重庆市江津中学2016届九年级下期中数学试卷含答案解析.docVIP

2015-2016学年重庆市江津中学九年级（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题下面，都给出了代号为a，b，c，d的四个答案，其中只有一个是正确的，请讲答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑1在2.5，0，2这四个数中，是正整数的是（）a2.5b c0d22如图，是由相同小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）a b c d3化简的结果是（）a4b3c3d94在平面直角坐标系中，若点p的坐标为（3，2），则点p所在的象限是（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限5若一个正多边形的一个外角是40，则这个正多边形的边数是（）a6b8c9d106已知甲、乙、丙三个旅游团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是30岁，这三个团游客年龄的方差分别是s甲2=1.4，s乙2=18.8s丙2=25，导游小芳喜欢带游客年龄相近的团队，若要在这三个团中选择一个，则她应选（）a甲b乙c丙d哪一个都可以7如图，ab为o的直径，弦cdab，e为弧bc上一点，若cea=28，则abd=（）a14b28c56d808如图，abcd，a=45，c=28，则aec的大小为（）a17b62c63d739如果分式的值等于0，则x的值是（）a2b2c2或2d2或310五一节，小丽独自一人去老家玩，家住在车站附近的姑姑到车站去接小丽因为担心小丽下车后找不到路，姑姑一路小跑来到车站，结果客车晚点，休息一阵后，姑姑接到小丽，和小丽一起慢慢的走回了家下列图象中，能反映以上过程中小丽姑姑离家的距离s与时间t的关系的大致图象是（）a b c d11用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第13个图案需要的黑色五角星的个数是（）a18b19c21d2212如图，以平行四边形abco的顶点o为原点，边oc所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点a、c的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点a的反比例函数y=的图象交bc于d，连接ad，则四边形aocd的面积是（）a6b7c9d10二、填空题：本题工6小题，每小题4分，共24分13因式分解：x29=14计算：（1）2016sin60+|1|=15如图，abc与def位似，位似中心为点o，且abc的面积等于def面积的，则ab：de=16如图，点a、b、c在直径为2的o上，bac=45，则图中阴影部分的面积等于（结果中保留）17从3，2，1，0，1，2这六个数字中随机抽取一个数，记为a，a的值即使得不等式组无解，又在函数y=的自变量取值范围内的概率为18如图，在正方形abcd中，e为ab边的中点，g，f分别为ad，bc边上的点，若ag=1，bf=2，gef=90，求gf的长三、解答题：本大题2个小题，每题7分，工14分，解答题时每小题必须给出必要的盐酸过程或推理步骤，画出必要的图形，请讲解答过程书写在答题卡中对应的位置上19如图所示，在abc中，ab=cb，abc=90，f为ab延长线上一点，点e在bc上，且ae=cf求证：rtabertcbf20我校初三学子在不久前结束的体育中考中取得满意成绩，赢得2016年中考开门红现随机抽取了部分学生的成绩作为一个样本，按a（满分）、b（优秀）、c（良好）、d（及格）四个等级进行统计，并将统计结果制成如下2幅不完整的统计图，如图，请你结合图表所给信息解答下列问题：（1）将折线统计图在图中补充完整；此次调查共随机抽取了名学生，其中学生成绩的中位数落在等级；（2）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为满分的男生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为满分的学生中有4名女生，且满分的男、女生中各有2名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）21化简下列各式：（1）4（a+b）22（a+b）（2a2b）（2）（m+1）22商场经营的某品牌童装，4月的销售额为20000元，为扩大销量，5月份商场对这种童装打9折销售，结果销量增加了50件，销售额增加了7000元（1）求该童装4月份的销售单价；（2）若4月份销售这种童装获利8000元，6月全月商场进行“六一儿童节”促销活动童装在4月售价的基础上一律打8折销售，若该童装的成本不变，则销量至少为多少件，才能保证6月的利润比4月的利润至少增长25%？23重庆大坪时代天街已成为人们周末休闲娱乐的重要场所，时代天街从一楼到二楼有一自动扶梯（如图1），图2是侧面示意图已知自动扶梯ac的坡度为i=1：2.4，ac=13m，be是二楼楼顶，efmn，b是ef上处在自动扶梯顶端c正上方的一点，且bcef，在自动扶梯底端a处测得b点仰角为42（sin420.67，cos420.74，tan420.90）为了吸引顾客，开发商想在p处放置一个高10m的疯狂动物城的装饰雕像，并要求雕像最高点与二楼顶层要留出2m距离好放置灯具，请问这个雕像能放得下吗？如果不能，请说明理由24对x，y定义一种新运算t，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知t（1，1）=2，t（4，2）=1（1）求a，b的值；（2）若关于m的不等式组恰好有4个整数解，求实数p的取值范围25如图，abc是等边三角形，点d在ac上，点e在bc的延长线上，且bd=de（1）若点d是ac的中点，如图1，求证：ad=ce（2）若点d不是ac的中点，如图2，试判断ad与ce的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点d作dfbc，交ab于点f）（3）若点d在线段ac的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由26如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c分别交x轴于a（4，0）、b（1，0），交y轴于点c（0，3），过点a的直线y=x+3交抛物线于另一点d（1）求抛物线的解析式及点d的坐标；（2）若点p位x轴上的一个动点，点q在线段ac上，且q到x轴的距离为，连接pc、pq，当pcq的周长最小时，求出点p的坐标；（3）如图2，在（2）的结论下，连接pd，在平面内是否存在a1p1d1，使a1p1d1apd（点a1、p1、d1的对应点分别是a、p、d，a1p1平行于y轴，点p1在点a1上方），且a1p1d1的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点a1的横坐标m，若不存在，请说明理由2015-2016学年重庆市江津中学九年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分，在每小题下面，都给出了代号为a，b，c，d的四个答案，其中只有一个是正确的，请讲答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑1在2.5，0，2这四个数中，是正整数的是（）a2.5b c0d2【考点】有理数【分析】根据有理数的分类进行判断即可有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）【解答】解：a、2.5是负分数故本选项错误；b、是正分数故本选项错误；c、0是整数，它既不是正整数，也不是负整数故本选项错误；d、2是正整数故本选项正确；故选d2如图，是由相同小正方体组成的立体图形，它的主视图为（）a b c d【考点】简单组合体的三视图【分析】从正面看所得到的图形是主视图，先看主视图有几列，再看每一列有几个正方形【解答】解：从正面看可得到左边第一竖列为3个正方形，第二竖列为1个正方形，第三竖列为1个正方形，第四竖列为2个正方形，故选d3化简的结果是（）a4b3c3d9【考点】二次根式的性质与化简【分析】先把27分解为93，再把9开方即可【解答】解： =3；故选b4在平面直角坐标系中，若点p的坐标为（3，2），则点p所在的象限是（）a第一象限b第二象限c第三象限d第四象限【考点】点的坐标【分析】根据点在第二象限的坐标特点即可解答【解答】解：点的横坐标30，纵坐标20，这个点在第二象限故选：b5若一个正多边形的一个外角是40，则这个正多边形的边数是（）a6b8c9d10【考点】多边形内角与外角【分析】利用任意凸多边形的外角和均为360，正多边形的每个外角相等即可求出答案【解答】解：多边形的每个外角相等，且其和为360，据此可得=40，解得n=9故选：c6已知甲、乙、丙三个旅游团的游客人数都相等，且每个团游客的平均年龄都是30岁，这三个团游客年龄的方差分别是s甲2=1.4，s乙2=18.8s丙2=25，导游小芳喜欢带游客年龄相近的团队，若要在这三个团中选择一个，则她应选（）a甲b乙c丙d哪一个都可以【考点】方差【分析】根据方差的意义可作出判断方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定【解答】解：s甲2=1.4，s乙2=18.8，s丙2=25，s甲2s乙2s丙2，游客年龄最相近的团队是甲故选a7如图，ab为o的直径，弦cdab，e为弧bc上一点，若cea=28，则abd=（）a14b28c56d80【考点】圆周角定理；垂径定理【分析】根据垂径定理得到=，根据圆周角定理解答即可【解答】解：ab为o的直径，弦cdab，=，abd=cea=28，故选：b8如图，abcd，a=45，c=28，则aec的大小为（）a17b62c63d73【考点】平行线的性质【分析】首先根据两直线平行，内错角相等可得abc=c=28，再根据三角形内角与外角的性质可得aec=a+abc【解答】解：abcd，abc=c=28，a=45，aec=a+abc=28+45=73，故选：d9如果分式的值等于0，则x的值是（）a2b2c2或2d2或3【考点】分式的值为零的条件【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母0两个条件需同时具备，缺一不可据此可以解答本题【解答】解：由题意可得|x|2=0且x25x+60，解得x=2，代入x25x+60检验得到x=2故选b10五一节，小丽独自一人去老家玩，家住在车站附近的姑姑到车站去接小丽因为担心小丽下车后找不到路，姑姑一路小跑来到车站，结果客车晚点，休息一阵后，姑姑接到小丽，和小丽一起慢慢的走回了家下列图象中，能反映以上过程中小丽姑姑离家的距离s与时间t的关系的大致图象是（）a b c d【考点】函数的图象【分析】根据每段中路程s随时间t的变化情况即可作出判断【解答】解：姑姑在车站休息的一段时间，路程不随时间的变化而变化，因而这一段的图象应该平行于横轴；姑姑一路小跑来到车站，这段是正比例函数关系，回家的过程是一次函数关系，且s岁t的增大而减小，因而b、d错误；回家的过程比姑姑一路小跑来到车站的过程速度要慢，即s随t的变化要慢，因而图象要平缓，故a正确，c错误故选a11用同样大小的黑色五角星按图所示的方式摆图案，按照这样的规律摆下去，第13个图案需要的黑色五角星的个数是（）a18b19c21d22【考点】规律型：图形的变化类【分析】对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律，再把13代入即可求出答案【解答】解：当n为奇数时：通过观察发现每一个图形的每一行有，故共有3（）个，当n为偶数时，中间一行有+1个，故共有+1个，则当n=13时，共有3（）=21；故选c12如图，以平行四边形abco的顶点o为原点，边oc所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，顶点a、c的坐标分别是（2，4）、（3，0），过点a的反比例函数y=的图象交bc于d，连接ad，则四边形aocd的面积是（）a6b7c9d10【考点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质【分析】先求出反比例函数和直线bc的解析式，再求出由两个解析式组成方程组的解，得出点d的坐标，得出d为bc的中点，abd的面积=平行四边形abcd的面积，即可求出四边形aocd的面积【解答】解：四边形abcd是平行四边形，a、c的坐标分别是（2，4）、（3，0），点b的坐标为：（5，4），把点a（2，4）代入反比例函数y=得：k=8，反比例函数的解析式为：y=；设直线bc的解析式为：y=kx+b，把点b（5，4），c（3，0）代入得：，解得：k=2，b=6，直线bc的解析式为：y=2x6，解方程组解得：，或（不合题意，舍去），点d的坐标为：（4，2），即d为bc的中点，abd的面积=平行四边形abcd的面积，四边形aocd的面积=平行四边形abco的面积abd的面积=3434=9故选c二、填空题：本题工6小题，每小题4分，共24分13因式分解：x29=（x+3）（x3）【考点】因式分解-运用公式法【分析】原式利用平方差公式分解即可【解答】解：原式=（x+3）（x3），故答案为：（x+3）（x3）14计算：（1）2016sin60+|1|=1【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值【分析】原式利用乘方的意义，特殊角的三角函数值，立方根定义，以及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果【解答】解：原式=2+1=1，故答案为：115如图，abc与def位似，位似中心为点o，且abc的面积等于def面积的，则ab：de=2：3【考点】位似变换【分析】由abc经过位似变换得到def，点o是位似中心，根据位似图形的性质，即可得abde，即可求得abc的面积：def面积=，得到ab：de2：3【解答】解：abc与def位似，位似中心为点o，abcdef，abc的面积：def面积=（）2=，ab：de=2：3，故答案为：2：316如图，点a、b、c在直径为2的o上，bac=45，则图中阴影部分的面积等于frac34frac32（结果中保留）【考点】扇形面积的计算；圆周角定理【分析】首先连接ob，oc，即可求得boc=90，然后求得扇形obc的面积与obc的面积，求其差即是图中阴影部分的面积【解答】解：连接ob，oc，bac=45，boc=90，o的直径为2，ob=oc=，s扇形obc=，sobc=，s阴影=s扇形obcsobc=故答案为：17从3，2，1，0，1，2这六个数字中随机抽取一个数，记为a，a的值即使得不等式组无解，又在函数y=的自变量取值范围内的概率为frac13【考点】概率公式；解一元一次不等式组；函数自变量的取值范围【分析】由a的值即使得不等式组无解，可求得a=1，0，1，2；又由在函数y=的自变量取值范围内，a=3，2，1，1，继而求得答案【解答】解：，由得：x3+a，由得：x1，不等式组无解，3+a1，解得：a2，a=1，0，1，2；x22x0，x2且x0，a=3，2，1，1；a=1，1；a的值即使得不等式组无解，又在函数y=的自变量取值范围内的概率为： =故答案为：18如图，在正方形abcd中，e为ab边的中点，g，f分别为ad，bc边上的点，若ag=1，bf=2，gef=90，求gf的长【考点】正方形的性质；相似三角形的判定与性质【分析】求gf的长，可以先求ge、fe的长，e为ab边的中点，得出ae的长是解决此问题的途径，通过证明aegbfe可以得出【解答】解：正方形abcd，a=b=90，aeg+age=90，gef=90，aeg+bef=90，age=bef，aegbfe，e为ab边的中点，ga：ae=be：bf，ae=be=，ge=，ef=，gf=3另法：取gf的中点h，连接eh，gabf，gf和ba不平行，四边形gabf是梯形，eh=（梯形中位线定理），ga=1，bf=2，eh=，gef=90，gef是直角三角形，gf=2eh=2=3（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）三、解答题：本大题2个小题，每题7分，工14分，解答题时每小题必须给出必要的盐酸过程或推理步骤，画出必要的图形，请讲解答过程书写在答题卡中对应的位置上19如图所示，在abc中，ab=cb，abc=90，f为ab延长线上一点，点e在bc上，且ae=cf求证：rtabertcbf【考点】直角三角形全等的判定【分析】在rtabe和rtcbf中，由于ab=cb，ae=cf，利用hl可证rtabertcbf【解答】证明：在rtabe和rtcbf中，rtabertcbf（hl）20我校初三学子在不久前结束的体育中考中取得满意成绩，赢得2016年中考开门红现随机抽取了部分学生的成绩作为一个样本，按a（满分）、b（优秀）、c（良好）、d（及格）四个等级进行统计，并将统计结果制成如下2幅不完整的统计图，如图，请你结合图表所给信息解答下列问题：（1）将折线统计图在图中补充完整；此次调查共随机抽取了20名学生，其中学生成绩的中位数落在b等级；（2）为了今后中考体育取得更好的成绩，学校决定分别从成绩为满分的男生和女生中各选一名参加“经验座谈会”，若成绩为满分的学生中有4名女生，且满分的男、女生中各有2名体育特长生，请用列表或画树状图的方法求出所选的两名学生刚好都不是体育特长生的概率【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；折线统计图；中位数【分析】（1）根据折线统计图和扇形统计图可以得到抽取的学生数和得a，得d的学生数，从而可以将折线统计图补充完整，可以得到中位数；（2）根据题意可以分别得到得满分的男生数和女生数，然后列表即可得到都不是体育特长生的概率【解答】解：（1）共抽取的学生人数为：945%=20人，得a的人数有：2035%=7（人），得d的人数有：20792=2（人），补全折线图如右图所示，共抽取的学生人数为：945%=20（人），中位数在b等级，故答案为：20，b；（2）成绩为满分的四名女生分别为女1，女2，女3，女4，其中女1，女2是体育特长生；成绩为满分的三名男生为男1，男2，男3，其中男1，男2是体育特长生；列表如下：女1女2女3女4男1（男1，女1）（男1，女2）（男1，女3）（男1，女4）男2（男2，女1）（男2，女2）（男2，女3）（男2，女4）男3（男3，女1）（男3，女2）（男3，女3）（男3，女4）由表可得共有12种情况，其中都不是体育特长生的有2种情况，所以p（都不是体育特长生）=四、解答题：（本大题4个小题，每小题10分，共40分）21化简下列各式：（1）4（a+b）22（a+b）（2a2b）（2）（m+1）【考点】分式的混合运算；多项式乘多项式；完全平方公式【分析】（1）利用完全平方公式和平方差公式将原式展开，再去括号，最后合并同类项即可；（2）先计算括号内分式的减法，同时将除法转化为乘法，再计算乘法可得【解答】解：（1）原式=4（a2+2ab+b2）4（a2b2）=4a2+8ab+4b24a2+4b2=8ab+8b2；（2）原式=（）=m2m22商场经营的某品牌童装，4月的销售额为20000元，为扩大销量，5月份商场对这种童装打9折销售，结果销量增加了50件，销售额增加了7000元（1）求该童装4月份的销售单价；（2）若4月份销售这种童装获利8000元，6月全月商场进行“六一儿童节”促销活动童装在4月售价的基础上一律打8折销售，若该童装的成本不变，则销量至少为多少件，才能保证6月的利润比4月的利润至少增长25%？【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用【分析】（1）设4月份的销售单价为x，表示出4月份及5月份的销售量，根据5月份比4月份销量增加50件可得出方程，解出即可；（2）利用（1）中所求得出每件衣服的成本，再由6月的利润比4月的利润至少增长25%，可得出不等式，解出即可【解答】解：（1）设4月份的销售单价为x，由题意得，=50，解得：x=200，经检验x=200是原方程的解答：4月份的销售单价为200元（2）4月份的销量为100件，则每件衣服的成本=120（元），6月份的售价为2000.8=160（元），设销量为y件，2000.8y120y8000（1+25%），解得：y250，销量至少为250件，才能保证6月的利润比4月的利润至少增长25%23重庆大坪时代天街已成为人们周末休闲娱乐的重要场所，时代天街从一楼到二楼有一自动扶梯（如图1），图2是侧面示意图已知自动扶梯ac的坡度为i=1：2.4，ac=13m，be是二楼楼顶，efmn，b是ef上处在自动扶梯顶端c正上方的一点，且bcef，在自动扶梯底端a处测得b点仰角为42（sin420.67，cos420.74，tan420.90）为了吸引顾客，开发商想在p处放置一个高10m的疯狂动物城的装饰雕像，并要求雕像最高点与二楼顶层要留出2m距离好放置灯具，请问这个雕像能放得下吗？如果不能，请说明理由【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题；解直角三角形的应用-坡度坡角问题【分析】延长cb交mn于点h，根据坡度的定义求出hc，ah的长，然后在直角ach中利用三角函数即可求得bc的长，求出大厅层高，进而得出答案【解答】解：如图所示：延长bc交mn于h，bcef，efmn，bhmn，i=1：2.4=5：12=ch：ah，设ch=5k，则ah=12k在rtach中，由勾股定理ac=13k，ac=13m，k=1，ch=5m，ah=12m，设bc=x，在rtach中，tanbah=，tan42=，x5.8 m，bc=5.8 m；大厅层高为bh=bc+ch=5.8+5=10.8（m），而10+2=12m10.8m，雕像放不下24对x，y定义一种新运算t，规定：（其中a，b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运算，例如：，已知t（1，1）=2，t（4，2）=1（1）求a，b的值；（2）若关于m的不等式组恰好有4个整数解，求实数p的取值范围【考点】解二元一次方程组；一元一次不等式组的整数解【分析】（1）根据题中的新定义列出关于a与b的方程组，求出方程组的解即可得到a与b的值；（2）根据题中的新定义列出不等式组，根据不等式组恰好有4个正整数解，确定出p的范围即可【解答】解：（1）根据题中的新定义得：，整理得：，+得：3a=3，即a=1，把a=1代入得：b=3；（2）根据题中的新定义化简得：，整理得：，即m，由不等式组恰好有4个整数解，即0，1，2，3，34，即1593p20，解得：p225如图，abc是等边三角形，点d在ac上，点e在bc的延长线上，且bd=de（1）若点d是ac的中点，如图1，求证：ad=ce（2）若点d不是ac的中点，如图2，试判断ad与ce的数量关系，并证明你的结论：（提示：过点d作dfbc，交ab于点f）（3）若点d在线段ac的延长线上，（2）中的结论是否仍成立？如果成立，给予证明；如果不成立，请说明理由【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质【分析】（1）求出e=cde，推出cd=ce，根据等腰三角形性质求出ad=dc，即可得出答案；（2）过d作dfbc，交ab于f，证bfddce，推出df=ce，证adf是等边三角形，推出ad=df，即可得出答案（3）（2）中的结论仍成立，如图3，过点d作dpbc，交ab的延长线于点p，证明bpddce，得到pd=ce，即可得到ad=ce【解答】（1）证明：abc是等边三角形，abc=acb=60，ab=ac=bc，d为ac中点，dbc=30，ad=dc，bd=de，e=dbc=30acb=e+cde，cde=30=e，cd=ce，ad=dc，ad=ce；（2）成立，如图2，过d作dfbc，交ab于f，则adf=acb=60，a=60，afd是等边三角形，ad=df=af，afd=60，bfd=dce=18060=120，dfbc，fdb=dbe=e，在bfd和dce中bfddce，ce=df=ad，即ad=ce（3）（2）中的结论仍成立，如图3，过点d作dpbc，交ab的延长线于点p，abc是等边三角形，apd也是等边三角形，ap=pd=ad，apd=abc=acb=pdc=60，db=de，dbc=dec，dpbc，pdb=cbd，pdb=dec，在bpd和dce中，bpddce，pd=ce，ad=ce26如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c分别交x轴于a（4，0）、b（1，0），交y轴于点c（0，3），过点a的直线y=x+3交抛物线于另一点d（1）求抛物线的解析式及点d的坐标；（2）若点p位x轴上的一个动点，点q在线段ac上，且q到x轴的距离为，连接pc、pq，当pcq的周长最小时，求出点p的坐标；（3）如图2，在（2）的结论下，连接pd，在平面内是否存在a1p1d1，使a1p1d1apd（点a1、p1、d1的对应点分别是a、p、d，a1p1平行于y轴，点p1在点a1上方），且a1p1d1的两个顶点恰好落在抛物线上？若存在，请求出点a1的横坐标m，若不存在，请说明理由【考点】二次函数综合题【分析】（1）已知抛物线与x轴的两个交点为（4，0）和（1，0），所以可设抛物线的解析式为y=a（x4）（x+1），然后把（0，3）代入解析式即可求出抛物线的解析式，联立直线解析式和抛物线解析式即可求出d的坐标；（2）要求pcq的最小值，由于点q是固定点，所以cq是固定不变的，所以还需要求出pc+pq最短即可，作出点c关于x轴的对称点e，连接eq后与x轴交于点p，此时p点能够使得pc+pq最短；（3）由题意画出图形可知，点d1的位置有两种情况，一种是d1在直线a1p1的左边，另一种是d1在直线a1p1的右边，另外a1