概率论重点及课后题答案7.doc

第7章数理统计的基础知识一、大纲要求(1)理解总体、简单随机样本、统计量、样本均值、样本方差及样本矩的概念,了解直方图和样本分布函数的意义和作用.(2)了解分布、分布、分布的概念和性质,了解分位数的概念并掌握查表计算.(3)了解正态总体的抽样分布.二、重点知识结构图分布的定义及性质样本阶中心矩统计量分布的定义及性质样本阶原点矩样本均值样本标准差分布的定义及性质抽样分布三、基本知识1.总体和个体在数理统计中,把研究对象的全体称为总体或母体,把组成总体的每一个研究对象(元素或单元)称为个体.总体分为有限总体和无限总体.有限总体是指其总体中的成员只有有限个.相应的,无限总体是指其总体中的成员有无限个.2样本在一个总体中,抽取个个体,这个个体总称为总体的样本或子样,称为样本容量.样本特性: 代表性，样本中的每一个分量与总体有相同的分布。 独立性，个样本是相互独立的，具有上述两个特性的样本称为简单随机样本，简称样本.1. 样本分布对于总体的样本,若的分布函数为,那么样本的联合分布函数为若的密度函数为,那么样本的联合密度函数为2. 样本分布函数设是总体的一个样本观察值,将它们按大小排列为,令称为样本分布函数(或经验分布函数).3. 统计量的定义定义设是总体的一个样本,若是连续函数,且其中不包含任何未知参数,称样本函数为统计量.常用统计量设是从总体中抽取的一个样本.(1) 样本均值(2) 样本方差(3) 样本阶原点矩(4) 样本阶中心矩4. 常用统计量的性质设是取自总体的一个样本,则5. 抽样分布定义统计量的分布称为抽样分布.(1)分布定义设是相互独立的随机变量,且,则随机变量所服从的分布称为分布,记作,其中为参数,称为自由度.分布的密度函数为其中,为函数,定义为的性质: 若，则 若与相互独立，且，则。此性质称为分布具有可加性.(2)分布定义设,且与相互独立,则随机变量所服从的分布称为分布(或学生氏分布),记为,称为自由度.分布的密度函数为分布的性质: 分布的密度函数为偶函数 若，则.(3)分布定义设,且与相互独立,则随机变量所服从的分布称为分布,记为,和称为自由度.分布的密度函数为分布的性质:若,则.6. 分位点定义对给定的，使成立的称为的上侧分位点,或上分位数、临界值.7. 正态总体抽样分布(1) 单个正态总体情形设总体,是的一个样本,则有 ； ； ； ； .(2) 两个正态总体情形设总体，与相互独立,为取自总体的一个样本,为取自总体的一个样本.记 ; ; ; .四、典型例题例1设总体服从正态分布,而是来自总体的简单随机变量服从分布，参数为.解因为随机变量,而随机变量,因此有例2设是来自正态总体的简单随机样本,统计量为则当时,统计量服从分布,自由度为.解因和均服从正态分布,且因此,由分布的定义有所以;自由度为2.例3设总体,从两个总体中分别抽样,得到如下结果:求概率.解因,所以,从而例4设是总体的一个样本，、为未知,而，求.解因为未知,所以有将代入,得.所以有例5 设是来自总体的简单随机样本,且,设总体的均值和方差均存在,求统计量的数学期望.解记,显然有,因此例6设总体,是来自的样本,试求(1)的分布律;(2)的分布律.解 (1)的分布律为(2)独立同服从分布,则,其分布律为例7设和分别是样本的均值和方差,且现在又获得了第个观察值,试证明:(1)(2)证 (1)(3) 由(1)的结果有例8设在总体中抽取一容量为16的样本,其中、均未知,求:(1);(2).解 (1)因为,且所以由分布上的侧分位点并查表得,即,故(2)因为所以故例9设总体,从两总体中分别抽取样本,取得数据如下:求:(1);(2),设.解 (1),.故所求的概率为(2)查表得,即,故所求概率为五、课本习题全解7-1 7-2 因为所以7-3 (1)频数分布表: 15 16 17 18 19 2 8 15 4 1(2)7-4 (1)频率分布:环数 10 9 8 7 6 5 4 频率 (2)7-5 (1)、(4)、(5)不是统计量,因为含有未知数 ;(2)、(3)、(6)是统计量.7-6 用变换化简得到13块冰的热量数据位-2,4,2,4,3,3,4,-3,5,3,2,0,2则有,即,故又因为故7-7 用变换化简得到 -35 -9 12 34 -2 3 4 1则有,故7-8 当时, (1) (2)7-9 密度函数为故数学期望为因此7-10 (1)若，由常用统计量的性质可知 (2)若,则有,故7-11 7-12 已知,则有,故查表得7-13 (1); (2); (3).7-14 (1); (2); (3); (4); (5).7-15 已知. (1),故. (2).7-16 要使服从分布,则有又因为,所以有,即.7-17 已知,由分布的定义可知7-18 7-19 已知,由分布及分布的定义可知六、自测题及答案1.设随机变量与相互独立,且都服从正态分布,而和是分别来自总体和的简单随机样本,则统计量服从分布,参数为.2.设总体,是来自的样本,设则当时,.3.在天平重复称一重为的物品时,假设每次称重结果相互独立且服从正态分布,若以表示次称量结果的算术平均值,为使,则的最小值应不小于自然数.4.设是来自正态总体的样本,则服从分布.5设总体和相互独立,其中以及时分布来自总体和的随机样本,则统计量服从分布;的数学期望为,方差为.6.设为总体的一个样本,未知,则.(a) (b) (c) (d)7.设是总体的样本,是样本方差,则 ( ).(a) (b) (c) (d)8.设为的一个样本,与分别为样本均值和样本方差,则( )成立.(a) (b)(c) (d)9设是来自正态总体的样本,则统计量服从的分布为( ).(a) (b) (c) (d)10.设和是分别来自两个正态总体和的样本,且相互独立,和分别是两个样本的样本方差,则服从的统计量是( ).(a) (b) (c) (d)11.设总体服从指数分布,概率密度为设为的一个样本,证明:12.设是来自正态总体的简单随机样本,且有证明:统计量服从分布.13.设总体服从参数的泊松分布,是来自的简单随机样本分布,求:(1)样本的联合概率密度;(2)的分布律.14.假设是来自总体的简单随机样本,求系数,使服从分布,并求其自由度.15.盒中有3件产品,其中1件次品,2件正品,每次从中任取1件,记正品的件数是随机变量,有放回的抽取10次,得到容量为10的样本,试求:(1)样本均值的数学期望;(2)样本均值的方差;(3)的概率函数.答案1服从分布,参数为9.2因为,所以,即于是有故当时,.3由于,所以有,即,故.因此的最小值应不少于16.4.5.;.6.因为独立同分布,所以,于是而故c项正确.7.因为是正态分布,且,故由分布的性质可知,即.故d项正确.8.因为,所以a项不正确,b项正确.因为独立,所以,因此c项也不正确.当时,;但当时,所以d项也不正确.9.c10.d11.证明因为的概率密度为所以,也可以看作的指数分布.令则由分布的可加性有12.证明设,.从而由正态总体样本方差的性质,如由与,与,与独立可知,与独立,由分布的定义可知13.(1)的联合分布密度为(1) 先求的概率分布.即,从而可用归纳法证明.因此,的概率分布为14.由于相互独立且均服从正态分布,故从而所以