，然后构造出aem与efc全等是解题的关键7（2012锦州）已知：在abc中，bac=90，ab=ac，点d为直线bc上一动点（点d不与b、c重合）以ad为边作正方形adef，连接cf（1）如图1，当点d在线段bc上时，求证：bdcfcf=bccd（2）如图2，当点d在线段bc的延长线上时，其它条件不变，请直接写出cf、bc、cd三条线段之间的关系；（3）如图3，当点d在线段bc的反向延长线上时，且点a、f分别在直线bc的两侧，其它条件不变：请直接写出cf、bc、cd三条线段之间的关系若连接正方形对角线ae、df，交点为o，连接oc，探究aoc的形状，并说明理由考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定735497 专题：证明题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质可得abc=acb=45，再根据正方形的性质可得ad=af，daf=90，然后利用同角的余角相等求出bad=caf，然后利用“边角边”证明bad和caf全等，根据全等三角形对应角相等可得acf=abd，再求出acf+acb=90，从而得证；根据全等三角形对应边相等可得bd=cf，从而求出cf=bccd；（2）与（1）同理可得bd=cf，然后结合图形可得cf=bc+cd；（3）与（1）同理可得bd=cf，然后结合图形可得cf=cdbc；根据等腰直角三角形的性质求出abc=acb=45，再根据邻补角的定义求出abd=135，再根据同角的余角相等求出bad=caf，然后利用“边角边”证明bad和caf全等，根据全等三角形对应角相等可得acf=abd，再求出fcd=90，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出oc=df，再根据正方形的对角线相等求出oc=oa，从而得到aoc是等腰三角形解答：（1）证明：bac=90，ab=ac，abc=acb=45，四边形adef是正方形，ad=af，daf=90，bac=bad+dac=90，daf=caf+dac=90，bad=caf，在bad和caf中，badcaf（sas），acf=abd=45，acf+acb=90，bdcf；由badcaf可得bd=cf，bd=bccd，cf=bccd；（2）与（1）同理可得bd=cf，所以，cf=bc+cd；（3）与（1）同理可得，bd=cf，所以，cf=cdbc；bac=90，ab=ac，abc=acb=45，则abd=18045=135，四边形adef是正方形，ad=af，daf=90，bac=baf+caf=90，daf=bad+baf=90，bad=caf，在bad和caf中，badcaf（sas），acf=abd=18045=135，fcd=acfacb=90，则fcd为直角三角形，正方形adef中，o为df中点，oc=df，在正方形adef中，oa=ae，ae=df，oc=oa，aoc是等腰三角形点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键8（2012佳木斯）在菱形abcd中，abc=60，e是对角线ac上一点，f是线段bc延长线上一点，且cf=ae，连接be、ef（1）若e是线段ac的中点，如图1，易证：be=ef（不需证明）；（2）若e是线段ac或ac延长线上的任意一点，其它条件不变，如图2、图3，线段be、ef有怎样的数量关系，直接写出你的猜想；并选择一种情况给予证明考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质735497 专题：综合题分析：（1）根据菱形的性质结合abc=60可得abc是等边三角形，再根据等腰三角形三线合一的性质可得cbe=abc=30，ae=ce，所以ce=cf，然后等边对等角的性质可得f=cef，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出f=30，从而得到cbe=f，根据等角对等边的性质即可证明；（2）图2，过点e作egbc，交ab于点g，根据菱形的性质结合abc=60可得abc是等边三角形，然后根据等边三角形的性质得到ab=ac，acb=60，再求出age是等边三角形，根据等边三角形的性质得到ag=ae，从而可以求出bg=ce，再根据等角的补角相等求出bge=ecf=120，然后利用“边角边”证明bge和ecf 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；图3，证明思路与方法与图2完全相同解答：证明：（1）四边形abcd为菱形，ab=bc，又abc=60，abc是等边三角形，e是线段ac的中点，cbe=abc=30，ae=ce，ae=cf，ce=cf，f=cef，f+cef=acb=60，f=30，cbe=f，be=ef；（2）图2：be=ef（1分）图3：be=ef（1分）图2证明如下：过点e作egbc，交ab于点g，四边形abcd为菱形，ab=bc，又abc=60，abc是等边三角形，ab=ac，acb=60，（1分）又egbc，age=abc=60，又bac=60，age是等边三角形，（1分）ag=ae，bg=ce，（1分）又cf=ae，ge=cf，又bge=ecf=120，bgeecf（sas），（2分）be=ef； （1分）图3证明如下：过点e作egbc交ab延长线于点g，四边形abcd为菱形，ab=bc，又abc=60，abc是等边三角形，ab=ac，acb=60，（1分）又egbc，age=abc=60，又bac=60，age是等边三角形，（1分）ag=ae，bg=ce，（1分）又cf=ae，ge=cf，又bge=ecf=60，bgeecf（sas），（2分）be=ef （1分）点评：本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，作出辅助线，利用等边三角形的性质找出全等的条件是解题的关键9（2012葫芦岛）如图1和2，四边形abcd是菱形，点p是对角线ac上一点，以点p为圆心，pb为半径的弧，交bc的延长线于点f，连接pf，pd，pb（1）如图1，点p是ac的中点，请写出pf和pd的数量关系：pf=pd；（2）如图2，点p不是ac的中点，求证：pf=pd若abc=40，直接写出dpf的度数考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质735497 分析：（1）先根据菱形的对角线互相平分得出pb=pd，而由已知有pb=pf，则pf=pd；（2）先由菱形的性质得出ab=ad，bac=dac，再由sas证明abpadp，得出pb=pd，又pb=pf，则pf=pd；由于pb=pd=pf，以p为圆心，pb为半径作圆p，则点b、f、d都在圆p上，连接bd，则dpf=2dbf=abc=40解答：（1）解：四边形abcd是菱形，pb=pd，pb=pf，pf=pd故答案为：pf=pd；（2）证明：四边形abcd是菱形，ab=ad，bac=dac在abp和adp中，abpadp（sas），pb=pd，又pb=pf，pf=pd解：以p为圆心，pb为半径作圆p，则点b、f、d都在圆p上，连接bd由圆周角定理，可得dpf=2dbf，又四边形abcd是菱形，abc=2dbf，dpf=abc=40点评：此题考查了菱形的性质与判定、轴对称性与中心对称性此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用10（2012黑龙江）在abc中，bac=90，ab=ac，若点d在线段bc上，以ad为边长作正方形adef，如图1，易证：afc=acb+dac；（1）若点d在bc延长线上，其他条件不变，写出afc、acb、dac的关系，并结合图2给出证明；（2）若点d在cb延长线上，其他条件不变，直接写出afc、acb、dac的关系式考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质735497 专题：几何综合题分析：（1）afc、acb、dac的关系为：afc=acbdac，理由为：由四边形adef为正方形，得到ad=af，且fad为直角，得到bac=fad，等式左右两边都加上cad得到bad=caf，再由ab=ac，ad=af，利用sas可得出三角形abd与三角形acf全等，根据全等三角形的对应角相等可得出afc=adb，又acb为三角形acd的外角，利用外角的性质得到acb=adb+dac，变形后等量代换即可得证；（2）afc、acb、dac的关系式是afc+acb+dac=180，可以根据daf=bac=90，等号两边都减去baf，可得出dab=fac，再由ad=af，ab=ac，利用sas证明三角形abd与三角形afc全等，由全等三角形的对应角相等可得出afc=adb，根据三角形adc的内角和为180，等量代换可得证解答：解：（1）关系：afc=acbdac，（2分）证明：四边形adef为正方形，ad=af，fad=90，bac=90，fad=90，bac+cad=fad+cad，即bad=caf，（3分）在abd和acf中，abdacf（sas），（4分）afc=adb，acb是acd的一个外角，acb=adb+dac，（5分）adb=acbdac，adb=afc，afc=acbdac；（6分）（2）afc、acb、dac满足的关系式为：afc+dac+acb=180，（8分）证明：四边形adef为正方形，daf=90，ad=af，又bac=90，daf=bac，dafbaf=bacbaf，即dab=fac，在abd和acf中，abdacf（sas），adb=afc，在adc中，adb+acb+dac=180，则afc+acb+dac=180点评：此题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，以及三角形的外角性质，熟练掌握判定及性质是解本题的关键11（2012东营）（1）如图1，在正方形abcd中，e是ab上一点，f是ad延长线上一点，且df=be求证：ce=cf；（2）如图2，在正方形abcd中，e是ab上一点，g是ad上一点，如果gce=45，请你利用（1）的结论证明：ge=be+gd（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形abcd中，adbc（bcad），b=90，ab=bc，e是ab上一点，且dce=45，be=4，de=10，求直角梯形abcd的面积考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理；直角梯形735497 专题：几何综合题分析：（1）由四边形是abcd正方形，易证得cbecdf（sas），即可得ce=cf；（2）首先延长ad至f，使df=be，连接cf，由（1）知cbecdf，易证得ecf=bcd=90，又由gce=45，可得gcf=gce=45，即可证得ecgfcg，继而可得ge=be+gd；（3）首先过c作cgad，交ad延长线于g，易证得四边形abcg为正方形，由（1）（2）可知，ed=be+dg，即可求得dg的长，设ab=x，在rtaed中，由勾股定理de2=ad2+ae2，可得方程，解方程即可求得ab的长，继而求得直角梯形abcd的面积解答：（1）证明：四边形是abcd正方形，bc=cd，b=cdf=90，be=df，cbecdf（sas）ce=cf （2分）（2）证明：如图2，延长ad至f，使df=be，连接cf由（1）知cbecdf，bce=dcfbce+ecd=dcf+ecd，即ecf=bcd=90，又gce=45，gcf=gce=45ce=cf，gc=gc，ecgfcg（5分）ge=gf，ge=gf=df+gd=be+gd （6分）（3）解：如图3，过c作cgad，交ad延长线于g在直角梯形abcd中，adbc，a=b=90，又cga=90，ab=bc，四边形abcg为正方形ag=bc（7分）dce=45，根据（1）（2）可知，ed=be+dg（8分）10=4+dg，即dg=6设ab=x，则ae=x4，ad=x6，在rtaed中，de2=ad2+ae2，即102=（x6）2+（x4）2解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）（9分）ab=12s梯形abcd=（ad+bc）ab=（6+12）12=108即梯形abcd的面积为108（10分）点评：此题考查了正方形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法是解此题的关键，注意数形结合思想与方程思想的应用12（2012常德）已知四边形abcd是正方形，o为正方形对角线的交点，一动点p从b开始，沿射线bc运动，连接dp，作cndp于点m，且交直线ab于点n，连接op，on（当p在线段bc上时，如图1：当p在bc的延长线上时，如图2）（1）请从图1，图2中任选一图证明下面结论：bn=cp；op=on，且opon；（2）设ab=4，bp=x，试确定以o、p、b、n为顶点的四边形的面积y与x的函数关系考点：正方形的性质；分段函数；三角形的面积；全等三角形的判定与性质735497 专题：代数几何综合题分析：（1）根据正方形的性质得出dc=bc，dcb=cbn=90，求出cpd=dcn=cnb，证dcpcbn，求出cp=bn，证obnocp，推出on=op，bon=cop，求出pon=cob即可；（2）同法可证图2时，op=on，opon，图1中，s四边形opbn=sobn+sbop，代入求出即可；图2中，s四边形obnp=spob+spbn，代入求出即可解答：（1）证明：如图1，四边形abcd为正方形，oc=ob，dc=bc，dcb=cba=90，ocb=oba=45，doc=90，dcab，dpcn，cmd=doc=90，bcn+cpd=90，pcn+dcn=90，cpd=cnb，dcab，dcn=cnb=cpd，在dcp和cbn中，dcpcbn（aas），cp=bn，在obn和ocp中，obnocp（sas），on=op，bon=cop，bon+bop=cop+bop，即nop=boc=90，onop，即on=op，onop（2）解：ab=4，四边形abcd是正方形，o到bc边的距离是2，图1中，s四边形opbn=sobn+sbop，=（4x）2+x2，=4（0x4），图2中，s四边形obnp=spob+spbn=x2+（x4）x=x2x（x4），即以o、p、b、n为顶点的四边形的面积y与x的函数关系是：点评：本题考查了正方形性质，全等三角形的性质和判定，分段函数等知识点的应用，解（1）小题的关键是能运用性质进行推理，解（2）的关键是求出符合条件的所有情况，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目，注意：证明过程类似13（2012滨州）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线如图，在梯形abcd中，adbc，点e，f分别是ab，cd的中点，那么ef就是梯形abcd的中位线通过观察、测量，猜想ef和ad、bc有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论考点：梯形中位线定理；全等三角形的判定与性质；三角形中位线定理735497 专题：探究型分析：连接af并延长交bc于点g，则adfgcf，可以证得ef是abg的中位线，利用三角形的中位线定理即可证得解答：解：结论为：efadbc，ef=（ad+bc）理由如下：连接af并延长交bc于点gadbc，daf=g，在adf和gcf中，adfgcf，af=fg，ad=cg又ae=eb，efbg，ef=bg，即efadbc，ef=（ad+bc）点评：本题猜想并且证明了梯形的中位线定理，通过辅助线转化成三角形的中位线的问题14（2011珠海）如图，在正方形abc1d1中，ab=1，连接ac1，以ac1为边作第二个正方形ac1c2d2，连接ac2，以ac2为边作第三个正方形ac2c3d3（1）求第二个正方形ac1c2d2和第三个正方形ac2c3d3的边长；（2）请直接写出按此规律所作的第7个正方形的边长考点：正方形的性质；勾股定理735497 专题：应用题；规律型分析：（1）根据正方形的性质可知bc1=ab=1，可求出ac1即第二个正方形的边长为，即可得出第三个正方形的边长，（2）根据（1）找出规律后边的正方形的边长是前边的正方形的倍，据此即可求解解答：解：（1）四边形abc1d1是正方形，b=90，bc1=ab=1，ac1=，即第二个正方形ac1c2d2的边长为，四边形ac1c2d2是正方形，ac1c2=90，c1c2=ac1=，ac2=2，即第三个正方形ac2c3d3的边长是2；（2）第七个正方形的边长为8点评：本题考查了正方形的性质，以及根据（1）找出规律求出第七个正方形的边长，难度适中15（2011永州）探究问题：（1）方法感悟：如图，在正方形abcd中，点e，f分别为dc，bc边上的点，且满足eaf=45，连接ef，求证de+bf=ef感悟解题方法，并完成下列填空：将ade绕点a顺时针旋转90得到abg，此时ab与ad重合，由旋转可得：ab=ad，bg=de，1=2，abg=d=90，abg+abf=90+90=180，因此，点g，b，f在同一条直线上eaf=452+3=badeaf=9045=451=2，1+3=45即gaf=fae又ag=ae，af=afgafeafgf=ef，故de+bf=ef（2）方法迁移：如图，将rtabc沿斜边翻折得到adc，点e，f分别为dc，bc边上的点，且eaf=dab试猜想de，bf，ef之间有何数量关系，并证明你的猜想（3）问题拓展：如图，在四边形abcd中，ab=ad，e，f分别为dc，bc上的点，满足eaf=dab，试猜想当b与d满足什么关系时，可使得de+bf=ef请直接写出你的猜想（不必说明理由）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；旋转的性质735497 分析：（1）利用角之间的等量代换得出gaf=fae，再利用sas得出gafeaf，得出答案；（2）作出4=1，利用已知得出gaf=fae，再证明agfaef，即可得出答案；（3）根据角之间关系，只要满足b+d=180时，就可以得出三角形全等，即可得出答案解答：解：（1）根据等量代换得出gaf=fae，利用sas得出gafeaf，gf=ef，故答案为：fae；eaf；gf；（2）证明：延长cf，作4=1，将rtabc沿斜边翻折得到adc，点e，f分别为dc，bc边上的点，且eaf=dab，1+2=3+5，2+3=1+5，4=1，2+3=4+5，gaf=fae，在agb和aed中，agbaed（asa），ag=ae，bg=de，在agf和aef中，agfaef（sas），gf=ef，de+bf=ef；（3）当b与d满足b+d=180时，可使得de+bf=ef点评：此题主要考查了全等三角形的判定以及折叠的性质和旋转变换性质等知识，根据题意作出与已知相等的角，利用三角形全等是解决问题的关键16（2011营口）已知正方形abcd，点p是对角线ac所在直线上的动点，点e在dc边所在直线上，且随着点p的运动而运动，pe=pd总成立（1）如图（1），当点p在对角线ac上时，请你通过测量、观察，猜想pe与pb有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）；（2）如图（2），当点p运动到ca的延长线上时，（1）中猜想的结论是否成立？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；（3）如图（3），当点p运动到ca的反向延长线上时，请你利用图（3）画出满足条件的图形，并判断此时pe与pb有怎样的关系？（直接写出结论不必证明）考点：正方形的性质；垂线；全等三角形的判定与性质735497 专题：几何综合题分析：（2）根据正方形的性质和全等三角形的判定证pdcpbc，推出pb=pd=pe，pde=180pbc=ped，求出pec+pbc=180，求出epb的度数即可；（1）和（3）证法与（2）类似解答：（1）解：pe=pb，pepb（2）解：（1）中的结论成立四边形abcd是正方形，ac为对角线，cd=cb，acd=acb，又pc=pc，pdcpbc，pd=pb，pe=pd，pe=pb，：由，得pdcpbc，pdc=pbc（7分）又pe=pd，pde=pedpde+pdc=pec+pbc=180，epb=360（pec+pbc+dcb）=90，pepb（3）解：如图所示：结论：pe=pb，pepb点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，垂线等知识点，解此题的关键是求出pd=pb和pec+pbc=180，题目比较典型，难度适中，通过做此题培养了学生的观察能力和分析问题的能力17（2011咸宁）（1）如图，在正方形abcd中，aef的顶点e，f分别在bc，cd边上，高ag与正方形的边长相等，求eaf的度数（2）如图，在rtabd中，bad=90，ab=ad，点m，n是bd边上的任意两点，且man=45，将abm绕点a逆时针旋转90至adh位置，连接nh，试判断mn，nd，dh之间的数量关系，并说明理由（3）在图中，连接bd分别交ae，af于点m，n，若eg=4，gf=6，bm=3，求ag，mn的长考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；勾股定理735497 分析：（1）根据高ag与正方形的边长相等，证明三角形全等，进而证明角相等，从而求出解（2）用三角形全等和正方形的对角线平分每一组对角的知识可证明结论（3）设出线段的长，结合方程思想，用数形结合得到结果解答：解：（1）在rtabe和rtage中，ab=ag，ae=ae，rtabertage（hl）bae=gae（1分）同理，gaf=daf（2分）（2）mn2=nd2+dh2（3分）bam=dah，bam+dan=45，han=dah+dan=45han=man又am=ah，an=an，amnahnmn=hn（5分）bad=90，ab=ad，abd=adb=45hdn=hda+adb=90nh2=nd2+dh2mn2=nd2+dh2（6分）（3）由（1）知，be=eg，df=fg设ag=x，则ce=x4，cf=x6在rtcef中，ce2+cf2=ef2，（x4）2+（x6）2=102解这个方程，得x1=12，x2=2（舍去负根）即ag=12（8分）在rtabd中，在（2）中，mn2=nd2+dh2，bm=dh，mn2=nd2+bm2（9分）设mn=a，则即a 2=（9a） 2+（3） 2，即（10分）点评：本题考查正方形的性质，四边相等，对角线平分每一组对角，以及全等三角形的判定和性质，勾股定理的知识点等19（2011潍坊）已知正方形abcd的边长为a，两条对角线ac、bd相交于点o，p是射线ab上任意一点，过p点分别作直线ac、bd的垂线pe、pf，垂足为e、f（1）如图1，当p点在线段ab上时，求pe+pf的值（2）如图2，当p点在线段ab的延长线上时，求pepf的值考点：正方形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形735497 专题：几何图形问题分析：（1）因为abcd是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过p点分别作直线ac、bd的垂线pe、pf，垂足为e、f，所以可证明四边形pfoe是矩形，从而求出解（2）因为四边形abcd是正方形，所以对角线互相垂直，又因为过p点分别作直线ac、bd的垂线pe、pf，垂足为e、f，所以可证明四边形pfoe是矩形，从而求出解解答：解：（1）abcd是正方形，acbd，pfbd，pfac，同理pebd，四边形pfoe为矩形，故pe=of又pbf=bpf=45，pf=bfpe+pf=of+fb=ob=acos45=a（2）四边形abcd是正方形，acbd，pfbf，pfac，同理pebd，四边形pfoe为矩形，故pe=of又pbf=oba=45，pf=bf又bc=a，pepf=ofbf=ob=bccos45=acos45=a点评：本题考查正方形的性质，正方形的对角线互相垂直且平分每一组对角，四边相等，四个角都是直角，以及矩形的判定和性质解直角三角形等22（2011邵阳）数学课堂上，徐老师出示一道试题：如图1所示，在正三角形abc中，m是bc边（不含端点b、c）上任意一点，p是bc延长线上一点，n是acp的平分线上一点若amn=60，求证：am=mn（1）经过思考，小明展示了一种正确的证明过程请你将证明过程补充完整证明：在ab上截取ea=mc，连接em，得aem1=180ambamn，2=180ambb，amn=b=60，1=2又cn平分acp，4=acp=60mcn=3+4=120又ba=bc，ea=mc，baea=bcmc，即be=bmbem为等边三角形6=605=1806=120由得mcn=5在aem和mcn中，1=2ae=mc，mcn=5aemmcn （asa）am=mn（2）若将试题中的“正三角形abc”改为“正方形a1b1c1d1”（如图2），n1是d1c1p1的平分线上一点，则当a1m1n1=90时，结论a1m1=m1n1是否还成立？（直接写出答案，不需要证明）（3）若将题中的“正三角形abc”改为“正多边形anbncndnxn”，请你猜想：当anmnnn=时，结论anmn=mnnn仍然成立？（直接写出答案，不需要证明）考点：正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质735497 分析：（1）由aemmcn 所需角边角条件而得；（2）判断，成立，再截去；（3）当n=3，4时的度数，来猜想解答：（1）证明：由下一步aemmcn （asa）所需条件证得：1=2ae=mc，mcn=5；（2）解：成立在a1b1上截取a1h=m1c1；（3）由amn=60=180，a1m1n1=90=180，猜想：anmnnn=180点评：本题考查了正方形的性质，（1）由aemmcn 所需角边角条件来求；（2）判断成立后，再截去；（3）当n等于3，4时，得到的度数，从而猜得当n=n时的度数23（2011衢州）abc是一张